?注意事項(xiàng)：
1.本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘。
2.答卷前先將密封線左側(cè)的項(xiàng)目填寫清楚。
3.答案須用黑色字跡的鋼筆、簽字筆或圓珠筆書寫，密封線內(nèi)不得答題。

2023年湖北省襄陽市中考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將其標(biāo)號在答題卡上涂黑作答
1．（3分）（2023?襄陽）計(jì)算|﹣3|的結(jié)果是（　?。?br /> A．3 B． C．﹣3 D．±3
2．（3分）（2023?襄陽）下列運(yùn)算正確的是（　　）
A．a(chǎn)3﹣a2＝a B．a(chǎn)2?a3＝a6 C．a(chǎn)6÷a2＝a3 D．（a2）﹣3＝a﹣6
3．（3分）（2023?襄陽）如圖，直線BC∥AE，CD⊥AB于點(diǎn)D，若∠BCD＝40°，則∠1的度數(shù)是（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°
4．（3分）（2023?襄陽）某正方體的平面展開圖如圖所示，則原正方體中與“春”字所在的面相對的面上的字是（　　）

A．青 B．來 C．斗 D．奮
5．（3分）（2023?襄陽）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
6．（3分）（2023?襄陽）不等式組的解集在數(shù)軸上用陰影表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）（2023?襄陽）如圖，分別以線段AB的兩個端點(diǎn)為圓心，大于AB的一半的長為半徑畫弧，兩弧分別交于C，D兩點(diǎn)，連接AC，BC，AD，BD，則四邊形ADBC一定是（　　）

A．正方形 B．矩形 C．梯形 D．菱形
8．（3分）（2023?襄陽）下列說法錯誤的是（　?。?br /> A．必然事件發(fā)生的概率是1
B．通過大量重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率估計(jì)概率
C．概率很小的事件不可能發(fā)生
D．投一枚圖釘，“釘尖朝上”的概率不能用列舉法求得
9．（3分）（2023?襄陽）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，卷七“盈不足”中有題譯文如下：今有人合伙買羊，每人出5錢，會差45錢；每人出7錢，會差3錢．問合伙人數(shù)、羊價(jià)各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為x人，所列方程正確的是（　?。?br /> A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C．＝ D．＝
10．（3分）（2023?襄陽）如圖，AD是⊙O的直徑，BC是弦，四邊形OBCD是平行四邊形，AC與OB相交于點(diǎn)P，下列結(jié)論錯誤的是（　?。?br />
A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB
二、填空題：本大題共6個小題，每小題3分，共18分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上
11．（3分）（2023?襄陽）習(xí)總書記指出，善于學(xué)習(xí)，就是善于進(jìn)步．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”平臺上線后的某天，全國大約有1.2億人在平臺上學(xué)習(xí)．1.2億這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為　 　．
12．（3分）（2023?襄陽）定義：a*b＝，則方程2*（x+3）＝1*（2x）的解為　 　．
13．（3分）（2023?襄陽）從2，3，4，6中隨機(jī)選取兩個數(shù)記作a和b（a＜b），那么點(diǎn)（a，b）在直線y＝2x上的概率是　 ?。?br /> 14．（3分）（2023?襄陽）如圖，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列條件中的一個：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB＝DC，其中不能確定△ABC≌△DCB的是　 ?。ㄖ惶钚蛱枺?br />
15．（3分）（2023?襄陽）如圖，若被擊打的小球飛行高度h（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間具有的關(guān)系為h＝20t﹣5t2，則小球從飛出到落地所用的時(shí)間為　 　s．

16．（3分）（2023?襄陽）如圖，兩個大小不同的三角板放在同一平面內(nèi)，直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)C，點(diǎn)D在AB上，
∠BAC＝∠DEC＝30°，AC與DE交于點(diǎn)F，連接AE，若BD＝1，AD＝5，則＝　 ?。?br />
三、解答題：本大題共9個小題，共72分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，并且寫在答題卡上每題對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。
17．（6分）（2023?襄陽）先化簡，再求值：（﹣1）÷，其中x＝﹣1．
18．（6分）（2023?襄陽）今年是中華人民共和國建國70周年，襄陽市某學(xué)校開展了“我和我的祖國”主題學(xué)習(xí)競賽活動．學(xué)校3000名學(xué)生全部參加了競賽，結(jié)果所有學(xué)生成績都不低于60分（滿分100分）．為了了解成績分布情況，學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下不完整的統(tǒng)計(jì)表．根據(jù)表中所給信息，解答下列問題：
成績x（分）分組
頻數(shù)
頻率
60≤x＜70
15
0.30
70≤x＜80
a
0.40
80≤x＜90
10
b
90≤x≤100
5
0.10
（1）表中a＝　 　，b＝　 ?。?br /> （2）這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在　 　范圍內(nèi)；
（3）判斷：這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)一定落在70≤x＜80范圍內(nèi)，這個說法　 ?。ㄌ睢罢_”或“錯誤”）；
（4）這組數(shù)據(jù)用扇形統(tǒng)計(jì)圖表示，成績在80≤x＜90范圍內(nèi)的扇形圓心角的大小為　 　；
（5）若成績不小于80分為優(yōu)秀，則全校大約有　 　名學(xué)生獲得優(yōu)秀成績．
19．（6分）（2023?襄陽）改善小區(qū)環(huán)境，爭創(chuàng)文明家園．如圖所示，某社區(qū)決定在一塊長（AD）16m，寬（AB）9m的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的小路，其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草．要使草坪部分的總面積為112m2，則小路的寬應(yīng)為多少？

20．（6分）（2023?襄陽）襄陽臥龍大橋橫跨漢江，是我市標(biāo)志性建筑之一．某校數(shù)學(xué)興趣小組在假日對豎立的索塔在橋面以上的部分（上塔柱BC和塔冠BE）進(jìn)行了測量．如圖所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距離為121m，拉索AB與橋面AC的夾角為37°，從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向前進(jìn)23.5m，在D處測得塔冠頂端E的仰角為45°．請你求出塔冠BE的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41）．

21．（7分）（2023?襄陽）如圖，已知一次函數(shù)y1＝kx+b與反比例函數(shù)y2＝的圖象在第一、第三象限分別交于A（3，4），B（a，﹣2）兩點(diǎn)，直線AB與y軸，x軸分別交于C，D兩點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）比較大?。篈D　 　BC（填“＞”或“＜”或“＝”）；
（3）直接寫出y1＜y2時(shí)x的取值范圍．

22．（8分）（2023?襄陽）如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓⊙O相交于點(diǎn)D，過D作直線DG∥BC．
（1）求證：DG是⊙O的切線；
（2）若DE＝6，BC＝6，求優(yōu)弧的長．

23．（10分）（2023?襄陽）襄陽市某農(nóng)谷生態(tài)園響應(yīng)國家發(fā)展有機(jī)農(nóng)業(yè)政策，大力種植有機(jī)蔬菜．某超市看好甲、乙兩種有機(jī)蔬菜的市場價(jià)值，經(jīng)調(diào)查，這兩種蔬菜的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表所示：
有機(jī)蔬菜種類
進(jìn)價(jià)（元/kg）
售價(jià)（元/kg）
甲
m
16
乙
n
18
（1）該超市購進(jìn)甲種蔬菜10kg和乙種蔬菜5kg需要170元；購進(jìn)甲種蔬菜6kg和乙種蔬菜10kg需要200元．求m，n的值；
（2）該超市決定每天購進(jìn)甲、乙兩種蔬菜共100kg進(jìn)行銷售，其中甲種蔬菜的數(shù)量不少于20kg，且不大于70kg．實(shí)際銷售時(shí)，由于多種因素的影響，甲種蔬菜超過60kg的部分，當(dāng)天需要打5折才能售完，乙種蔬菜能按售價(jià)賣完．求超市當(dāng)天售完這兩種蔬菜獲得的利潤額y（元）與購進(jìn)甲種蔬菜的數(shù)量x（kg）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，超市在獲得的利潤額y（元）取得最大值時(shí)，決定售出的甲種蔬菜每千克捐出2a元，乙種蔬菜每千克捐出a元給當(dāng)?shù)馗＠海粢ＷC捐款后的盈利率不低于20%，求a的最大值．
24．（10分）（2023?襄陽）（1）證明推斷：如圖（1），在正方形ABCD中，點(diǎn)E，Q分別在邊BC，AB上，DQ⊥AE于點(diǎn)O，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，GF⊥AE．
①求證：DQ＝AE；
②推斷：的值為　 　；
（2）類比探究：如圖（2），在矩形ABCD中，＝k（k為常數(shù)）．將矩形ABCD沿GF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形FEPG，EP交CD于點(diǎn)H，連接AE交GF于點(diǎn)O．試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接CP，當(dāng)k＝時(shí)，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的長．

25．（13分）（2023?襄陽）如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+3與x軸，y軸分別交于點(diǎn)B，點(diǎn)C，對稱軸為x＝1的拋物線過B，C兩點(diǎn)，且交x軸于另一點(diǎn)A，連接AC．
（1）直接寫出點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)和拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P到直線BC的距離最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)Q（點(diǎn)C除外），使以點(diǎn)Q，A，B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．


2023年湖北省襄陽市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將其標(biāo)號在答題卡上涂黑作答
1．（3分）（2023?襄陽）計(jì)算|﹣3|的結(jié)果是（　?。?br /> A．3 B． C．﹣3 D．±3
【考點(diǎn)】絕對值．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．
【解答】解：|﹣3|＝3．
故選：A．
2．（3分）（2023?襄陽）下列運(yùn)算正確的是（　　）
A．a(chǎn)3﹣a2＝a B．a(chǎn)2?a3＝a6 C．a(chǎn)6÷a2＝a3 D．（a2）﹣3＝a﹣6
【考點(diǎn)】合并同類項(xiàng)；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方；同底數(shù)冪的除法；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．
【分析】直接利用合并同類項(xiàng)法則以及同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算法則分別化簡得出答案．
【解答】解：A、a3﹣a2，無法計(jì)算，故此選項(xiàng)錯誤；
B、a2?a3＝a5，故此選項(xiàng)錯誤；
C、a6÷a2＝a4，故此選項(xiàng)錯誤；
D、（a2）﹣3＝a﹣6，正確．
故選：D．
3．（3分）（2023?襄陽）如圖，直線BC∥AE，CD⊥AB于點(diǎn)D，若∠BCD＝40°，則∠1的度數(shù)是（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°
【考點(diǎn)】垂線；平行線的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】先在直角△CBD中可求得∠DBC的度數(shù)，然后平行線的性質(zhì)可求得∠1的度數(shù)．
【解答】解：∵CD⊥AB于點(diǎn)D，∠BCD＝40°，
∴∠CDB＝90°．
∴∠BCD+∠DBC＝90°，即∠BCD+40°＝90°．
∴∠DBC＝50°．
∵直線BC∥AE，
∴∠1＝∠DBC＝50°．
故選：B．
4．（3分）（2023?襄陽）某正方體的平面展開圖如圖所示，則原正方體中與“春”字所在的面相對的面上的字是（　　）

A．青 B．來 C．斗 D．奮
【考點(diǎn)】專題：正方體相對兩個面上的文字．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】正方體展開圖的“Z”字型找對面的方法即可求解；
【解答】解：由：“Z”字型對面，可知春字對應(yīng)的面上的字是奮；
故選：D．
5．（3分）（2023?襄陽）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考點(diǎn)】軸對稱圖形；中心對稱圖形．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；
B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)正確；
C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；
D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤．
故選：B．
6．（3分）（2023?襄陽）不等式組的解集在數(shù)軸上用陰影表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【考點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式的解集；解一元一次不等式組．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】求出不等式組的解集，表示出數(shù)軸上即可．
【解答】解：不等式組整理得：，
∴不等式組的解集為x≤﹣3，

故選：C．
7．（3分）（2023?襄陽）如圖，分別以線段AB的兩個端點(diǎn)為圓心，大于AB的一半的長為半徑畫弧，兩弧分別交于C，D兩點(diǎn)，連接AC，BC，AD，BD，則四邊形ADBC一定是（　　）

A．正方形 B．矩形 C．梯形 D．菱形
【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；梯形；作圖—復(fù)雜作圖．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可判斷．
【解答】解：由作圖可知：AC＝AD＝BC＝BD，
∴四邊形ACBD是菱形，
故選：D．
8．（3分）（2023?襄陽）下列說法錯誤的是（　?。?br /> A．必然事件發(fā)生的概率是1
B．通過大量重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率估計(jì)概率
C．概率很小的事件不可能發(fā)生
D．投一枚圖釘，“釘尖朝上”的概率不能用列舉法求得
【考點(diǎn)】隨機(jī)事件；概率的意義；列表法與樹狀圖法；利用頻率估計(jì)概率．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】不確定事件就是隨機(jī)事件，即可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，發(fā)生的概率大于0并且小于1．
【解答】解：A、必然事件發(fā)生的概率是1，正確；
B、通過大量重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率估計(jì)概率，正確；
C、概率很小的事件也有可能發(fā)生，故錯誤；
D、投一枚圖釘，“釘尖朝上”的概率不能用列舉法求得，正確，
故選：C．
9．（3分）（2023?襄陽）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，卷七“盈不足”中有題譯文如下：今有人合伙買羊，每人出5錢，會差45錢；每人出7錢，會差3錢．問合伙人數(shù)、羊價(jià)各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為x人，所列方程正確的是（　?。?br /> A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C．＝ D．＝
【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元一次方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】設(shè)合伙人數(shù)為x人，根據(jù)羊的總價(jià)錢不變，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．
【解答】解：設(shè)合伙人數(shù)為x人，
依題意，得：5x+45＝7x+3．
故選：B．
10．（3分）（2023?襄陽）如圖，AD是⊙O的直徑，BC是弦，四邊形OBCD是平行四邊形，AC與OB相交于點(diǎn)P，下列結(jié)論錯誤的是（　?。?br />
A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB
【考點(diǎn)】三角形中位線定理；平行四邊形的性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】利用圓周角定理得到∠ACD＝90°，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CD∥OB，CD＝OB，則可求出∠A＝30°，在Rt△AOP中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可對A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；利用OP∥CD，CD⊥AC可對C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；利用垂徑可判斷OP為△ACD的中位線，則CD＝2OP，原式可對B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；同時(shí)得到OB＝2OP，則可對D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵AD為直徑，
∴∠ACD＝90°，
∵四邊形OBCD為平行四邊形，
∴CD∥OB，CD＝OB，
在Rt△ACD中，sinA＝＝，
∴∠A＝30°，
在Rt△AOP中，AP＝OP，所以A選項(xiàng)的結(jié)論錯誤；
∵OP∥CD，CD⊥AC，
∴OP⊥AC，所以C選項(xiàng)的結(jié)論正確；
∴AP＝CP，
∴OP為△ACD的中位線，
∴CD＝2OP，所以B選項(xiàng)的結(jié)論正確；
∴OB＝2OP，
∴AC平分OB，所以D選項(xiàng)的結(jié)論正確．
故選：A．
二、填空題：本大題共6個小題，每小題3分，共18分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上
11．（3分）（2023?襄陽）習(xí)總書記指出，善于學(xué)習(xí)，就是善于進(jìn)步．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”平臺上線后的某天，全國大約有1.2億人在平臺上學(xué)習(xí)．1.2億這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為　1.2×108?。?br /> 【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】科學(xué)記數(shù)法就是將一個數(shù)字表示成（a×10的n次冪的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整數(shù)，即從左邊第一位開始，在首位非零的后面加上小數(shù)點(diǎn)，再乘以10的n次冪．
【解答】解：1.2億＝1.2×108．
故答案為：1.2×108．
12．（3分）（2023?襄陽）定義：a*b＝，則方程2*（x+3）＝1*（2x）的解為　x＝1　．
【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算；解分式方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】根據(jù)新定義列分式方程可得結(jié)論．
【解答】解：2*（x+3）＝1*（2x），
＝，
4x＝x+3，
x＝1，
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝1是原方程的解，
故答案為：x＝1．
13．（3分）（2023?襄陽）從2，3，4，6中隨機(jī)選取兩個數(shù)記作a和b（a＜b），那么點(diǎn)（a，b）在直線y＝2x上的概率是　　．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；列表法與樹狀圖法．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】畫出樹狀圖，找到b＝2a的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式解答
【解答】解：畫樹狀圖如圖所示，

一共有6種情況，b＝2a的有（2，4）和（3，6）兩種，
所以點(diǎn)（a，b）在直線y＝2x上的概率是＝，
故答案為：．
14．（3分）（2023?襄陽）如圖，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列條件中的一個：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB＝DC，其中不能確定△ABC≌△DCB的是?、凇。ㄖ惶钚蛱枺?br />
【考點(diǎn)】全等三角形的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】一般三角形全等的判定方法有SSS，SAS，AAS，ASA，據(jù)此可逐個對比求解．
【解答】解：∵已知∠ABC＝∠DCB，且BC＝CB
∴若添加①∠A＝∠D，則可由AAS判定△ABC≌△DCB；
若添加②AC＝DB，則屬于邊邊角的順序，不能判定△ABC≌△DCB；
若添加③AB＝DC，則屬于邊角邊的順序，可以判定△ABC≌△DCB．
故答案為：②．
15．（3分）（2023?襄陽）如圖，若被擊打的小球飛行高度h（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間具有的關(guān)系為h＝20t﹣5t2，則小球從飛出到落地所用的時(shí)間為　4　s．

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；二次函數(shù)的應(yīng)用．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】根據(jù)關(guān)系式，令h＝0即可求得t的值為飛行的時(shí)間
【解答】解：
依題意，令h＝0得
0＝20t﹣5t2
得t（20﹣5t）＝0
解得t＝0（舍去）或t＝4
即小球從飛出到落地所用的時(shí)間為4s
故答案為4．
16．（3分）（2023?襄陽）如圖，兩個大小不同的三角板放在同一平面內(nèi)，直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)C，點(diǎn)D在AB上，
∠BAC＝∠DEC＝30°，AC與DE交于點(diǎn)F，連接AE，若BD＝1，AD＝5，則＝　?。?br />
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】過點(diǎn)C作CM⊥DE于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥AC于點(diǎn)N，先證△BCD∽△ACE，求出AE的長及∠CAE＝60°，推出∠DAE＝90°，在Rt△DAE中利用勾股定理求出DE的長，進(jìn)一步求出CD的長，分別在Rt△DCM和Rt△AEN中，求出MC和NE的長，再證△MFC∽△NFE，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等即可求出CF與EF的比值．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CM⊥DE于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥AC于點(diǎn)N，
∵BD＝1，AD＝5，
∴AB＝BD+AD＝6，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠B＝90°﹣∠BAC＝60°，
∴BC＝AB＝3，AC＝BC＝3，
在Rt△BCA與Rt△DCE中，
∵BAC＝∠DEC＝30°，
∴tan∠BAC＝tan∠DEC，
∴，
∵BCA＝∠DCE＝90°，
∴∵BCA﹣∠DCA＝∠DCE﹣∠DCA，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠CAE＝∠B＝60°，∴，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝30°+60°＝90°，，
∴AE＝，
在Rt△ADE中，
DE＝＝＝2，
在Rt△DCE中，∠DEC＝30°，
∴∠EDC＝60°，DC＝DE＝，
在Rt△DCM中，
MC＝DC＝，
在Rt△AEN中，
NE＝AE＝，
∵∠MFC＝∠NFE，∠FMC＝∠FNE＝90，
∴△MFC∽△NFE，
∴＝＝，
故答案為：．

三、解答題：本大題共9個小題，共72分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，并且寫在答題卡上每題對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。
17．（6分）（2023?襄陽）先化簡，再求值：（﹣1）÷，其中x＝﹣1．
【考點(diǎn)】分式的化簡求值．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則把原式化簡，代入計(jì)算即可．
【解答】解：（﹣1）÷
＝（﹣）÷
＝×
＝，
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，原式＝＝．
18．（6分）（2023?襄陽）今年是中華人民共和國建國70周年，襄陽市某學(xué)校開展了“我和我的祖國”主題學(xué)習(xí)競賽活動．學(xué)校3000名學(xué)生全部參加了競賽，結(jié)果所有學(xué)生成績都不低于60分（滿分100分）．為了了解成績分布情況，學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下不完整的統(tǒng)計(jì)表．根據(jù)表中所給信息，解答下列問題：
成績x（分）分組
頻數(shù)
頻率
60≤x＜70
15
0.30
70≤x＜80
a
0.40
80≤x＜90
10
b
90≤x≤100
5
0.10
（1）表中a＝　20　，b＝　0.2　；
（2）這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在　70≤x＜80　范圍內(nèi)；
（3）判斷：這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)一定落在70≤x＜80范圍內(nèi)，這個說法　正確　（填“正確”或“錯誤”）；
（4）這組數(shù)據(jù)用扇形統(tǒng)計(jì)圖表示，成績在80≤x＜90范圍內(nèi)的扇形圓心角的大小為　72°?。?br /> （5）若成績不小于80分為優(yōu)秀，則全校大約有　900　名學(xué)生獲得優(yōu)秀成績．
【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體；頻數(shù)（率）分布表；扇形統(tǒng)計(jì)圖；中位數(shù)；眾數(shù)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】（1）調(diào)查學(xué)生總數(shù)：15÷0.3＝50（名），70≤x＜80的頻數(shù)：50﹣15﹣10﹣5＝20，即a＝2080≤x＜90的頻率：1﹣0.3﹣0.4﹣0.1＝0.2，即b＝0.2；
（2）共50名學(xué)生，中位數(shù)落在“70≤x＜80”范圍內(nèi)；
（3）“70≤x＜80”范圍內(nèi)，頻數(shù)最大，因此這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)落在70≤x＜80范圍內(nèi)；
（4）成績在80≤x＜90范圍內(nèi)的扇形圓心角：＝72°；
（5）獲得優(yōu)秀成績的學(xué)生數(shù)：＝900（名）．
【解答】解：（1）調(diào)查學(xué)生總數(shù)：15÷0.3＝50（名），
70≤x＜80的頻數(shù)：50﹣15﹣10﹣5＝20，即a＝20
80≤x＜90的頻率：1﹣0.3﹣0.4﹣0.1＝0.2，即b＝0.2，
故答案為20，0.2；
（2）共50名學(xué)生，中位數(shù)落在“70≤x＜80”范圍內(nèi)；
（3）“70≤x＜80”范圍內(nèi)，頻數(shù)最大，因此這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)落在70≤x＜80范圍內(nèi)，
故答案為正確；
（4）成績在80≤x＜90范圍內(nèi)的扇形圓心角：＝72°，
故答案為72°；
（5）獲得優(yōu)秀成績的學(xué)生數(shù)：＝900（名），
故答案為900．
19．（6分）（2023?襄陽）改善小區(qū)環(huán)境，爭創(chuàng)文明家園．如圖所示，某社區(qū)決定在一塊長（AD）16m，寬（AB）9m的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的小路，其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草．要使草坪部分的總面積為112m2，則小路的寬應(yīng)為多少？

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】設(shè)小路的寬應(yīng)為xm，那么草坪的總長度和總寬度應(yīng)該為（16﹣2x），（9﹣x）；那么根據(jù)題意得出方程，解方程即可．
【解答】解：設(shè)小路的寬應(yīng)為xm，
根據(jù)題意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，
解得：x1＝1，x2＝16．
∵16＞9，
∴x＝16不符合題意，舍去，
∴x＝1．
答：小路的寬應(yīng)為1m．
20．（6分）（2023?襄陽）襄陽臥龍大橋橫跨漢江，是我市標(biāo)志性建筑之一．某校數(shù)學(xué)興趣小組在假日對豎立的索塔在橋面以上的部分（上塔柱BC和塔冠BE）進(jìn)行了測量．如圖所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距離為121m，拉索AB與橋面AC的夾角為37°，從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向前進(jìn)23.5m，在D處測得塔冠頂端E的仰角為45°．請你求出塔冠BE的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41）．

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】根據(jù)正切的定義分別求出EC、BC，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，tanA＝，
則BC＝AC?tanA≈121×0.75＝90.75，
由題意得，CD＝AC﹣AD＝97.5，
在Rt△ECD中，∠EDC＝45°，
∴EC＝CD＝97.5，
∴BE＝EC﹣BC＝6.75≈6.8（m），
答：塔冠BE的高度約為6.8m．
21．（7分）（2023?襄陽）如圖，已知一次函數(shù)y1＝kx+b與反比例函數(shù)y2＝的圖象在第一、第三象限分別交于A（3，4），B（a，﹣2）兩點(diǎn)，直線AB與y軸，x軸分別交于C，D兩點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）比較大?。篈D　＝　BC（填“＞”或“＜”或“＝”）；
（3）直接寫出y1＜y2時(shí)x的取值范圍．

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】（1）把A（3，4）代入反比例函數(shù)y2＝，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得m，得到反比例函數(shù)的解析式，然后代入B（a，﹣2）），求得a，再根據(jù)待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式即可；
（2）求得C、D的坐標(biāo)，利用勾股定理即可判斷；
（3）根據(jù)圖象即可求得．
【解答】解：（1）把A（3，4）代入反比例函數(shù)y2＝得，
4＝，解得m＝12，
∴反比例函數(shù)的解析式為y2＝；
∵B（a，﹣2）點(diǎn)在反比例函數(shù)y2＝的圖象上，
∴﹣2a＝12，解得a＝﹣6，
∴B（﹣6，﹣2），
∵一次函數(shù)y1＝kx+b的圖象經(jīng)過A（3，4），B（﹣6，﹣2）兩點(diǎn)，
∴，解得，
∴一次函數(shù)的解析式為y1＝x+2；
（2）由一次函數(shù)的解析式為y1＝x+2可知C（0，2），D（﹣3，0），
∴AD＝＝2，BC＝＝2，
∴AD＝BC，
故答案為＝；
（3）由圖象可知：y1＜y2時(shí)x的取值范圍是x＜﹣6或0＜x＜3．
22．（8分）（2023?襄陽）如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓⊙O相交于點(diǎn)D，過D作直線DG∥BC．
（1）求證：DG是⊙O的切線；
（2）若DE＝6，BC＝6，求優(yōu)弧的長．

【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；切線的判定與性質(zhì)；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；弧長的計(jì)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】（1）連接OD交BC于H，如圖，利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)得到∠BAD＝∠CAD，則＝，利用垂徑定理得到OD⊥BC，BH＝CH，從而得到OD⊥DG，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；
（2）連接BD、OB，如圖，先證明∠DEB＝∠DBE得到DB＝DE＝6，再利用正弦定義求出∠BDH＝60°，則可判斷△OBD為等邊三角形，所以∠BOD＝60°，OB＝BD＝6，則∠BOC＝120°，然后根據(jù)弧長公式計(jì)算優(yōu)弧的長．
【解答】（1）證明：連接OD交BC于H，如圖，
∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，BH＝CH，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切線；
（2）解：連接BD、OB，如圖，
∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠BAD，
∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，
∴DB＝DE＝6，
∵BH＝BC＝3，
在Rt△BDH中，sin∠BDH＝＝＝，
∴∠BDH＝60°，
而OB＝OD，
∴△OBD為等邊三角形，
∴∠BOD＝60°，OB＝BD＝6，
∴∠BOC＝120°，
∴優(yōu)弧的長＝＝8π．

23．（10分）（2023?襄陽）襄陽市某農(nóng)谷生態(tài)園響應(yīng)國家發(fā)展有機(jī)農(nóng)業(yè)政策，大力種植有機(jī)蔬菜．某超市看好甲、乙兩種有機(jī)蔬菜的市場價(jià)值，經(jīng)調(diào)查，這兩種蔬菜的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表所示：
有機(jī)蔬菜種類
進(jìn)價(jià)（元/kg）
售價(jià)（元/kg）
甲
m
16
乙
n
18
（1）該超市購進(jìn)甲種蔬菜10kg和乙種蔬菜5kg需要170元；購進(jìn)甲種蔬菜6kg和乙種蔬菜10kg需要200元．求m，n的值；
（2）該超市決定每天購進(jìn)甲、乙兩種蔬菜共100kg進(jìn)行銷售，其中甲種蔬菜的數(shù)量不少于20kg，且不大于70kg．實(shí)際銷售時(shí)，由于多種因素的影響，甲種蔬菜超過60kg的部分，當(dāng)天需要打5折才能售完，乙種蔬菜能按售價(jià)賣完．求超市當(dāng)天售完這兩種蔬菜獲得的利潤額y（元）與購進(jìn)甲種蔬菜的數(shù)量x（kg）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，超市在獲得的利潤額y（元）取得最大值時(shí)，決定售出的甲種蔬菜每千克捐出2a元，乙種蔬菜每千克捐出a元給當(dāng)?shù)馗＠海粢ＷC捐款后的盈利率不低于20%，求a的最大值．
【考點(diǎn)】二元一次方程組的應(yīng)用；解一元一次不等式組；一次函數(shù)的應(yīng)用．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】（1）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，從而可以求得m、n的值；
（2）根據(jù)題意，利用分類討論的方法可以求得y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)（2）中的條件，可以求得y的最大值，然后再根據(jù)題意，即可得到關(guān)于a的不等式，即可求得a的最大值，本題得以解決．
【解答】解：（1）由題意可得，
，解得，，
答：m的值是10，n的值是14；
（2）當(dāng)20≤x≤60時(shí)，
y＝（16﹣10）x+（18﹣14）（100﹣x）＝2x+400，
當(dāng)60＜x≤70時(shí)，
y＝（16﹣10）×60+（16﹣10）×0.5×（x﹣60）+（18﹣14）（100﹣x）＝﹣x+580，
由上可得，y＝；
（3）當(dāng)20≤x≤60時(shí)，y＝2x+400，則當(dāng)x＝60時(shí)，y取得最大值，此時(shí)y＝520，
當(dāng)60＜x≤70時(shí)，y＝﹣x+580，則y＜﹣60+580＝520，
由上可得，當(dāng)x＝60時(shí)，y取得最大值，此時(shí)y＝520，
∵在（2）的條件下，超市在獲得的利潤額y（元）取得最大值時(shí)，決定售出的甲種蔬菜每千克捐出2a元，乙種蔬菜每千克捐出a元給當(dāng)?shù)馗＠?，且要保證捐款后的盈利率不低于20%，
∴，
解得，a≤1.8，
即a的最大值是1.8．
24．（10分）（2023?襄陽）（1）證明推斷：如圖（1），在正方形ABCD中，點(diǎn)E，Q分別在邊BC，AB上，DQ⊥AE于點(diǎn)O，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，GF⊥AE．
①求證：DQ＝AE；
②推斷：的值為　1　；
（2）類比探究：如圖（2），在矩形ABCD中，＝k（k為常數(shù)）．將矩形ABCD沿GF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形FEPG，EP交CD于點(diǎn)H，連接AE交GF于點(diǎn)O．試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接CP，當(dāng)k＝時(shí)，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的長．

【考點(diǎn)】相似形綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】（1）①由正方形的性質(zhì)得AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO+∠OAD＝90°，又知∠ADO+∠OAD＝90°，所以∠HAO＝∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE＝DQ．
②證明四邊形DQFG是平行四邊形即可解決問題．
（2）結(jié)論：＝k．如圖2中，作GM⊥AB于M．證明：△ABE∽△GMF即可解決問題．
（3）如圖2﹣1中，作PM⊥BC交BC的延長線于M．利用相似三角形的性質(zhì)求出PM，CM即可解決問題．
【解答】（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．
∴∠QAO+∠OAD＝90°．
∵AE⊥DH，
∴∠ADO+∠OAD＝90°．
∴∠QAO＝∠ADO．
∴△ABE≌△DAQ（ASA），
∴AE＝DQ．
②解：結(jié)論：＝1．
理由：∵DQ⊥AE，F(xiàn)G⊥AE，
∴DQ∥FG，
∵FQ∥DG，
∴四邊形DQFG是平行四邊形，
∴FG＝DQ，
∵AE＝DQ，
∴FG＝AE，
∴＝1．
故答案為1．

（2）解：結(jié)論：＝k．
理由：如圖2中，作GM⊥AB于M．

∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴＝，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四邊形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴＝＝＝k．

（3）解：如圖2﹣1中，作PM⊥BC交BC的延長線于M．

∵FB∥GC，F(xiàn)E∥GP，
∴∠CGP＝∠BFE，
∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝＝，
∴可以假設(shè)BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，
∵＝，F(xiàn)G＝2，
∴AE＝3，
∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，
∴K＝1或﹣1（舍棄），
∴BE＝3，AB＝9，
∵BC：AB＝2：3，
∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，
∵∠BEF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，
∴∠FEB＝∠EPM，
∴△FBE∽△EMP，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EM＝，PM＝，
∴CM＝EM＝EC＝﹣3＝，
∴PC＝＝．
25．（13分）（2023?襄陽）如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+3與x軸，y軸分別交于點(diǎn)B，點(diǎn)C，對稱軸為x＝1的拋物線過B，C兩點(diǎn)，且交x軸于另一點(diǎn)A，連接AC．
（1）直接寫出點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)和拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P到直線BC的距離最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)Q（點(diǎn)C除外），使以點(diǎn)Q，A，B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】（1）y＝﹣x+3，令x＝0，則y＝3，令y＝0，則x＝6，故點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（6，0）、（0，3），即可求解；
（2）PH＝PGcosα＝（﹣x2+x+3+x﹣3），即可求解；
（3）分點(diǎn)Q在x軸上方、點(diǎn)Q在x軸下方兩種情況，分別求解．
【解答】解：（1）y＝﹣x+3，令x＝0，則y＝3，令y＝0，則x＝6，
故點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（6，0）、（0，3），
拋物線的對稱軸為x＝1，則點(diǎn)A（﹣4，0），
則拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣6）（x+4）＝a（x2﹣2x﹣24），
即﹣24a＝3，解得：a＝﹣，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+x+3…①；
（2）過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)G，作PH⊥BC于點(diǎn)H，

將點(diǎn)B、C坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：
直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+3，
則∠HPG＝∠CBA＝α，tan∠CAB＝＝＝tanα，則cosα＝，
設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2+x+3），則點(diǎn)G（x，﹣x+3），
則PH＝PGcosα＝（﹣x2+x+3+x﹣3）＝﹣x2+x，
∵＜0，故PH有最小值，此時(shí)x＝3，
則點(diǎn)P（3，）；
（3）①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，
則點(diǎn)Q，A，B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)C關(guān)于函數(shù)對稱軸對稱，
則點(diǎn)Q（2，3）；
②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，
Q，A，B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則∠ACB＝∠Q′AB，

當(dāng)∠ABC＝∠ABQ′時(shí)，
直線BC表達(dá)式的k值為﹣，則直線BQ′表達(dá)式的k值為，
設(shè)直線BQ′表達(dá)式為：y＝x+b，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式并解得：
直線BQ′的表達(dá)式為：y＝x﹣3…②，
聯(lián)立①②并解得：x＝6或﹣8（舍去6），
故點(diǎn)Q（Q′）坐標(biāo)為（﹣8，﹣7）（舍去）；
當(dāng)∠ABC＝∠ABQ′時(shí)，
同理可得：直線BQ′的表達(dá)式為：y＝x﹣…③，
聯(lián)立①③并解得：x＝6或﹣10（舍去6），
故點(diǎn)Q（Q′）坐標(biāo)為（﹣10，﹣12），
由點(diǎn)的對稱性，另外一個點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（12，﹣12）；
綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（2，3）或（12，﹣12）或（﹣10，﹣12）．
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日期：2023/7/11 8:50:28；用戶：數(shù)學(xué)；郵箱：85886818-2@xyh.com；學(xué)號：27755521


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