已知一臺升降機(jī)的最大載重量是1200 kg，在一名重 75 kg 的工人乘坐的情況下，它最多能裝載多少件 25 kg 重的貨物？
前面問題中涉及的數(shù)量關(guān)系是：
設(shè)能載 x 件 25 kg 重的貨物，因?yàn)樯禉C(jī)最大載重量是 1200 kg，所以有 75＋25x≤1200. ①
工人重 + 貨物重 ≤ 最大載重量.
像 75 + 25x ≤ 1200 這樣，
含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是 1 的不等式，叫做一元一次不等式.
它與一元一次方程的定義有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？
下列不等式中，哪些是一元一次不等式?(1) 3x + 2 > x - 1； (2) 5x + 3 < 0； (3) (4) x(x - 1) < 2x.
化簡后是x2 - x < 2x
例1 已知 是關(guān)于 x 的一元一次不等式，則 a 的值是_______．
解析：由 是關(guān)于 x 的一元一次不等式得 2a－1＝1，計(jì)算即可求出 a 的值等于 1.
4x - 1 < 5x + 15.
4x - 1 = 5x + 15.
4x - 5x = 15 + 1.
4x - 5x < 15 + 1.
解一元一次不等式與解一元一次方程的依據(jù)和步驟有什么異同點(diǎn)？
它們的依據(jù)不相同.解一元一次方程的依據(jù)是等式的性質(zhì)，解一元一次不等式的依據(jù)是不等式的性質(zhì).
它們的步驟基本相同，都是去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、未知數(shù)的系數(shù)化為 1.
這些步驟中，要特別注意的是：不等式兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，必須改變不等號的方向. 這是與解一元一次方程不同的地方.
例2 解下列一元一次不等式 ：
（1）2 - 5x < 8 - 6x；
（2）
（1） 原不等式為 2 - 5x < 8 - 6x.
即 x < 6.
移項(xiàng)，得 -5x + 6x < 8 - 2，
去括號，得 2x -10 + 6≤9x.
去分母，得 2(x - 5) + 6≤9x.
移項(xiàng)，得 2x - 9x≤10 - 6.
合并同類項(xiàng)， -7x≤4.
例3 解不等式 12 - 6x ≥ 2(1-2x)，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.
去括號，得 12 - 6x≥2 - 4x.
移項(xiàng)，得 -6x + 4x≥2 - 12.
合并同類項(xiàng)，得 -2x≥-10.
兩邊都除以 -2，得 x≤5.
原不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示.
解集 x≤5 中包含了 5，故將表示 5 的點(diǎn)畫成實(shí)心圓點(diǎn).
解：由方程的解的定義，把 x = 3 代入 ax + 12 = 0 中， 得 a = －4. 把 a = －4 代入 (a + 2)x＞－6中， 得－2x＞－6， 解得 x＜3. 在數(shù)軸上表示如圖. 其中正整數(shù)解有 1 和 2.
例4 已知方程 ax + 12 = 0 的解是 x = 3，求關(guān)于 x 不等式 (a + 2)x＞－6 的解集，并在數(shù)軸上表示出來，其中正整數(shù)解有哪些？
求不等式的特殊解，先要準(zhǔn)確求出不等式的解集，然后確定特殊解．在確定特殊解時(shí)，一定要注意是否包括端點(diǎn)的值，一般可以結(jié)合數(shù)軸，形象直觀，一目了然．
變式 已知不等式 x＋8＞4x＋m (m 是常數(shù)) 的解集是 x＜3，求 m.
方法總結(jié)：已知解集，求字母系數(shù)的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集的唯一性，列方程求字母的值．解題過程體現(xiàn)了方程思想．
解：因?yàn)? x＋8＞4x＋m， 所以 x－4x＞m－8， 即－3x＞m－8， 又因?yàn)槠浣饧癁?x＜3， 所以 . 解得 m = －1.
視頻：一元一次不等式的解法
1. 解下列不等式：
3. 解下列不等式，并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來：
解： (1)原不等式的解集為 x＜5， 它在數(shù)軸上表示為
(2)原不等式的解集為 x≤-11， 它在數(shù)軸上表示為
4. a≥-1的最小正整數(shù)解是 m，b≤8 的最大正整數(shù)解是 n，求關(guān)于 x 的不等式 (m + n)x＞18 的解集．
所以，m + n = 9.
解：因?yàn)?a≥-1 的最小正整數(shù)解是 m，所以 m = 1. 因?yàn)?b≤8 的最大正整數(shù)解是 n，所以 n = 8.
把 m + n = 9 代入不等式 (m + n)x＞18 中，得 9x＞18，解得 x＞2.
解得 x ≤ 6.
x≤6 在數(shù)軸上表示如圖所示.
所以，當(dāng) x≤6 時(shí)，整式 x + 2 的值大于或等于 0.
由圖可知，滿足條件的正整數(shù)有 1，2，3，4，5，6.

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初中數(shù)學(xué)人教版七年級下冊電子課本 舊教材

9.2 一元一次不等式

版本： 人教版

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