?考點(diǎn)10 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)10種常見(jiàn)考法歸類(lèi)


考點(diǎn)一 對(duì)數(shù)的運(yùn)算
考點(diǎn)二 換底公式的應(yīng)用
考點(diǎn)三 對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域和值域
考點(diǎn)四 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用
（一）判斷對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的形狀
（二）根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)圖象判斷參數(shù)的范圍
（三）對(duì)數(shù)型函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題
（四）對(duì)數(shù)函數(shù)圖象應(yīng)用
考點(diǎn)五 對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性
（一）判斷函數(shù)的單調(diào)性
（二）比較對(duì)數(shù)式的大小
（三）解不等式
（四）由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
考點(diǎn)六 對(duì)數(shù)函數(shù)的最值
（一）求函數(shù)的最值
（二）根據(jù)最值求參數(shù)
（三）函數(shù)的最值與不等式的綜合問(wèn)題
考點(diǎn)七 對(duì)數(shù)函數(shù)的奇偶性
（一）判斷函數(shù)的奇偶性
（二）已知函數(shù)奇偶性求值
（三）由函數(shù)的奇偶性求解析式
（四）已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)
（五）函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合
考點(diǎn)八 反函數(shù)
考點(diǎn)九 對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題
考點(diǎn)十 對(duì)數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用



1、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的思路
(1)指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式：將指數(shù)式的冪作為真數(shù)，指數(shù)作為對(duì)數(shù)，底數(shù)不變，寫(xiě)出對(duì)數(shù)式．
(2)對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：將對(duì)數(shù)式的真數(shù)作為冪，對(duì)數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫(xiě)出指數(shù)式．
2、對(duì)數(shù)式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定條件下求對(duì)數(shù)的值，或求對(duì)數(shù)式中參數(shù)字母的值，要注意利用方程思想求解．
(2)基本方法
①將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，構(gòu)建方程轉(zhuǎn)化為指數(shù)問(wèn)題．
②利用冪的運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)的性質(zhì)計(jì)算．
3、對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：
(1)；；其中且；
(2)(其中且，)；
(3)對(duì)數(shù)換底公式：；
(4)；
(5)；
(6)，；
(7)和；
(8)；
4、利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)求值的方法
(1)求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)對(duì)數(shù)的兩個(gè)結(jié)論loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，進(jìn)行變形求解，若已知對(duì)數(shù)值求真數(shù)，則可將其化為指數(shù)式運(yùn)算．
(2)已知多重對(duì)數(shù)式的值，求變量值，應(yīng)從外到內(nèi)求，逐步脫去“l(fā)og ”后再求解．
5、對(duì)數(shù)式化簡(jiǎn)與求值的基本原則和方法
(1)基本原則：對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)求值一般是正用或逆用公式，對(duì)真數(shù)進(jìn)行處理，選哪種策略化簡(jiǎn)，取決于問(wèn)題的實(shí)際情況，一般本著便于真數(shù)化簡(jiǎn)的原則進(jìn)行．
(2)兩種常用的方法：①“收”，將同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)收成積(商)的對(duì)數(shù)；
②“拆”，將積(商)的對(duì)數(shù)拆成同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)．
6、利用換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值的原則和技巧

7、利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式互化求值的方法
(1)在對(duì)數(shù)式、指數(shù)式的互化運(yùn)算中，要注意靈活運(yùn)用定義、性質(zhì)和運(yùn)算法則，尤其要注意條件和結(jié)論之間的關(guān)系，進(jìn)行正確的相互轉(zhuǎn)化．
(2)對(duì)于連等式可令其等于k(k>0)，然后將指數(shù)式用對(duì)數(shù)式表示，再由換底公式可將指數(shù)的倒數(shù)化為同底的對(duì)數(shù)，從而使問(wèn)題得解．
8、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及圖像
(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù) 且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)．
(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象



圖象


性質(zhì)
定義域：
值域：
過(guò)定點(diǎn)，即時(shí)，
在上增函數(shù)
在上是減函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

注：對(duì)數(shù)函數(shù)常用技巧
(1)底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.
(2)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)以y軸為漸近線；g(x)＝logax＋b恒過(guò)定點(diǎn)(1，b)，仍以y軸為漸近線.
(3)作對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖象應(yīng)抓住三個(gè)點(diǎn)，(1，0)，(a，1).
(4)在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時(shí)，隨的增大，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近軸；當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象隨的增大而遠(yuǎn)離軸．(見(jiàn)下圖)（對(duì)數(shù)函數(shù)在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大. ）

9、反函數(shù)
一般地，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的定義域與值域正好互換，且圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.

10、判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的方法

11、求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí)應(yīng)遵循的原則
(1)分母不能為0.
(2)根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，被開(kāi)方數(shù)非負(fù)．
(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不為1.
12、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的變換方法
(1)作y＝f(|x|)的圖象時(shí)，保留y＝f(x)(x≥0)圖象不變，x0)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．
(2)作y＝|f(x)|的圖象時(shí)，保留y＝f(x)的x軸及上方圖象不變，把x軸下方圖象以x軸為對(duì)稱軸翻折上去即可．
(3)有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)平移也符合“左加右減，上加下減”的規(guī)律．
(4)y＝f(－x)與y＝f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱，y＝－f(x)與y＝f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱，y＝－f(－x)與y＝f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
13、利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象解決的兩類(lèi)問(wèn)題及技巧
(1)對(duì)一些可通過(guò)平移、對(duì)稱變換作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合思想；
(2)對(duì)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合求解．
14、比較對(duì)數(shù)式大小的常見(jiàn)類(lèi)型及解題方法
常見(jiàn)類(lèi)型
解題方法
底數(shù)為同一常數(shù)
可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷
底數(shù)為同一字母
需對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論
底數(shù)不同，真數(shù)相同
可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較
底數(shù)與真數(shù)都不同
常借助1,0等中間量進(jìn)行比較

15、對(duì)數(shù)不等式的三種考查類(lèi)型及解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用換底公式化為同底的對(duì)數(shù)進(jìn)行求解，或利用函數(shù)圖象求解．
16、形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法
與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，必須弄清三方面的問(wèn)題：一是定義域，所有問(wèn)題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性．
(1)先求g(x)>0的解集(也就是函數(shù)f(x)的定義域)．
(2)當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時(shí)，在g(x)>0這一前提下，g(x)的單調(diào)增區(qū)間是f(x)的單調(diào)增區(qū)間；g(x)的單調(diào)減區(qū)間是f(x)的單調(diào)減區(qū)間．
(3)當(dāng)?shù)讛?shù)00，且a≠1)，若在區(qū)間[1，2]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
【答案】
【分析】當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）＞1等價(jià)于8﹣ax＞a在[1，2]上恒成立，即a＜（）min=；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）＞1等價(jià)于8﹣ax＜a在[1，2]上恒成立，即a＞（）max=4．由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【詳解】當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）＞1等價(jià)于8﹣ax＞a在[1，2]上恒成立，
即a＜（）min=，
∴1＜a＜；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）＞1等價(jià)于8﹣ax＜a在[1，2]上恒成立，
即a＞（）max=4（舍去），
綜上，a的取值范圍是（1，）．
故答案為（1，）．
【點(diǎn)睛】不等式恒成立問(wèn)題往往通過(guò)“參變分離”轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題.
考點(diǎn)七 對(duì)數(shù)函數(shù)的奇偶性
（一）判斷函數(shù)的奇偶性
71．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)（）.
(1)求函數(shù)的定義域，并判斷的奇偶性；
(2)用定義證明函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)；
(3)如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是，求與的值.
【答案】(1) ，是奇函數(shù)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)，
【分析】（1）解即可得函數(shù)定義域嗎，再根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算，結(jié)合奇函數(shù)的概念判斷即可；
（2）結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；
（3）由題知且在上的值域是，進(jìn)而得且，再解方程即可得答案.
【詳解】（1）解：令，解得，所以.
對(duì)任意，，
所以函數(shù)是奇函數(shù).
（2）解：設(shè)，且，則.
因?yàn)?，，?br /> 所以，得.
又，于是，即，
所以函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù).
（3）解：由（2）知，函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù).
因?yàn)闀r(shí)，的值域是，
所以且在上的值域是，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以，且，
所以，由，得，解得或（舍去），
所以，.
（二）已知函數(shù)奇偶性求值
72．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則______．
【答案】
【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)以及指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算可得答案
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為定義在R上的奇函數(shù)，
所以，
又，且當(dāng)時(shí)，，
所以，
故答案為：.
73．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則的值為_(kāi)_____.
【答案】
【分析】根據(jù)題意推得，結(jié)合題意和，即可求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可得，所以，所以.
故答案為：
74．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)___________．
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，確定，再借助奇函數(shù)性質(zhì)及給定值列式計(jì)算作答.
【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，而，
于是，解得，
所以實(shí)數(shù)a的值為.
故答案為：
75．（2023春·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)_________.
【答案】16
【分析】根據(jù)題意設(shè)，利用函數(shù)奇偶性可以得到設(shè)，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.
【詳解】由函數(shù)，
設(shè)，則的定義域?yàn)椋?br /> ，
則，所以是奇函數(shù)，
則，
又因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào).
故答案為：16.
76．（2023春·陜西西安·高三西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在上的最大值與最小值分別為和，則（????）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】C
【分析】先考慮函數(shù)的奇偶性，然后構(gòu)造，由為奇函數(shù)求出最大值與最小值的和.
【詳解】已知，
，
則，函數(shù)在定義域內(nèi)為非奇非偶函數(shù)，
令，則
則在定義域內(nèi)為奇函數(shù)，設(shè)的最大值為，則最小值為，
則的最大值為，最小值為
所以，
故選：C.
（三）由函數(shù)的奇偶性求解析式
77．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的最小值為_(kāi)_______．
【答案】1
【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出在的解析式，通過(guò)求導(dǎo)求出的單調(diào)性即可求出答案.
【詳解】，，所以，
又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，
所以當(dāng)，，，
令，所以，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為1.
故答案為：1.
78．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是___________.
【答案】
【分析】由已知求得時(shí)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，再求出，利用直線方程的斜截式得答案.
【詳解】解：設(shè)，則，
又為奇函數(shù)，∴，
則，∴，
又，
∴曲線在點(diǎn)處的切線方程是，
即切線方程是.
故答案為：.
（四）已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)
79．（2023春·河南周口·高三?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)是R上的奇函數(shù)，則a的值為_(kāi)____．
【答案】．
【解析】由奇函數(shù)的定義求解．
【詳解】∵是奇函數(shù)，∴，
恒成立，∴，
時(shí)，的定義域均為，滿足題意，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，掌握奇偶性的定義是解題關(guān)鍵．
80．（2023·廣東潮州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.
【答案】
【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得出，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算可得出實(shí)數(shù)的值.
【詳解】對(duì)于函數(shù)，，解得或，
所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，即，
即，解得.
故答案為：.
81．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)(其中是自然數(shù)，)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)解析式，確定函數(shù)定義域，求解，根據(jù)奇函數(shù)得，即可求得的值.
【詳解】解：函數(shù)的定義域滿足，解得或，即定義域?yàn)椋?br /> 所以，
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，則，
則；
故答案為：.
82．（2023·內(nèi)蒙古包頭·二模）若是奇函數(shù)，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求解.
【詳解】若是奇函數(shù)，可得，
則
，
可得，解得，所以.
故選：A.
83．（2023春·河南開(kāi)封·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)（a，且）是偶函數(shù)，則_________，________
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)的定義，列式求解作答.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（a，且）是偶函數(shù)，
則函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)恒有成立，
即，整理得，
，顯然不恒為0，因此恒成立，
而為常數(shù)，則必有為常數(shù)，于是得，又，解得，，
此時(shí)，其定義域?yàn)榍遥?br /> ，即函數(shù)是偶函數(shù)，所以，.
故答案為：；
84．（2023春·陜西西安·高三校考階段練習(xí)）若函數(shù)是偶函數(shù)，則_______，____.
【答案】
【分析】由可得.根據(jù)偶函數(shù)定義域的對(duì)稱性，即可得出.求出并化簡(jiǎn)可得，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，即可得出恒等式，即可得出.
【詳解】由可得.
當(dāng)，即時(shí)，該不等式解集為.
因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，
則由偶函數(shù)的性質(zhì)，可得定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以，
定義域?yàn)椋?br /> 當(dāng)，即時(shí)，該不等式解集為，不滿足題意，舍去；
當(dāng)，即時(shí)，該不等式解集為，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，舍去.
綜上所述，.
所以.
又，
由可知，，
所以有.
因?yàn)椋?，所?
故答案為：；.
（五）函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合
85．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則使不等式成立的的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，即可轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系進(jìn)行求解.
【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)榛?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
由得，故 為偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，由于函數(shù)，均為單調(diào)遞增函數(shù)，在單調(diào)遞增，因此 為上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以不等式等價(jià)于 ，解得,
故選：C
86．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】分析函數(shù)的奇偶性及其在上的單調(diào)性，利用偶函數(shù)的性質(zhì)以及可得出，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意的，，
所以，函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上為增函數(shù)，
由可得，
所以，，則，所以，，解得.
故答案為：.
87．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)為奇函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】由題意，求出的值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)判斷的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可求解.
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為R上的奇函數(shù)，所以，解得，檢驗(yàn)可得此時(shí)，函數(shù)為R上的奇函數(shù)，
所以，易知為R上的增函數(shù)，
所以不等式等價(jià)于，
所以，解得，
所以原不等式的解集為.
故答案為：.
88．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)定義域?yàn)椋阎谏蠁握{(diào)遞減，是奇函數(shù)，則使得不等式成立的取值范圍為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】根據(jù)是奇函數(shù)判斷函數(shù)的對(duì)稱中心，等價(jià)于，
等價(jià)于，即可得到關(guān)于x的不等式，求出x的范圍.
【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，故 圖像關(guān)于 對(duì)稱，
由題設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以等價(jià)于，
因此不等式等價(jià)于，
即 ，即 且 ，
解得取值范圍為.
故答案為：
考點(diǎn)八 反函數(shù)
89．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的反函數(shù)為，則___________.
【答案】
【分析】設(shè)，利用反函數(shù)的性質(zhì)求出的值，即可得解.
【詳解】設(shè)，則點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
所以，，解得，因此，.
故答案為：.
90．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若函數(shù)的反函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)______________．
【答案】1
【分析】由題意可知函數(shù)圖像過(guò)的點(diǎn)，把點(diǎn)代入函數(shù)解析式，可求實(shí)數(shù)m的值.
【詳解】函數(shù)的反函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，所以函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)，則，解得．
故答案為：1
91．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)與互為反函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間是________.
【答案】
【分析】由指對(duì)數(shù)的關(guān)系易知定義域上的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷，即可知目標(biāo)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.
【詳解】因?yàn)榕c互為反函數(shù)，
所以在定義域上為增函數(shù)，
又，在上遞減，上遞增，
綜上，在上為減函數(shù).
故答案為：.
考點(diǎn)九 對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題
92．【多選】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則（????）
A．的定義域是 B．有最大值
C．不等式的解集是 D．在上單調(diào)遞增
【答案】AB
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，求解函數(shù)定義域，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解單調(diào)區(qū)間及最值，利用單調(diào)性解函數(shù)不等式。
【詳解】由題意可得，解得，即的定義域是，則A正確；
，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，則B正確；
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，所以不等式的解集是，則C錯(cuò)誤；
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以D錯(cuò)誤．
故選：AB.
93．【多選】（2023秋·遼寧葫蘆島·高三葫蘆島第一高級(jí)中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)，則（????）
A．f(x)的定義域?yàn)镽 B．值域?yàn)?br /> C．為偶函數(shù) D．在區(qū)間上是增函數(shù)
【答案】ACD
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等知識(shí)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】對(duì)于函數(shù)，
由于恒成立，所以的定義域?yàn)?，A選項(xiàng)正確.
，
由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
由于，所以為偶函數(shù)，C選項(xiàng)正確.
對(duì)于函數(shù)，
任取，
，
由于，所以，
所以在區(qū)間上遞增.
當(dāng)時(shí)，令，則在區(qū)間上遞增，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在區(qū)間上是增函數(shù)，D選項(xiàng)正確.
故選：ACD
94．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足：，則的值為_(kāi)_____.
【答案】2
【分析】設(shè)數(shù)列公比為q，由題有，后由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得答案.
【詳解】設(shè)數(shù)列公比為q，則，則
.
故答案為：2
95．（2023春·江西撫州·高三金溪一中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（????）
A． B． C． D．2023
【答案】A
【分析】根據(jù)與的關(guān)系，可推得數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而得出的表達(dá)式，即可求出，代入對(duì)數(shù)式，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算，即可得出答案.
【詳解】因?yàn)?，?
當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以.
又，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，
所以，
所以，
所以.
故選：A.
考點(diǎn)十 對(duì)數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
96．（2023·北京·高三專(zhuān)題練習(xí)）在聲學(xué)中，音量被定義為：，其中是音量（單位為dB），是基準(zhǔn)聲壓為，P是實(shí)際聲音壓強(qiáng).人耳能聽(tīng)到的最小音量稱為聽(tīng)覺(jué)下限閾值.經(jīng)過(guò)研究表明，人耳對(duì)于不同頻率的聲音有不同的聽(tīng)覺(jué)下限閾值，如下圖所示，其中240對(duì)應(yīng)的聽(tīng)覺(jué)下限閾值為20，1000對(duì)應(yīng)的聽(tīng)覺(jué)下限閾值為0，則下列結(jié)論正確的是（????）

A．音量同為20的聲音，30~100的低頻比1000~10000的高頻更容易被人們聽(tīng)到.
B．聽(tīng)覺(jué)下限閾值隨聲音頻率的增大而減小.
C．240的聽(tīng)覺(jué)下限閾值的實(shí)際聲壓為0.002.
D．240的聽(tīng)覺(jué)下限閾值的實(shí)際聲壓為1000的聽(tīng)覺(jué)下限閾值實(shí)際聲壓的10倍.
【答案】D
【分析】對(duì)于選項(xiàng)A、B，可以直接觀察圖像得出聽(tīng)覺(jué)下限閾值與聲音頻率的關(guān)系進(jìn)行判斷；對(duì)于C、D，通過(guò)所給函數(shù)關(guān)系代入聽(tīng)覺(jué)下限閾值計(jì)算即可判斷.
【詳解】對(duì)于A， 30~100的低頻對(duì)應(yīng)圖像的聽(tīng)覺(jué)下限閾值高于20，1000~10000的高頻對(duì)應(yīng)的聽(tīng)覺(jué)下限閾值低于20，所以對(duì)比高頻更容易被聽(tīng)到，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，從圖像上看，聽(tīng)覺(jué)下限閾值隨聲音頻率的增大有減小也有增大，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，240對(duì)應(yīng)的聽(tīng)覺(jué)下限閾值為20，，
令，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，1000的聽(tīng)覺(jué)下限閾值為0，
令，此時(shí)，所以240的聽(tīng)覺(jué)下限閾值的實(shí)際聲壓為1000的聽(tīng)覺(jué)下限閾值實(shí)際聲壓的10倍，故D正確.
故選：D.
97．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）我們可以把看作每天的“進(jìn)步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是，大約經(jīng)過(guò)m天后“進(jìn)步”的是“落后”的10倍，則m的值為（參考數(shù)據(jù)：，）（????）
A．100 B．115 C．230 D．345
【答案】B
【分析】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的聯(lián)系計(jì)算即可.
【詳解】由題意可得：，兩邊取常用對(duì)數(shù)可得，即．
故選：B
98．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中學(xué)期末）某企業(yè)為了響應(yīng)落實(shí)國(guó)家污水減排政策，加裝了污水過(guò)濾排放設(shè)備，在過(guò)濾過(guò)程中，污染物含量（單位：mg/L）與時(shí)間（單位：h）之間的關(guān)系為（其中，是正常數(shù)），已知經(jīng)過(guò)1h，設(shè)備可以過(guò)濾掉50%的污染物，則過(guò)濾掉80%的污染物需要的時(shí)間約為（結(jié)果精確到0.01h，參考數(shù)據(jù)：）（????）
A．1.53h B．1.60h C．1.75h D．2.33h
【答案】D
【分析】由給定條件得，進(jìn)而得，利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系可得，再用換底公式結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.
【詳解】依題意，，則，
設(shè)過(guò)濾的污染物需要的時(shí)間為，則，因此，
所以.
故選：D
99．（2023春·四川綿陽(yáng)·高三四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2023年1月底，由馬斯克、彼得泰爾等人創(chuàng)立的人工智能研究公司openAI發(fā)布的名為“ChatGTP”的人工智能聊天程序進(jìn)入中國(guó)，迅速以其極高的智能化水平引起國(guó)內(nèi)關(guān)注．深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度．已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（????）（參考數(shù)據(jù)：）
A．72 B．74 C．76 D．78
【答案】B
【分析】由題意得出該指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型，根據(jù)題意列出不等式，求解即可．
【詳解】根據(jù)題意得該指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，
當(dāng)時(shí)，，代入得，，解得，
由學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含），得
，
，
，
，
因?yàn)椋?br /> 所以，故G取74，
故選：B．



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