2022-2023學(xué)年浙江省杭州市下城區(qū)采荷中學(xué)七年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷1.  下列由左到右邊的變形中，是因式分解的是(    )A.  B.
C.  D. 2.  下列多項(xiàng)式乘法中，能用平方差公式計算的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  已知，則等于(    )A.  B.  C.  D. 4.  下列圖形中，與不是同位角的是(    )A.  B.
C.  D. 5.  計算的結(jié)果是(    )A.  B.  C.  D. 6.  如圖所示，在下列四組條件中，不能判定的是(    ) A.  B.
C.  D. 7.  九章算術(shù)是人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”，書中記載：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步問：人與車各幾何？譯文：若人坐一輛車，則兩輛車是空的；若人坐一輛車，則人需要步行，問：人與車各多少？設(shè)有輛車，人數(shù)為，根據(jù)題意可列方程組為(    )A.  B.  C.  D. 8.  若，，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 9.  已知關(guān)于、的二元一次方程，當(dāng)每取一個值時，就有一個方程，而這些方程有一個公共解，這個公共解是(    )A.  B.  C.  D. 10.  分解因式： ______ ．11.  下列各組數(shù)：，，，中，______是方程的解；______是方程的解；______是方程組的解．填序號12.  如圖，是由平移得到的，且、、、在同一條直線上，若，，則的長度為______ ．
13.  若多項(xiàng)式是完全平方式，則常數(shù)的值為          ．14.  已知，，則的值是______ ．15.  如圖，已知，點(diǎn)，分別在直線，上，點(diǎn)在直線，之間，如所示，分別在和的平分線上取點(diǎn)，，連結(jié)，則 ______ ；如果，，，連結(jié)，則 ______ 用，的代數(shù)式表示
16.  解方程組：
；             
．17.  分解因式：
．
．18.  先化簡，再求值，
，其中．
已知，求代數(shù)式的值．19.  如圖，平分，且，．
證明：；
求的度數(shù)．
20.  閱讀理解并解答：
我們把多項(xiàng)式和叫做完全平方式，在運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解時，關(guān)鍵是判斷一個多項(xiàng)式是不是一個完全平方式同樣地，把一個多項(xiàng)式進(jìn)行部分因式分解可以解決求代數(shù)式值的最大最小值問題：
例如：．
，．
則代數(shù)式的最小值為______ ，此時，相應(yīng)的的值為______ ．
．
．
，．
代數(shù)式的最小值為______ ，此時，相應(yīng)的的值為______ ．
仿照上述方法，代數(shù)式有最______ “大”或“小”值，并求相應(yīng)的代數(shù)式的最值．21.  兩個邊長分別為和的正方形如圖放置圖，其陰影部分面積為；兩個邊長分別為和的正方形如圖放置圖，其陰影部分面積為．

用含，的代數(shù)式表示；
當(dāng)，時，求的值；
當(dāng)，時，求出圖中的陰影部分的面積．22.  某工廠準(zhǔn)備用圖甲所示的型正方形板材和型長方形板材，制作成圖乙所示的豎式和橫式兩種無蓋箱子．
若現(xiàn)有型板材張，型板材張可制作豎式和橫式兩種無蓋箱子各多少個？
若該工廠準(zhǔn)備用元資金去購買，兩種型號板材，制作豎式，橫式箱子共個，已知型板材每張元，型板材每張元，發(fā)現(xiàn)資金恰好用完，問可以制作豎式箱子多少個？
若該工廠新購得張規(guī)格為的型正方形板材，將其全部切割成型或型板材不記損耗，用切割的板材制作成兩種類型的箱子，要求豎式箱子不少于個，且材料恰好用完，則最多可以制作豎式箱子多少個？
 23.  設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是(    )A.  B.  C.  D. 24.  已知，，則的值為______ ．25.  將一副三角板中的兩塊直角三角板如圖放置，，，，，．

若三角板如圖擺放時，則        ，        ；
現(xiàn)固定的位置不變，將沿方向平移至點(diǎn)正好落在上，如圖所示，與交于點(diǎn)，作和的角平分線交于點(diǎn)，求的度數(shù)；
現(xiàn)固定，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至與直線首次重合的過程中，當(dāng)線段與的一條邊平行時，則        直接寫出答案
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、，是整式的乘法，不是因式分解，故本選項(xiàng)不合題意；
B、，是分式，不是整式，不是因式分解，故本選項(xiàng)不合題意；
C、，沒把一個多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，不是因式分解，故本選項(xiàng)不合題意；
D、，把一個多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，是因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：．
根據(jù)因式分解是把一個多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，可得答案．
此題主要考查了因式分解的意義．正確把握因式分解的定義是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：．和，和不分別相同，不符合平方差公式，故本選項(xiàng)不符合題意；
B.，不符合平方差公式，故本選項(xiàng)不符合題意；
C.，符合平方差公式，故本選項(xiàng)符合題意；
D.

，不符合平方差公式，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
根據(jù)平方差公式的特點(diǎn)逐個判斷即可．
本題考查了平方差公式和完全平方公式，能熟練掌握平方差公式是解此題的關(guān)鍵，．
 3.【答案】 【解析】解：，
得：，
則．
故選：．
方程組兩方程相加即可求出所求．
此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
 4.【答案】 【解析】解：根據(jù)同位角的定義可知選項(xiàng)C中的和不是同位角，
故選：．
根據(jù)同位角的定義即可得到結(jié)論．
本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，熟記定義是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：

．
故選：．
利用單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．
本題主要考查單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
 6.【答案】 【解析】解：、當(dāng)時，，本選項(xiàng)不符合題意；
B、當(dāng)時，，本選項(xiàng)不符合題意；
C、當(dāng)時，，本選項(xiàng)不符合題意；
D、當(dāng)時，，本選項(xiàng)符合題意．
故選：．
根據(jù)平行線的判定方法分別對四個選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
本題考查了平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
 7.【答案】 【解析】解：設(shè)共有人，輛車，
依題意得：．
故選：．
設(shè)共有人，輛車，根據(jù)“如果每人坐一輛車，那么有輛空車；如果每人坐一輛車，那么有人需要步行”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，此題得解．
本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組以及數(shù)學(xué)常識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
，
．
故選：．
由得，，兩邊平方求出的值，代入原式即可得結(jié)果．
本題考查了完全平方公式，整體代入法，熟練掌握公式并進(jìn)行變形應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：原方程可整理得：
，
根據(jù)題意得：
，
解得，
故選：．
把原方程整理得：，根據(jù)“當(dāng)每取一個值時就有一個方程，而這些方程有一個公共解”，可知這個公共解與無關(guān)，得到關(guān)于和的二元一次方程組，解之即可．
本題考查了二元一次方程組的解，正確掌握解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：．
故答案為：．
直接提取公因式，進(jìn)而分解因式即可．
此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．
 11.【答案】     【解析】解：，
、互為相反數(shù)，
，，，中，是方程的解的是；
把代入方程得：左邊，右邊，左邊右邊，所以是方程的解，
把代入方程得：左邊，右邊，左邊右邊，所以是方程的解，
把代入方程得：左邊，右邊，左邊右邊，所以是方程的解，
把代入方程得：左邊，右邊，左邊右邊，所以不是方程的解，
即是方程的解；
是方程組的解，
故答案為：，，．
代入方程，看看是否兩邊相等即可，根據(jù)二元一次方程組的解的定義得出即可．
本題考查了二元一次方程的解和二元一次方程組的解，能理解二元一次方程的解和二元一次方程組的解的定義是解此題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：由平移的性質(zhì)可知，，
，，
，
故答案為：．
根據(jù)平移的性質(zhì)得到，結(jié)合圖形計算，得到答案．
本題考查的是平移的性質(zhì)，根據(jù)平移的性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：是完全平方式，
，
，
解得，
故答案為：．
【分析】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出的值．  14.【答案】 【解析】解：，，
，
，
，



．
故答案為：．
由題意可求得，再把相應(yīng)值代入運(yùn)算即可．
本題主要考查冪的乘方，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
 15.【答案】  【解析】解：過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，如圖：

，，
，
，，
，
即，
，
，
平分，平分，
設(shè)，，
，
，
，
，，，
，
，，，



，
的值為．
，，
，
，，
，
即，
，
，
，，
，，，
，
，，，





；
的值為．
故答案為：，．
過點(diǎn)作，易得，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，由角平分線的定義可設(shè)，，由可求，進(jìn)而求解．
本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】解：，
將代入得：，即，
將代入得：，
則方程組的解為；
，
得：，即，
將代入得：，
則方程組的解為． 【解析】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
方程組利用代入消元法求出解即可；
方程組利用加減消元法求出解即可．
 17.【答案】解：原式
；

原式
． 【解析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運(yùn)用公式法分解因式是解題關(guān)鍵．
 18.【答案】解：原式，
當(dāng)時，原式；
原式，
由，得到，
則原式． 【解析】原式利用完全平方公式，以及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計算，去括號合并得到最簡結(jié)果，把的值代入計算即可求出值；
原式利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，平方差公式計算，去括號合并后，將已知等式變形后代入計算即可求出值．
此題考查了整式的混合運(yùn)算化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
 19.【答案】證明：平分，
，
，
，
；
解：，
，
，
的度數(shù)為． 【解析】利用角平分線的定義可得，從而利用等量代換可得，然后利用平行線的判定即可解答；
利用的結(jié)論可得，然后利用平角定義進(jìn)行計算，即可解答．
本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】        大 【解析】解：

，
代數(shù)式的最小值為，相應(yīng)的的值為；
故答案為：，；
，
代數(shù)的最小值為，相應(yīng)的的值為；
故答案為：，；

，
代數(shù)的最大值為，此時，相應(yīng)的的值為．
故答案為：大．
根據(jù)材料給出的結(jié)論直接求出代數(shù)式的最小值及相應(yīng)的的值；
根據(jù)材料給出的結(jié)論直接求出代數(shù)式的最小值及相應(yīng)的的值；
先提取負(fù)號再配成完全平方形式，從而確定代數(shù)式的最小值及相應(yīng)的的值．
本題考查了因式分解的應(yīng)用、偶次方具有非負(fù)性、完全平方式，熟練掌握完全平方式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，配方是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：；
，，
；
，，





． 【解析】根據(jù)正方形的面積公式求解；
先分解因式，再整體代入求解；
先用，表示，再變形代入求解．
本題考查了完全平方公式的幾何背景，整體代入求值是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：設(shè)可制作豎式無蓋箱子個，可制作橫式無蓋箱子個，
由題意得：，
解得：，
答：可制作豎式無蓋箱子個，可制作橫式無蓋箱子個；
設(shè)可以制作豎式箱子個，則制作橫式箱子個，
由題意得：，
解得：，
答：可以制作豎式箱子個；
型可以看成三列，每一列可以做成個型或個型，個型就有列，

材料恰好用完，
最后型的數(shù)量一定是的倍數(shù)，
設(shè)可以制作豎式箱子個，制作橫式箱子個，
個豎式無蓋箱子需要個型和個型，個橫式無蓋箱子需要個型和個型，個型相當(dāng)于個型，
，
，
、均為整數(shù)，，
，，，，
答：最多可以制作豎式箱子個． 【解析】設(shè)可制作豎式無蓋箱子個，可制作橫式無蓋箱子個，由題意：現(xiàn)有型板材張，型板材張，列出二元一次方程組，解方程組即可；
設(shè)可以制作豎式箱子個，則制作橫式箱子個，由題意：用元資金去購買，兩種型號板材，列出一元一次方程，解方程即可；
型可以看成三列，每一列可以做成個型或個型，個型就有列，則最后型的數(shù)量一定是的倍數(shù)，設(shè)可以制作豎式箱子個，制作橫式箱子個，由題意列出二元一次方程，即可解決問題．
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．
 23.【答案】 【解析】解：


，




，






，
，
．
故選：．
根據(jù)乘法分配律可求，將變形為，再注意整體思想進(jìn)行計算，根據(jù)提取公因式、完全平方公式和算術(shù)平方根可求，再比較大小即可求解．
本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟記乘法分配律、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．注意整體思想的運(yùn)用．
 24.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
，
，，
解得，，
，


．
故答案為：．
首先根據(jù)，可得，再根據(jù)，應(yīng)用完全平方公式，求出、的值，進(jìn)而求出的值，然后把、、相加，求出的值即可．
此題主要考查了因式分解的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是要明確完全平方公式并能正確應(yīng)用．
 25.【答案】    或或 【解析】解：，
，
，
、、三點(diǎn)共線，
；
故答案為：；；
，
，
，
，分別平分和，
，，
；
當(dāng)時，如圖，

，，，
，
，
，
；
當(dāng)時，如圖，

此時，
；
當(dāng)時，如圖，

此時，，，
．
綜上所述，的度數(shù)為或或．
故答案為：或或．
根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角板的角的度數(shù)解答即可；
根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義解答即可；
分當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，三種情況進(jìn)行解答即可．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，理清各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．
 

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