?專題05平行四邊形六大模型

一、中點(diǎn)四邊形 二、十字架模型
三、梯子模型 四、對角互補(bǔ)模型
五、與正方形有關(guān)三垂線 六、正方形與45°角的基本圖

一、中點(diǎn)四邊形

中點(diǎn)四邊形問題，我們要想到中位線. 中點(diǎn)四邊形問題，關(guān)鍵點(diǎn)在于對角線的數(shù)量和位置上的特點(diǎn)，如果能記住結(jié)論，那么解題將事半功倍
（一）中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形

1. 當(dāng)原四邊形對角線相等時，其中點(diǎn)四邊形為菱形

2. 當(dāng)原四邊形對角線垂直時，其中點(diǎn)四邊形為矩形

3. 當(dāng)原四邊形對角線垂直且相等時，其中點(diǎn)四邊形為正方形

（二）中點(diǎn)四邊形的周長等于原四邊形對角線之和

（三）中點(diǎn)四邊形的面積等于原四邊形面積的二分之一

二、十字架模型

與正方形有關(guān)的問題，往往涉及全等、邊長問題，關(guān)鍵在于對正方形的邊、直角的準(zhǔn)確把握，中考常考正方形模型，原因在于正方形的變化多樣.
三、梯子模型

梯于問題果非常重要的一類最值問題，關(guān)鍵點(diǎn)在于取梯子的中運(yùn)用斜邊中線和勾股定理來解決，得到兩條線段的和是所求的點(diǎn)最大值，
四、對角互補(bǔ)模型

對角互補(bǔ)，鄰邊相等是經(jīng)典的一類旋轉(zhuǎn)模型。相等鄰邊的夾角可以是60°，可以是90°，處理這種模型的關(guān)鍵在于旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度的大小是相等鄰邊的夾角.
模型1:全等形一-90°對角互補(bǔ)模型

模型2:全等形--120°對角互補(bǔ)模型

模型 3:全等形一一任意角對角互補(bǔ)模型

模型4:相似形一-90°對角互補(bǔ)模型（后面會學(xué)到）

五、與正方形有關(guān)三垂線

六、正方形與45°角的基本圖



一、中點(diǎn)四邊形
一．選擇題（共2小題）

1．（2022春?蘭山區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA邊上的中點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（　　）

A．四邊形EFGH是矩形
B．四邊形EFGH的面積等于四邊形ABCD面積的
C．四邊形EFGH的內(nèi)角和小于四邊形ABCD的內(nèi)角和
D．四邊形EFGH的周長等于四邊形ABCD的對角線長度之和
2．（2022春?濟(jì)陽區(qū)期末）如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長是（　?。?br />
A．7 B．9 C．11 D．13
二．解答題（共4小題）
3．（2022春?咸安區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接OA，OB，OC，點(diǎn)F，G分別是OB，OC的中點(diǎn)，順次連接點(diǎn)D，F(xiàn)，G，E．
（1）求證：四邊形DFGE是平行四邊形；
（2）當(dāng)OA⊥DE時，求證：四邊形DFGE是矩形；
（3）若四邊形DFGE是正方形，OA與BC之間滿足的條件是：　 ?。?br />

4．（2022春?忻城縣期中）如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是矩形ABCD各邊的中點(diǎn)，依次順序連接各邊中點(diǎn)得到四邊形EFGH．
（1）猜想四邊形EFGH是什么特殊四邊形；
（2）對你的猜想給予證明．




5．（2022春?工業(yè)園區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
（1）求證：中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）如圖2，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想．









6．（2022春?仙居縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形．
（2）若四邊形ABCD的對角線互相垂直且它們的乘積為48，求四邊形EFGH的面積．













二、十字架模型
一．選擇題（共1小題）
1．（2022春?漢陰縣期末）如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD，AD上的點(diǎn)，且CE＝DF，AE，BF相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四邊形DEOF中，正確結(jié)論的個數(shù)為（　?。?br />
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
二．解答題（共4小題）
2．（2022春?石阡縣期中）如圖，點(diǎn)E、F是正方形ABCD中CD、AD邊上的點(diǎn)，BE＝CF，求證：DF＝CE．




3．（2022春?惠民縣期末）（1）如圖①，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，過A點(diǎn)作AG⊥EB，垂足為G，求證：OE＝FO；
（2）如圖②，若點(diǎn)E在AC的延長線上，AG⊥EB，交EB的延長線于G．AG的延長線交DB的延長線于F，其他條件不變，則結(jié)論“OE＝OF”還成立嗎？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由．












4．（2022春?海淀區(qū)校級期中）在正方形ABCD中，P是邊BC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），E是AP的中點(diǎn)，
過點(diǎn)E作MN⊥AP，分別交AB、CD于點(diǎn)M，N．
（1）判定線段MN與AP的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）連接BD交MN于點(diǎn)F．
①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；
②用等式表示線段ME，EF，F(xiàn)N之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論 　 　．

5．（2022春?孝南區(qū)期中）如圖1，P為正方形ABCD的邊BC上一動點(diǎn)（P與B、C不重合），點(diǎn)Q在CD邊上，且BP＝CQ，連接AP、BQ交于點(diǎn)E．
（1）求證：AP⊥BQ；
（2）當(dāng)P運(yùn)動到BC中點(diǎn)處時（如圖2），連接DE，請你判斷線段DE與AD之間的關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，在（2）的條件下，過A點(diǎn)作AM⊥DE于點(diǎn)H，交BQ、CD于點(diǎn)N、M，若AB＝2，求QM的長度．


三、梯子模型
一．填空題（共3小題）
1．（2022春?湖南期中）如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動時，A隨之在OM上運(yùn)動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝6，BC＝2．在運(yùn)動過程中：
（1）Rt△AOB斜邊中線的長度是否發(fā)生變化 　 ?。ㄌ睢笆恰被颉胺瘛保?；
（2）點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離是 　 ?。?br />
2．（2020春?江岸區(qū)校級月考）如圖，一根長2a的木棍（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，設(shè)木棍的中點(diǎn)為P．若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行．木棍滑動的過程中，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離不變化，在木棍滑動的過程中，△AOB的面積最大為 　 ?。?br />
3．（2018秋?姜堰區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)C在x軸上，則點(diǎn)A在移動過程中，BO的最大值是 　 　．

四、對角互補(bǔ)模型
一．選擇題（共1小題）
1．（2018春?吉州區(qū)期末）如圖，△ABC為等邊三角形，以AB為邊向△ABC外側(cè)作△ABD，使得∠ADB＝120°，再以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把△CBD沿著順時針旋轉(zhuǎn)至△CAE，則下列結(jié)論：
①D、A、E三點(diǎn)共線；②△CDE為等邊三角形；③DC平分∠BDA；④DC＝DB+DA，其中正確的有（　?。?br />
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
二．解答題（共4小題）
2．（2021秋?莆田期末）如圖，點(diǎn)P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分線OC上，AP⊥BP，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)∠APB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時，
①OA+OB的值是否發(fā)生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變，求出這個定值．
②請求出OA2+OB2的最小值．








3．（2020春?通山縣期末）定義：有一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．
理解：
（1）在你所學(xué)過四邊形中，滿足等補(bǔ)四邊形定義的四邊形是 　 　；
畫圖：
（2）如圖1，在正方形網(wǎng)格中，線段AB的端點(diǎn)在格點(diǎn)上（小正方形的頂點(diǎn)），請你畫出1個以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB為邊的等補(bǔ)四邊形ABCD；
探究：
（3）如圖2，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，連接AC，AC是否平分∠BCD？請說明理由．

















4．（2021春?莘縣校級期末）我們規(guī)定：一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)的四邊形叫做“完美四邊形”．

（1）在①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定為“完美”四邊形的是 　 ?。ㄕ?zhí)钚蛱枺?br /> （2）在“完美”四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，連接AC．
①如圖1，求證：AC平分∠BCD；
小明通過觀察、實(shí)驗(yàn)，提出以下兩種想法，證明AC平分∠BCD：
想法一：通過∠B+∠D＝180°，可延長CB到E，使BE＝CD，通過證明△AEB≌△ACD，從而可證AC平分∠BCD；
想法二：通過AB＝AD，可將△ACD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到△AEB，可證C，B，E三點(diǎn)在一條直線上，從而可證AC平分∠BCD．
請你參考上面的想法，幫助小明證明AC平分∠BCD；
②如圖2，當(dāng)∠BAD＝90°，用等式表示線段AC，BC，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．












5．（2021秋?丹陽市期末）四邊形ABCD若滿足∠A+∠C＝180°，則我們稱該四邊形為“對角互補(bǔ)四邊形”．

（1）四邊形ABCD為對角互補(bǔ)四邊形，且∠B：∠C：∠D＝2：3：4，則∠A的度數(shù)為 　 ??；
（2）如圖1，四邊形ABCD為對角互補(bǔ)四邊形，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD．
求證：AC平分∠BCD．
小云同學(xué)是這么做的：延長CD至M，使得DM＝BC，連AM，可證明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰直角三角形，由此證明出AC平分∠BCD，還可以知道CB、CD、CA三者關(guān)系為：　 ??；
（3）如圖2，四邊形ABCD為對角互補(bǔ)四邊形，且滿足∠BAD＝60°，AB＝AD，試證明：
①AC平分∠BCD；
②CA＝CB+CD；
（4）如圖3，四邊形ABCD為對角互補(bǔ)四邊形，且滿足∠ABC＝60°，AD＝CD，則BA、BC、BD三者關(guān)系為：　 ?。?br /> 五、與正方形有關(guān)三垂線
一、單選題
1．（2021春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在正方形中，點(diǎn)E在邊上，于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F.若，，則的面積與四邊形的面積之比是（　?。?br />
A． B． C． D．
2．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在正方形中，點(diǎn)G為邊上一點(diǎn)，以為邊向右作正方形，連接，交于點(diǎn)P，連接，過點(diǎn)F作交于點(diǎn)H，連接，交于點(diǎn)K，下列結(jié)論中錯誤的是（????）

A． B．是等腰直角三角形
C．點(diǎn)P為中點(diǎn) D．
二、填空題
3．（2021春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，正方形的邊長為3，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，且，則四邊形的面積為：______．


4．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在中，，AC=8，BC=7，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，連接CE，則CE的長為______．

三、解答題
5．（2023春·八年級課時練習(xí)）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，點(diǎn)D為直線BC上一動點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合)．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上，且點(diǎn)A，F(xiàn)分別在直線BC的兩側(cè)時．

(1)求證：△ABD≌△ACF；
(2)若正方形ADEF的邊長為，對角線AE，DF相交于點(diǎn)O，連接OC，求OC的長度．














6．（2021春·全國·八年級專題練習(xí)）探究證明：
（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在邊BC、CD上，AM⊥BN．求證：BN=AM；

（2）如圖2，矩形ABCD中，點(diǎn)M在BC上，EF⊥AM，EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F．求證：；
（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，點(diǎn)M、N分別在邊BC、AB上，求的值．


















7．（2021春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖1，已知正方形和正方形，點(diǎn)在同一直線上，連接，，與相交于點(diǎn)．

（1）求證：．
（2）如圖2，是邊上的一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且．
①求證：；
②若，直接寫出的值．
















8．（2023春·八年級課時練習(xí)）（1）如圖1，正方形ABCD中，E為邊CD上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)A作AF⊥AE交CB的延長線于F，猜想AE與AF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖2，在（1）的條件下，連接AC，過點(diǎn)A作AM⊥AC交CB的延長線于M，觀察并猜想CE與MF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）解決問題：
王師傅有一塊如圖所示的板材余料，其中∠A=∠C=90°，AB=AD．王師傅想切一刀后把它拼成正方形．請你幫王師傅在圖3中畫出剪拼的示意圖．



















9．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)是線段的延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作交的角平分線于，過點(diǎn)作交于，連接，，．

（1）求證：．
（2）求證：．
（3）若，，求的長．


















10．（2023春·八年級課時練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是正方形，點(diǎn)A，C在坐標(biāo)系上，點(diǎn)B（6，6），P是射線OB上一點(diǎn)，將△AOP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△ABQ，Q是點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)．

(1)如圖1，當(dāng)OP=時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
(2)如圖2，設(shè)點(diǎn)P（x，y）（0＜x＜6），△APQ的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出當(dāng)S取最小值時，點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)當(dāng)BP+BQ=時，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．



11．（2022秋·河南鄭州·九年級?？茧A段練習(xí)）（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)P為線段BC上一個動點(diǎn)，若線段MN垂直AP于點(diǎn)E，交線段AB于點(diǎn)M，交線段CD于點(diǎn)N，證明：AP＝MN；
（2）如圖2，正方形ABCD中，點(diǎn)P為線段BC上一動點(diǎn)，若線段MN垂直平分線段AP，分別交AB，AP，BD，DC于點(diǎn)M，E，F(xiàn)，N．求證：EF＝ME+FN；
（3）若正方形ABCD的邊長為2，求線段EF的最大值與最小值．









六、正方形與45°角的基本圖
一、單選題
1．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，有一正方形的紙片ABCD，邊長為6，點(diǎn)E是DC邊上一點(diǎn)且DC＝3DE，把ADE沿AE折疊使ADE落在AFE的位置，延長EF交BC邊于點(diǎn)G，連接BF有以下四個結(jié)論：
①∠GAE＝45°；②BG+DE＝GE；③點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)；④連接FC，則BF⊥FC；
其中正確的結(jié)論序號是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③
2．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交BC于點(diǎn)G，連結(jié)AG，CF，下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③S△AGE=18；④∠GAE=45°，其中正確的是（　?。?br />
A．①②③ B．②③④ C．③④① D．①②④
3．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在線段BC、CD上運(yùn)動，且滿足∠EAF＝45°，AE、AF分別與BD相交于點(diǎn)M、N，下列說法中：①BE+DF＝EF；②點(diǎn)A到線段EF的距離一定等于正方形的邊長；③BE＝2，DF＝3，則S△AEF＝15；④若AB＝6，BM＝3，則MN＝5．其中結(jié)論正確的個數(shù)是（　?。?br />
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空題
4．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，正方形的邊長為1，點(diǎn)在邊上運(yùn)動（不與點(diǎn)，重合），，點(diǎn)在射線上，且，與相交于點(diǎn)，連接、、．則下列結(jié)論：①；②平分；③；④的面積的最大值是；其中正確的結(jié)論是______．

5．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，E是線段CD上一點(diǎn)，連接AE，將ADE沿AE翻折至AEF，連接BF并延長BF交AE延長線于點(diǎn)P，當(dāng)PF＝BF時，＝_____．

三、解答題
6．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，，點(diǎn)在的延長線上，連接，．
（1）求證：；
（2）若，，求的長．

7．（2023春·八年級課時練習(xí)）已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M，N，AH⊥MN于點(diǎn)H．

（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：　 ??；
（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；
（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH＝2，AH＝6，求NH的長．（可利用（2）得到的結(jié)論）

















8．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖．在正方形中，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在延長線上，，連接交于點(diǎn)H，連接．

（1）求證；
（2）求的值；
（3）探究、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

















9．（2023春·八年級課時練習(xí)）將正方形ABCD放置在平面直角坐標(biāo)系中，B與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，并且實(shí)數(shù)a，b使式子成立，

(1)直接寫出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)：D______，E______．
(2)∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，
①如圖①，求證AE＝EF；
②如圖②，連接AF交DC于點(diǎn)G，作交AE于點(diǎn)M，作交AF于點(diǎn)N，連接MN，求四邊形MNGE的面積；
(3)如圖③，連接正方形ABCD的對角線AC，若點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在CD上，且AP＝CQ，求的最小值．














10．（2022春·河南南陽·八年級校聯(lián)考期末）已知正方形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動點(diǎn)．

（1）如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，CD上的中點(diǎn)，證明DE＝DF；
（2）如圖2，若正方形ABCD的邊長為1，△BEF的周長為2．
①試證明∠EDF＝45°；
②請你進(jìn)一步探究圖形的其它重要性質(zhì)，并將如下A，B，C，D四個結(jié)論中，正確的代號直接填寫在橫線上（不必寫出推理過程）：_________．
A．△DEF一定是等腰三角形．
B．EF＝AE+CF．
C．△DEF中，EF邊上的高為定值．
D．△DEF的面積存在最小值．














11．（2021春·陜西安康·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，以、為鄰邊作，如圖①所示．

（1）求證：是菱形；
（2）若，連接、、，如圖②所示，求證：；
（3）若，，，是的中點(diǎn)，如圖③所示，求的長．



















12．（2023春·八年級課時練習(xí)）在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF=45°．EA交BD于M，AF交BD于N．

(1)作△APB≌△AND（如圖①），求證：△APM≌△ANM；
(2)求證：；
(3)矩形ABCD中，M、N分別在BC、CD上，∠MAN=∠CMN=45°，（如圖②），請你直接寫出線段MN，BM，DN之間的數(shù)量關(guān)系．
















13．（2022春·遼寧葫蘆島·八年級校考期中）如圖，正方形的邊長為，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒的速度沿從點(diǎn)A向終點(diǎn)O運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)O同時出發(fā)，以相同的速度沿射線方向運(yùn)動，規(guī)定點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動，連接，過點(diǎn)P作的垂線，與過點(diǎn)Q平行于的直線l相交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)E，連接，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t（秒）

（1）的度數(shù)為
（2）點(diǎn)D的運(yùn)動總路徑長為______：
（3）探索線段、、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（4）當(dāng)為等腰三角形時，求t的值．
















14．（2022春·湖南長沙·八年級校考階段練習(xí)）將正方形ABCD放置在平面直角坐標(biāo)系中，B與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，并且實(shí)數(shù)a，b使式子成立．

(1)直接寫出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)：D______，E______．
(2)，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F．
①如圖①，求證；
②如圖②，連接AF交DC于點(diǎn)G，作交AE于點(diǎn)M，作交AF于點(diǎn)N，連接MN，求四邊形MNGE的面積．
(3)如圖③，連接正方形ABCD的對角線AC，若點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在CD上，且，求的最小值．


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