?2023年湖北省襄陽市老河口市中考數(shù)學一模試卷
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將其標號在答題卡上涂黑作答.
1．如果向右走3m記作m，那么向左走2m記作（??????）
A．m B．m C．m D．m
2．如圖是某學校的領獎臺，則它的主視圖是（????）

A． B． C． D．
3．北京時間2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙在東風發(fā)射場成功著陸．航天員翟志剛、王亞平、葉光富成功返回地面．目前我國空間站已經(jīng)官宣：空間站每天繞地球19圈，大約96分鐘繞一圈，速度約為28000千米/小時，28000用科學記數(shù)法表示為（????）
A． B． C． D．
4．直線 ABCD，且AD⊥BC于點E，若∠ABE＝32°，則∠ADC的度數(shù)為（　?。?br />
A．68° B．58° C．48° D．68°
5．下列圖形不是軸對稱圖形的是（??）
A． B． C． D．
6．下列說法正確的是（????）
A．隨機事件發(fā)生的概率大于0且小于1
B．“順次聯(lián)結(jié)四邊形四條邊的中點，得到的四邊形是矩形”，這是不可能事件
C．不確定事件發(fā)生的概率為0.5
D．“取兩個非零實數(shù)，它們的積為正數(shù)”，這是必然事件
7．四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它變?yōu)榫匦?，需要添加的條件是（　　）
A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CBD C．AB＝BC D．AC＝BD
8．為了維修某高速公路需開鑿一條長為米的隧道，為了提高工作效率，高速公路建設指揮部決定由甲、乙兩個工程隊從兩端同時開工．已知甲工程隊比乙工程隊每天能多開鑿米，且甲工程隊開鑿米所用的天數(shù)與乙工程隊開鑿米所用的天數(shù)相同，則甲、乙兩個工程隊每天各能開鑿（??）
A．米、米 B．米，米 C．米，米 D．米，米
9．已知，，是反比例函數(shù)的圖像上的三個點，且，，則，，的大小關系是（????）
A． B． C． D．
10．已知拋物線與軸交于點，對稱軸為，與軸的交點在和之間（包含這兩個點）運動．有如下四個結(jié)論：①拋物線與軸的另一個交點是；②點，，，在拋物線上，且滿足，則；③常數(shù)項的取值范圍是；④系數(shù)的取值范圍是．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（????）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③④

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分。把答案填在答題卡的相應位置上。）
11．計算：=________．
12．點P(2m+6,m﹣1)在第三象限，則m的取值范圍是_____________．
13．十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字、百位上的數(shù)字都大的三位數(shù)叫做中高數(shù)．如796就是一個“中高數(shù)”．若十位上的數(shù)字為7，則從4，5，6，9中任選兩數(shù)，與7組成“中高數(shù)”的概率是______．
14．拋物線y＝﹣4x2+8x﹣3的最大值是_____．
15．如圖，已知正方形的邊長為2，若動點E滿足，則線段長的最大值為__________．

16．如圖中，與的平分線相交于H，過點H作交于E，交于F，于D，以下四個結(jié)論①；②；③點H到各邊的距離相等；④若B，H，D三點共線時，一定為等腰三角形．其中正確結(jié)論的序號為 _____．


三、解答題（本大題共9個小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，并且寫在答題卡上每題對應的答題區(qū)域內(nèi)。）
17．先化簡，再求值：，其中．
18．某市“每天鍛煉一小時，幸福生活一輩子”活動已開展了一年，為了解該市此項活動的開展情況，某調(diào)查統(tǒng)計公司準備采用以下調(diào)查方式中的一種進行調(diào)查：
A．從一個社區(qū)隨機選取200名居民；
B．從一個城鎮(zhèn)的不同住宅樓中隨機選取200名居民；
C．從該市公安局戶籍管理處隨機抽取200名城鄉(xiāng)居民作為調(diào)查對象，然后進行調(diào)查．
(1)在上述調(diào)查方式中，你認為比較合理的一個是________(填序號)；
(2)由一種比較合理的調(diào)查方式所得到的數(shù)據(jù)制成了如圖所示的條形統(tǒng)計圖．在這項調(diào)查中，這200名居民每天鍛煉2小時的人數(shù)是________人；
(3)若該市有100萬人，請你利用(2)中的調(diào)查結(jié)果，估計該市每天鍛煉2小時及以上的人數(shù)是多少；
(4)若該市有100萬人，你認為這個調(diào)查活動的設計有沒有不合理的地方？談談你的理由．

19．在數(shù)學活動課上，數(shù)學興趣小組的同學們測量校園內(nèi)一棵大樹的高度，設計的方案及測量數(shù)據(jù)如下：

（1）在大樹前的平地上選擇一點A，測得由點A看大樹頂端C的仰角為35°；
（2）在點A和大樹之間選擇一點B（A、B、D在同一直線上），測得由點B看大樹頂端C的仰角恰好為45°；
（3）量出A、B兩點間的距離為4.5米．請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出大樹CD的高度．（可能用到的參考數(shù)據(jù)：sin35°?0.57；cos35°?0.82；tan35°?0.70）
20．如圖，直線y=-2x+b與x軸、y軸分別相交于點 A，B，以線段 AB為邊在第一象限作正方形ABCD，已知AB=2
(1)求直線 AB的解析式；
(2)求點D的坐標，并判斷點D是否在雙曲線y=，說明理由.

21．如圖1，四邊形ABCD為矩形，曲線L經(jīng)過點D．點Q是四邊形ABCD內(nèi)一定點，點P是線段AB上一動點，作PM⊥AB交曲線L于點M，連接QM．

小東同學發(fā)現(xiàn)：在點P由A運動到B的過程中，對于x1＝AP的每一個確定的值，θ＝∠QMP都有唯一確定的值與其對應，x1與θ的對應關系如表所示：
x1＝AP
0
1
2
3
4
5
θ＝∠QMP
α
85°
130°
180°
145°
130°
小蕓同學在讀書時，發(fā)現(xiàn)了另外一個函數(shù)：對于自變量x2在﹣2≤x2≤2范圍內(nèi)的每一個值，都有唯一確定的角度θ與之對應，x2與θ的對應關系如圖2所示：
根據(jù)以上材料，回答問題：
（1）表格中α的值為　 　．
（2）如果令表格中x1所對應的θ的值與圖2中x2所對應的θ的值相等，可以在兩個變量x1與x2之間建立函數(shù)關系．
①在這個函數(shù)關系中，自變量是　 ，因變量是　 ；（分別填入x1和x2）
②請在網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，并畫出這個函數(shù)的圖象；
③根據(jù)畫出的函數(shù)圖象，當AP＝3.5時，x2的值約為　 ．
22．如圖，在中，，以為直徑的圓交、與點和點，且為的中點，過點作與點，

(1)求證：是的切線；
(2)求的值．
23．某商場計劃購進甲、乙兩種商品共件，這兩種商品的進價、售價如表所示：

進價（元/件）
售價（元/件）
甲種商品


乙種商品


設購進甲種商品（，且為整數(shù)）件，售完此兩種商品總利潤為元．
（1）該商場計劃最多投入元用于購進這兩種商品共件，求至少購進甲種商品多少件？
（2）求與的函數(shù)關系式；
（3）若售完這些商品，商場可獲得的最大利潤是__________元．
24．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，點D是邊AC上一點（不與點 A、C重合），EF垂直平分BD，分別交邊AB、BC于點E、F，聯(lián)結(jié)DE、DF．

(1)如圖1，當BD⊥AC時，求證：EF=AB；
(2)如圖2，設CD=x，CF=y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
(3)當BE=BF時，求線段CD的長．
25．如圖，在平面直角坐標中，是直角三角形，，，，，拋物線經(jīng)過、兩點，拋物線的頂點為．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)點是直角三角形斜邊上一動點（點A、除外），過點作軸的垂線交拋物線于點，當線段的長度最大時，求點的坐標；
(3)在（2）的條件下：在拋物線上是否存在一個點，使是以為直角邊的直角三角形?若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由．








參考答案：
1．【分析】明確“正”和“負”所表示的意義，再根據(jù)題意作答．
解：∵向右走3m記作m，
∴向左走2m記作m，
故選D．
【點評】本題主要考查了相反意義的量，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．
2．【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．
解：從正面看，可得如下圖形：

故選：A．
【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖．
3．【分析】用科學記數(shù)法表示較大數(shù)字時，一般形式為，其中，n為整數(shù)，且n比原來的整數(shù)位少1，據(jù)此判斷即可求解．
解：整數(shù)28000共計5位，采用表達，則有a=2.8，n=5?1=4，
即：28000用科學記數(shù)法表示為，
故選C．
【點評】此題主要考查了用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為，準確確定a、n的值是解答本題的關鍵．
4．【分析】根據(jù)ABCD，可得∠ABE=∠BCD，再由直角三角形兩銳角互余，可求出答案．
解：∵ABCD，且∠ABE＝32°，
∴∠ABE=∠BCD=32°；
∵AD⊥BC于點E，
∴∠CED=90°，
∴∠ECD＋∠EDC=90°，
∴∠ADC=58°，
故選：B．
【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，垂直的定義，熟練運用性質(zhì)轉(zhuǎn)化角度關系是解題的關鍵．
5．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義（如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸）依次進行判斷即可．
解：A．不是軸對稱圖形；故此選項符合題意；
B．是軸對稱圖形；故此選項不符合題意；
C．是軸對稱圖形；故此選項不符合題意；
D．是軸對稱圖形；故此選項不符合題意；
故選A．
【點評】考查了軸對稱圖形的意義，判斷軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，看圖形對折后兩部分是否完全重合．
6．【分析】根據(jù)隨機事件、矩形的判定以及概率的意義分別對每一項進行分析，即可得出答案．
解：A、隨機事件發(fā)生的概率大于0，小于1，故本選項正確，符合題意；
B、“順次聯(lián)結(jié)四邊形四條邊的中點，得到的四邊形不能確定”，這是隨機事件，故本選項錯誤，不符合題意；
C、不確定事件發(fā)生的概率為大于0且小于1，故本選項錯誤，不符合題意；
D、“取兩個非零實數(shù)，它們的積為正數(shù)”，這是隨機事件，故本選項錯誤，不符合題意；
故選：A．
【點評】本題考查了概率的意義，概率的意義反映的只是這一事件發(fā)生的可能性的大小，概率取值范圍：，其中必然發(fā)生的事件的概率（A）；不可能發(fā)生事件的概率（A）；隨機事件，發(fā)生的概率大于0并且小于1．事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1，事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于0．
7．【分析】由四邊形ABCD的對角線互相平分，得四邊形是平行四邊形，再由矩形的判定定理知，只需添加條件是對角線相等．
解：添加AC＝BD，理由如下：
∵四邊形ABCD的對角線互相平分，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC＝BD，
∴平行四邊形ABCD是矩形，
故選：D．
【點評】本題主要考查了矩形的判定，熟練掌握矩形的判定定理是解題的關鍵．
8．【分析】設乙工程隊每天能開鑿x米，那么甲工程隊每天能開鑿（x+10）米，根據(jù)“甲工程隊開鑿300米所用的天數(shù)與乙工程隊開鑿200米所用的天數(shù)相同”列出方程并解答．
解：設乙工程隊每天能開鑿米，那么甲工程隊每天能開鑿米，依題意得
，
解得：，
經(jīng)檢驗，x=20是原方程的根，
所以，x+10=20+10=30，
所以乙工程隊每天能開鑿20米，甲工程隊每天能開鑿30米．
故選：B．
【點評】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．
9．【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)圖像所在的象限，再根據(jù)，，則，，的大小關系即可．
解：∵反比例函數(shù)中，
∴函數(shù)圖像在二、四象限，
∴在每一個象限內(nèi)隨的增大而增大，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：A
【點評】本題考查的是反比例函數(shù)圖像上點的坐標特點，先根據(jù)題意判斷出函數(shù)圖像在二、四象限是解答此題的關鍵．
10．【分析】根據(jù)題意作出草圖，進而根據(jù)拋物線的對稱性和已知條件可知另一個交點即可判斷①，根據(jù)拋物線與軸的交點在和之間（包含這兩個點）運動，進而可得的范圍，且拋物線開口向下，即可判斷②③，根據(jù)對稱軸為，可得，，結(jié)合③的結(jié)論即可判斷④．
解：如圖，

拋物線與軸交于點，對稱軸為，
拋物線與軸的另一個交點是，所以①正確；
拋物線與軸的交點在和之間（包含這兩個點）運動，
拋物線開口向下，，所以③正確；
當時，隨的增大而增大，
當，；所以②錯誤；
，
，
時，，即，
，即，
而，
，
，所以④正確．
故選：D．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關鍵．
11．【分析】先將分式分母通過變號變成同分母，再合并計算．
解：，
=，
=，
=．
故答案為：
【點評】此題主要考查分式的加減，解題關鍵是通過變號把分式變成同分母，再準確計算．
12．【分析】根據(jù)題意由第三象限內(nèi)點的橫坐標、縱坐標均小于0列出關于m的不等式組，進行求解即可．
解：根據(jù)題意，得：，
解得：m＜-3，
故答案為：m＜-3．
【點評】本題主要考查點的坐標及解一元一次不等式組，熟練掌握并根據(jù)第三象限內(nèi)點的坐標符號特點得出關于m的不等式組是解題的關鍵．
13．【分析】先畫出樹狀圖的所有可能，然后再找出任意兩個不同的數(shù)，數(shù)出與7組成“中高數(shù)”的個數(shù)，然后即可求解．
解：所有結(jié)果如圖所示：

共有12種結(jié)果，當7為十位數(shù)的時候，組成的“中高數(shù)”一共有：475、476、574、576、675、674六種結(jié)果，
故概率為．
故答案為：
【點評】本題考查了利用樹狀圖求概率，正確的列出所有結(jié)果和認真仔細數(shù)出符合題意的結(jié)果數(shù)是解題的關鍵．
14．【分析】將一般式化成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得.
解：∵y＝﹣4x2+8x﹣3＝﹣4（x﹣1）2+1，
∴拋物線開口向下，函數(shù)有最大值，最大值為1，
故答案為：1．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，把函數(shù)解析式整理成頂點式形式更簡便．
15．【分析】根據(jù)題意得出E是以為直徑的圓上的一個動點，利用勾股定理可得答案．
解：，
∴點E在以為直徑的圓上，如圖所示，

的最大值為，
∵正方形的邊長為2，
，
的最大值為，
當點E在的下方時，的最大值也是，
故答案為：．
【點評】本題主要考查了圓周角定理、圓的基本性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，根據(jù)最大的弦是直徑求得為的最大值是解題的關鍵．
16．【分析】①利用三角形的內(nèi)角和定理和角平分線平分角，進行求解；②證明為等腰三角形，即可得證；③利用角平分線的性質(zhì)，即可得證；④證明，即可得證．
解：解，①∵與的平分線相交于H，
∴，
∴
，故①錯誤；
②∵與的平分線相交于H，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正確；
③過作，

∵與的平分線相交于H，，
∴，
∴點H到△ABC各邊的距離相等，故③正確；
④若B，H，D三點共線時，則，且平分，
∴，
又∵，
∴（），
∴，
∴一定為等腰三角形，故④正確．
故答案為：②③④；
【點評】本題考查角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判斷和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握角平分線平分角，角平分線上的點到角兩邊的距離相等，是解題的關鍵．
17．【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式和多項式乘多項式可以將題目中的式子展開，然后合并同類項，再根據(jù)a2-2a-2=0，可得a2-2a=2，再將a2-2a=2代入所求式子計算即可．
解：（a-1）2+（a+3）（a-3）+（a-3）（a-1）
=a2-2a+1+a2-9+a2-4a+3
=3a2-6a-5
∵a2-2a-2=0，
∴a2-2a=2，
當a2-2a=2時，原式=3（a2-2a）-5=1．
【點評】本題考查整式的化簡求值，熟練掌握運算法則和運算順序是解答本題的關鍵，注意完全平方公式和平方差公式的應用．
18．【分析】（1）根據(jù)樣本是否具有代表性解答即可；
（2）用200減去其它3個組的人戶即可；
（3）先算出200人中每天鍛煉2小時及以上的人數(shù)，再計算100萬人中每天鍛煉2小時及以上的人數(shù)；
（4）只要合題意即可．
解：(1) A、B兩種調(diào)查方式具有片面性，故C比較合理；；
(2)200-94-38-16=52；
(3) ×100＝53(萬人)．
故估計該市每天鍛煉2小時及以上的人數(shù)是53萬人．
(4)有，由于全市有100萬人，而樣本只選取了200人，樣本容量較小，不能準確地表達出真實情況．(答案不唯一，合理即可).
【點評】本題考查了隨機抽樣，為了獲取能夠客觀反映問題的結(jié)果，通常按照總體中每個個體都有相同的被抽取機會的原則抽取樣本，這種抽樣的方法叫做隨機抽樣.樣本的選取應具有隨機性、代表性、容量應足夠大.
19．【分析】首先分析圖形：本題涉及到兩個直角三角形△DBC、△ADC，應利用其公共邊CD構(gòu)造等量關系，借助AB=AD-DB=4.5構(gòu)造方程關系式，進而可求出答案．
解：如圖：

設CD=x米；
∵∠DBC=45°，
∴DB=CD=x，
∴AD=x+4.5；
在Rt△ACD中，tan∠A=，
∴tan35°=；
解得：x=10.5；
所以大樹的高為10.5米．
【點評】本題考查俯角、仰角的定義，要求學生能借助俯角、仰角構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．
20．【分析】(1)根據(jù)勾股定理可求得b的值，據(jù)此即可求得；
(2)過點D作DE⊥x軸于點E，易證△OAB≌△EDA，利用全等三角形的性質(zhì)可求出點D的坐標．
解：（1）當x=0時，y=b，
∴點B的坐標為(0,b)，
當y=0時，，
∴點A的坐標為，
∴OB=b，，
，
∴，
解得b=4或b=-4(舍去)
直線 AB的解析式為y=-2x+4；
（2）不在；
理由如下：
∵b=4，
∴點B的坐標為(0,4)，點A的坐標為，
∴OB=2，，
過點D作DE⊥x軸于點E，如圖所示．

∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠EAD=90°，
∴∠OBA=∠EAD，
在△OAB和△EDA中，
，
∴△OAB≌△EDA(AAS)，
∴AE=BO=4，DE=AO=2，
∴OE=OA+AE=2+4=6，
∴點D的坐標為(6,2)，
∵當x=6時，，
∴點D在雙曲線y=的圖象上．
【點評】本題考查了勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是采用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．
21．【分析】（1）x=0時和x=5時，兩個θ角為同旁內(nèi)角，即可求解；
（2）①根據(jù)變量的定義即可求解；
②根據(jù)表格中θ的數(shù)據(jù)，從圖2讀出θ對應的x2的數(shù)據(jù)并列表，依據(jù)表格數(shù)據(jù)描圖即可；
③當AP=3.5時，即x1=3.5時，從圖象讀出x2的值即可．
解：（1）當x＝5時，θ＝∠QMP＝130°，當x＝0時，θ＝∠QMP＝α，
x＝0時和x＝5時，兩個θ角為AD∥BC時的兩個同旁內(nèi)角，故α＝180°﹣130°＝50°，
故答案為50°；
（2）①根據(jù)變量的定義，x1是自變量，x2是因變量；
故答案為：x1，x2；
②根據(jù)表格中θ的數(shù)據(jù)，從圖2讀出θ對應的x2的數(shù)據(jù)并列出下表：

依據(jù)上述表格數(shù)據(jù)，描點繪出下圖：

③當AP＝3.5時，即x1＝3.5時，從圖象看x2的值約為﹣1.87，
故答案為﹣1.87（答案不唯一）．
【點評】本題考查函數(shù)的圖象，函數(shù)的基本知識等，解題的關鍵是理解題意，學會利用圖象法解決問題，屬于中考?？碱}型
22．【分析】（1）連接OE，根據(jù)等邊對等角及三角形內(nèi)角和及等量代換得出∠A=∠AEO=∠C，∠AEO+∠CEF=90°，∠OEF=90°，結(jié)合圖象即可證明；
（2）連接BE，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)及等量代換得出AB=BC=AC，結(jié)合圖形，利用特殊角的銳角三角函數(shù)可得EF，即可得出比值．
（1）證明：連接OE，BE，

∵點O為直徑AB中點，點E為AC中點，
∴OE為?ABC的中位線，
∴OE∥BC，
∴∠OEB=∠EBF，
∵EF⊥BC，
∴∠EBF+∠BEF=90°，
∴∠OEB+∠BEF=90°，
即∠OEF=90°，
∵OE為半徑，
∴EF是⊙O的切線；
（2）解：連接BE，

∵AB為圓O的直徑，
∴BE⊥AC
又∵E為AC的中點
∴AB=BC
∵AC=BC
∴AB=BC=AC，
即△ABC為等邊三角形
∴∠ABC=∠C=60°
∴EF=CEsin60°=，
∴．
【點評】考查了圓的綜合題，涉及的知識點有直角三角形的性質(zhì)和圓的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，特殊角的銳角三角函數(shù)等，綜合性較強，有一定的難度．
23．【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和題意列不等式，根據(jù)且x為整數(shù)即可求出x的取值范圍得到答案；
（2）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)即可得到函數(shù)關系式；
（3）根據(jù)（2）中的函數(shù)關系式和一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案.
解：（1）由題意得15x+25（80-x），
解得x，
∵，且為整數(shù)，
∴，且為整數(shù)，
∴至少購進甲種商品50件；
（2）由題意得，
∴y與x的函數(shù)關系式是；
（3）∵，，且為整數(shù)，
∴當x=1時，y有最大值，此時y最大值=795，
故答案為：795.
【點評】此題考查一元一次不等式的實際應用，一次函數(shù)的實際應用，一次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最大值，正確理解題意列不等式或函數(shù)解決問題是解題的關鍵.
24．【分析】（1）先證明 再證明是等邊三角形，結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)求解 再求解 即可得到結(jié)論；
（2）如圖，當過點，是的垂直平分線，求解 如圖，當過點 則 所以分別在AB、BC上時，則 如圖，過作于 再利用勾股定理與線段的和差寫函數(shù)關系式，整理后可得答案；
（3）先畫出符合題意的圖形，再證明 設 則 由 再列方程解方程即可.
解：（1）解： ∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，




是的垂直平分線，



是等邊三角形，

而


（2）解：如圖，當過點，是的垂直平分線，
則

如圖，當過點

則
所以分別在AB、BC上時，則
如圖，過作于



同理：



整理得：
（3）解：當
同理可得：






設
則



【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，二次根式的混合運算，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練的掌握以上知識是解本題的關鍵.
25．【分析】（1）根據(jù)，求出的長，進而得到A，的坐標，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，用含的式表示出、的坐標，求出的長度最大時的值，即可求得、的坐標；
（3）分兩種情況，和時，分別求得點的坐標，將縱坐標代入拋物線解析式，即可求得點的值．
解：（1）解：∵，，，
∴，，
∴，，
把A，代入得：，
解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）∵直線經(jīng)過點，
設直線的解析式為：
把A，代入代入得：
解得：，
∴直線的解析式為：
∵過點作軸的垂線交拋物線于點，
設點橫坐標為，點在線段上(點A，除外)，
∴點，
∴點橫坐標為，點在拋物線上，
∴點，
據(jù)圖知：點在點上方，
∴，
∵，開口向下，有最大值，
當時，的最大值為9．
∴，，
∴點，點；
（3）存在
①當時，點的縱坐標為3，
即，
解得：，，
∴，；
②當，點的縱坐標為，
即，
解得，（舍去）
∴點，
綜上所述，存在點，使是以為直角邊的直角三角形，點的坐標為或或．

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