2011-2020年高考數(shù)學(xué)真題分專題訓(xùn)練 專題02 常用邏輯用語（教師版含解析）

這是一份2011-2020年高考數(shù)學(xué)真題分專題訓(xùn)練 專題02 常用邏輯用語（教師版含解析），共16頁。試卷主要包含了命題 p 等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?專題 02 常用邏輯用語
十年大數(shù)據(jù)*全景展示


年份
題號
考點
考查內(nèi)容
2011
課標(biāo)卷
理 10
命題及其關(guān)系
平面向量模與夾角、命題真假判斷
2012
新課標(biāo)
理 2
命題及其關(guān)系
復(fù)數(shù)的概念與運算、命題真假的判定

2014
卷 1
理 9
全稱量詞與特稱量詞
二元一次不等式表示的平面區(qū)域、全稱命題與特稱命題
真假的判定
卷 2
文 3
充分條件與必要條件
導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系、充要條件的判定
2015
卷 1
理 3
全稱量詞與特稱量詞
特稱命題的否定
2017
卷 1
理 2
命題及其關(guān)系
復(fù)數(shù)的有關(guān)概念與運算

2019
卷 2
理 7
充分條件與必要條件
面面平行的判定與性質(zhì)、充要條件判定

卷 3

文 11
1. 全稱量詞與特稱量詞
2. 簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞
二元一次不等式表示的平面區(qū)域、全稱命題與特稱命題
真假判斷、含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的判定

2020
卷 2
文理16
簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞
含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的判斷
卷 3
理 16
命題及其關(guān)系
命題真假的判斷，三角函數(shù)圖象及其性質(zhì)

大數(shù)據(jù)分析*預(yù)測高考


考點
出現(xiàn)頻率
2021 年預(yù)測
考點 5 命題及其關(guān)系
4/10
2021 年仍將與其他知識結(jié)合，考查命題及其關(guān)系、含簡單邏輯連接詞的敏體真假判斷、特稱命題與全稱命題真假判斷及其否定的書寫、充要條件的判定，其中充要條件判定為重點.
考點 6 簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞
2/10
考點 7 全稱量詞與特稱量詞
3/10
考點 8 充分條件與必要條件
2/10

十年試題分類*探求規(guī)律



考點 5 命題及其關(guān)系

1．(2020 新課標(biāo) III 理 16)關(guān)于函數(shù) f ( x) = sin x +

1 ．
sin x

① f ( x) 的圖像關(guān)于 y 軸對稱；② f ( x) 的圖像關(guān)于原點對稱；
③ f ( x) 的圖像關(guān)于 x = p 對稱；④ f ( x) 的最小值為2 ．
2
其中所有真命題的序號是 ．

【答案】②③

【解析】

【分析】利用特殊值法可判斷命題①的正誤；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷命題②的正誤；利用對稱性的 定義可判斷命題③的正誤；取-p< x < 0 可判斷命題④的正誤．綜合可得出結(jié)論．

【詳解】對于命題①， f ? p? = 1 + 2 = 5 ， f ? - p? = - 1 - 2 = - 5 ，則 f ? - p? 1

??????
f ? p? ，



? 6 ÷ 2 2
? 6 ÷ 2 2
? 6 ÷ ? 6 ÷

è ? è ? è ? è ?

∴函數(shù) f ( x ) 的圖象不關(guān)于 y 軸對稱，命題①錯誤；
對于命題②，函數(shù) f ( x ) 的定義域為{x x 1 kp, k ? Z} ，定義域關(guān)于原點對稱，


f (-x ) = sin (-x )+
1 = - sin x -


1 = - ?sin x +


1 ?= - f


(x ) ，

sin (-x)
sin x ?
sin x ÷

è ?

∴函數(shù) f ( x ) 的圖象關(guān)于原點對稱，命題②正確；

Q f ? p- x ? = sin? p- x ? + 1 = cos x + 1

對于命題③，
? 2 ÷ ? 2
÷ ? p ?


cos x ，

è ? è ?
sin ?
è
- x ÷
2
?



f ?p+ x ? = sin ?p+ x ? +?1


= cos x + 1


?p ? ?p ?

? 2 ÷ ? 2
÷ ?p ?


cos x ，則 f
- x = f


+ x ，



è ? è ?
sin + x
? 2 ÷ ? 2 ÷

? 2 ÷
è ? è ?

è ?
∴函數(shù) f ( x ) 的圖象關(guān)于直線 x = p對稱，命題③正確；對于命題④，當(dāng) -p< x < 0 時， sin x < 0 ，則
2

f ( x) = sin x +
1


sin x
< 0 < 2 ，命題④錯誤，故答案為：②③．

2.(2017 新課標(biāo)Ⅰ)設(shè)有下面四個命題

1
p1 ：若復(fù)數(shù) z 滿足 z ? R ，則 z ? R ；
2
p ：若復(fù)數(shù) z 滿足 z2 ? R ，則 z ? R ；
p3 ：若復(fù)數(shù) z1 ， z2 滿足 z1 z2 ? R ，則 z1 = z2 ；
p4 ：若復(fù)數(shù) z ? R ，則 z ? R ． 其中的真命題為

A. p1 ， p3
B. p1 ， p4
C. p2 ， p3
D. p2 ， p4

【答案】B【解析】設(shè) z = a + bi ( a, b ? R )，則 1 =
z
1 =
(a + bi)
a - bi
a 2 + b2

? R ，得b = 0 ，所以 z ? R ， p1 正

2
確；z2 = (a + bi)2 = a2 - b2 + 2abi? R ，則 ab = 0 ，即 a = 0 或b = 0 ，不能確定 z ? R ，p 不正確；若 z ? R ，則b = 0 ，此時 z = a - bi = a ? R ， p4 正確．選 B．
3.(2011 新課標(biāo))已知a ， b 均為單位向量，其夾角為q，有下列四個命題

)
p :| a + b |> 1 ? q?[0, 2p
1 3
p : | a + b |> 1 ? q? ( 2p,p]
2 3



p3 :| a - b |> 1 ? q?
p
[0, )
3
p4 : | a - b |> 1 ? q?
p
( ,p] 3

其中真命題是
A. p1, p4

B. p1, p3

C. p2 , p3

D. p2 , p4


【答案】A【解析】由 a + b =

a2 + b2 + 2ab cosq =

2 + 2 cosq > 1 得，
cosq> - 1 ，
2

?
Tq? é0, 2p? 。由 a - b = a2 + b2 - 2ab cosq = 2 - 2 cosq > 1得cosq< 1
?ê 3 ÷ 2
Tq??p pù ．選 A．

? 3 , ú
è ?
4.(2012 新課標(biāo)，理 3)下面是關(guān)于復(fù)數(shù) z = 2 的四個命題： p ：| z |=2； p ： z2 = 2i ； p ： z 的共軛復(fù)


-1+ i
數(shù)為1+ i ； p4 ： z 的虛部為－1；其中真命題為
1 2 3

A . p2 , p3
B . p1 , p2
C . p2 , p4
D . p3 , p4

2
【答案】C.【解析】∵ z = -1+ i

= -1- i ,∴| z |=

2
2
， z2 = 2i ， z 的共軛復(fù)數(shù)為-1+ i ，虛部為－1，故 p ，


p4 是真命題，故選 C.
5.(2014 陜西)原命題為“若 an + an+1 < a ， n ? N ，則{a }為遞減數(shù)列”，關(guān)于逆命題，否命題，逆否命題

2 n + n
真假性的判斷依次如下，正確的是
A．真，真，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假
【答案】A【解析】 從原命題的真假人手，由于 an + an+1 < a ? a < a ? {a }為遞減數(shù)列，即原命題

2 n n+1 n n

和否命題均為真命題，又原命題與逆否命題同真同假，則逆命題、否命題和逆否命題均為真命題，選 A．
6.(2014 江西)下列敘述中正確的是
A. 若 a, b, c ? R ，則"ax2 + bx + c 3 0" 的充分條件是"b2 - 4ac ￡ 0"
B. 若 a, b, c ? R ，則"ab2 > cb2 "的充要條件是"a > c"
C. 命題“對任意 x ? R ，有 x2 3 0 ”的否定是“存在 x ? R ，有 x2 3 0 ”

D. l 是一條直線，a,b是兩個不同的平面，若l ^ a, l ^ b，則a/ /b


【答案】D【解析】
"b2 - 4ac ￡ 0" 推不出"ax2 + bx + c 3 0"，因為與 a 的符號不確定，所以 A 不正確；

當(dāng)b2 = 0 時，由"a > c" 推不出"ab2 > cb2 "，所以 B 不正確；“對任意 x ? R ，有 x2 3 0 ”的否定是“存在 x ? R ，有 x < 0 ”，所以 C 不正確．選 D．
7.(2013 陜西文)設(shè) z 是復(fù)數(shù), 則下列命題中的假命題是
A．若 z2 3 0 , 則 z 是實數(shù) B．若 z2 < 0 , 則 z 是虛數(shù)

C．若 z 是虛數(shù), 則 z2 3 0 D．若 z 是純虛數(shù), 則 z2 < 0

【答案】C【解析】設(shè)z = a + bi, a, b ? R T z 2 = a 2 - b 2 + 2abi ．


對選項 A: 對選項 B: 對選項 C:
對選項 D:
若z 2 3 0,則b = 0 T z為實數(shù),所以 z為實數(shù)為真．
若z 2 < 0,則a = 0, 且b 1 0 T z為純虛數(shù),所以 z為純虛數(shù)為真．
若z為純虛數(shù),則a = 0, 且b 1 0 T z 2 < 0 ,所以 z 2 3 0 為假．
若z為純虛數(shù),則a = 0, 且b 1 0 T z 2 < 0 ,所以 z 2 < 0 為真．所以選 C．

8.(2012 湖南)命題“若a= p，則tana= 1”的逆否命題是
4

A．若a1 p ，則tana1 1
4
C．若tana1 1 ，則a1 p
4
B．若a= p，則tana1 1
4
D．若tana1 1 ，則a= p
4

【答案】C【解析】因為“若 p ，則 q ”的逆否命題為“若? p ，則?q ”，所以 “若a= p，則tana= 1”的逆
4


p
否命題是 “若tana1 1 ，則a1 ”．
4
9.(2012 福建)下列命題中，真命題是
0
A. $x ? R, ex0 ? 0
C． a + b = 0 的充要條件是 a = -1
b



B. "x ? R, 2x > x 2

D． a > 1, b > 1是 ab > 1 的充分條件

【答案】D【解析】∵ "x ? R, ex > 0 ，故排除 A；取 x=2,則22 = 22 ，故排除 B； a + b = 0 ，取 a = b = 0 ，
a

則不能推出
b
= -1 ，故排除 C；應(yīng)選 D．

10.(2011 山東)已知 a, b, c ? R ，命題“若 a + b + c =3，則 a2 + b2 + c2 ≥3”，的否命題是
A．若 a + b + c 1 3 ，則 a2 + b2 + c2 0 ， x +1 > 1，所以ln(x +1) > 0 ，所以 p 為真命題；若 a > b > 0 ，則 a2 > b2 ， 若b < a < 0 ，則0 < -a < -b ，所以 a2 < b2 ，所以q 為假命題．所以 p ù? q 為真命題．選 B．
4.(2017 山東)已知命題 p ： "x > 0 ， ln(x +1) > 0 ；命題 q ：若 a > b ，則 a2 > b2 ，下列命題為真命題的


是
A. p ù q

B. p ù? q

C. ? p ù q

D. ? p ù? q

【答案】B【解析】"x > 0 ， x +1 > 1，所以ln(x +1) > 0 ，所以 p 為真命題；若 a > b > 0 ，則 a2 > b2 ， 若b < a < 0 ，則0 < -a < -b ，所以 a2 < b2 ，所以q 為假命題．所以 p ù? q 為真命題．選 B．
5.(2014 湖南)已知命題 p ：若 x > y ，則 - x < - y ；命題q ：若 x > y ，則 x2 > y2 ．在命題① p ù q ② p ú q
③ p ù (?q) ④ (?p) ú q 中，真命題是

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C【解析】由不等式的性質(zhì)可知，命題 p 是真命題，命題q 為假命題，故① p ù q 為假命題，② p ú q 為真命題，③ ?q 為真命題，則 p ù (?q) 為真命題，④ ? p 為假命題，則(?p) ú q 為假命題，所以選 C． 6.(2013 湖北)在一次跳傘訓(xùn)練中，甲．乙兩位學(xué)員各跳一次，設(shè)命題 p 是“甲降落在指定范圍”， q 是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為

A． (?p) ú (?q)
B． p ú (?q)
C． (?p) ù (?q)
D． p ú q


【答案】A【解析】“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”即：“甲或乙沒有降落在指定范圍內(nèi)”．
p p

7.(2012 山東)設(shè)命題 p：函數(shù) y = sin 2x 的最小正周期為 2 ；命題 q：函數(shù) y = cos x 的圖象關(guān)于直線 x = 2 對
稱.則下列判斷正確的是
A．p 為真 B． ?q 為假 C． p ù q 為假 D． p ú q 為真
C【解析】∵命題 p 為假,命題 q 也為假,∴ p ù q 為假 ，故選 C．
考點 7 全稱量詞與特稱量詞
1.(2015 新課標(biāo))設(shè)命題 p ： $n ? N ， n2 > 2n ，則? p 為

A． "n ? N , n2 > 2n
C． "n ? N , n2 ≤ 2n
B． $n ? N , n2 ≤ 2n
D． $n ? N , n2 = 2n

【答案】C【解析】命題 p 是一個特稱命題，其否定是全稱命題．
ìx + y 3 1
?
2.(2014 新課標(biāo)卷 1，理 9)9 不等式組íx - 2 y ￡ 4 的解集記為 D .有下面四個命題：
p1 ： "(x, y) ? D, x + 2 y 3 -2 ， p2 ： $(x, y) ? D, x + 2 y 3 2 ,

P3 ： "(x, y) ? D, x + 2 y ￡ 3 ， p4 ： $(x, y) ? D, x + 2 y ￡ -1.
其中真命題是

A . p2 ， P3
【答案】C
B . p1 ， p4
C . p1 ， p2
D . p1 ， P3

【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，作出直線l0 ： x + 2 y = 0 ，平移l0 ，由圖可知，當(dāng)直線：x + 2 y = z 過 A(2, -1) 時， zmin = -2 + 2 = 0
∴ z 3 0 ，∴命題 p1 、 p2 真命題，選 C.
3.(2014 福建)命題“ "x ?[0, +￥).x3 + x 3 0 ”的否定是
A． "x ?(0, +￥).x3 + x < 0 B． "x ?(-￥, 0).x3 + x 3 0
C． $x ?[0, +￥).x 3 + x < 0 D． $x ?[0, +￥).x 3 + x 3 0
0 0 0 0 0 0
【答案】C【解析】 把量詞“ " ”改為“ $ ”，把結(jié)論否定，故選 C
4.(2013 重慶)命題“對任意 x ? R ，都有 x2 3 0 ”的否定為
A．對任意 x ? R ，都有 x2 < 0 B．不存在 x ? R ，都有 x2 < 0

C. 存在 x0
? R ，使得 x 2 3 0
D. 存在 x0
? R ，使得 x 2 < 0

0
0
【答案】D【解析】否定為：存在 x0 ? R ，使得 x < 0 ，故選 D．
0
2
5．(2013 四川)設(shè) x ? Z ，集合 A 是奇數(shù)集，集合 B 是偶數(shù)集，若命題 p ： "x ? A, 2x ? B ，則

A． ? p ： "x ? A, 2x ? B
C． ? p ： "x ? A，2x ? B
B． ? p ： "x ? A，2x ? B
D． ? p ： "x ? A，2x ? B

【答案】C【解析】由命題的否定易知選 C．
6.(2012 湖北)命題“ $x ?e Q ， x 3 ?Q ”的否定是
0 R 0
A． $x ?e Q ， x 3 ?Q B． $x ?e Q ， x 3 ?Q
0 R 0 0 R 0
C． "x ?e Q ， x3 ? Q D． "x ?e Q ， x3 ? Q
R R
【答案】D【解析】存在性命題的否定為“ $ ”改為“ " ”，后面結(jié)論加以否定，故為"x0 ? CRQ,x03 ? Q ．
7.(2012 湖北)命題“存在一個無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是
A. 任意一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)
B. 任意一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)
C. 存在一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)
D. 存在一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)
【答案】B【解析】根據(jù)特稱命題的否定，需先將存在量詞改為全稱量詞，然后否定結(jié)論，故該命題的否定 為“任意一個無理數(shù),它的平方不是有理數(shù)”，故選 B．

8.(2011 安徽)命題“所有能被 2 整聊的整數(shù)都是偶數(shù)”的否．定．是
A．所有不能被 2 整除的數(shù)都是偶數(shù) B．所有能被 2 整除的整數(shù)都不是偶數(shù)
C．存在一個不能被 2 整除的數(shù)都是偶數(shù) D．存在一個能被 2 整除的數(shù)都不是偶數(shù)
p
【答案】D【解析】 根據(jù)定義容易知 D 正確．

9.(2015 山東)若“ "x ?[0, ]， tan x ≤ m ”是真命題，則實數(shù) m 的最小值為 ．
4

p p
【答案】1【解析】“ "x ?[0, ]， tan x ￡ m ”是真命題，則 m 3 tan
4 4
考點 8 充分條件與必要條件

= 1 ，于是實數(shù)m 的最小值為 1。


1．(2020 年高考浙江卷 6)已知空間中不過同一點的三條直線 m , n , l ，則“ m , n , l 在同一平面”是“ m , n , l
兩兩相交”的 ( )

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】將兩個條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的結(jié)果判斷充分必要條件．

【詳解】解法一：由條件可知當(dāng) m, n, l 在同一平面，則三條直線不一定兩兩相交，由可能兩條直線平行，或三條直線平行，反過來，當(dāng)空間中不過同一點的三條直線m, n, l 兩兩相交，如圖，

三個不同的交點確定一個平面，則 m, n, l 在同一平面，∴“ m, n, l ”在同一平面是“ m, n, l 兩兩相交”的必要不充分條件，故選 B．
解法二：依題意m, n, l 是空間不過同一點的三條直線，
當(dāng)m, n, l 在同一平面時，可能 m//n//l ，故不能得出 m, n, l 兩兩相交．
當(dāng)m, n, l 兩兩相交時，設(shè) m ? n = A, m ? l = B, n ? l = C ，根據(jù)公理2 可知 m, n 確定一個平面a，而
B ? m ì a, C ? l ì a，根據(jù)公理1可知，直線 BC 即l ìa，∴ m, n, l 在同一平面． 綜上所述，“ m, n, l 在同一平面”是“ m, n, l 兩兩相交”的必要不充分條件．故選 B． 2．(2020 年高考天津卷 2)設(shè) a ? R ，則“ a > 1 ”是“ a2 > a ”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

【答案】A
【解析】解二次不等式 a2 > a 可得： a > 1或 a < 0 ，據(jù)此可知： a > 1 是 a2 > a 的充分不必要條件，故選 A． 3．(2020 年高考上海卷 16)命題 p : 若存在 a ? R 且 a 1 0 ，對任意的 x ? R ，均有 f (x + a) < f (x) + f (a) 恒

成立，已 知命題 q1 :
f (x) 單調(diào)遞減，且 f (x) > 0 恒成立；命題 q2 :
f (x) 單調(diào)遞減，存在 x0 < 0 使得


f (x0 ) = 0 ，則下列說法正確的是( )

A． q1 , q2 都是 p 的充分條件 B．只有q1 是 p 的充分條件

C． 只有 q2 是 p 的充分條件 D． q1 , q2 都不是 p 的充分條件

【答案】A
【解析】q1 : 當(dāng) a > 0 ， f (a) > 0 ，因為函數(shù) f ( x) 單調(diào)遞減，所以 f ( x + a) < f ( x) < f ( x) + f (a) ，即
f ( x + a) < f ( x) + f (a)，存在 a > 0 ，當(dāng)滿足命題 q1 時，使命題 p 成立，


q2 :
當(dāng)a = x0 < 0 時， f (a) = 0
，因為函數(shù) f ( x) 單調(diào)遞增，所以 f ( x + a) < f ( x) = f ( x) + f (a) ，即


f ( x + a) < f ( x) + f (a)，存在 a < 0 ，當(dāng)滿足命題 q2 時，命題 p 成立， 綜上可知命題 q1 、q2 都是命題 p 的充分條件，故選 A．
4．(2020 年高考北京卷 9)

已知a,b? R ，則“存在 k ? Z ，使得a= kπ + (-1)k b”是“ sina= sin b”的 ( )

A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件

C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C

【解析】∵a= kp+ (-1)k b，且 y = sin x 周期為2p，∴當(dāng) k 為偶數(shù)時，a與b終邊相同，

∴ sina= sin b一定成立，

當(dāng) k 為奇數(shù)時，則a= kp- b，∴ sina= sin b成立，充分條件成立．

反之，當(dāng)sina= sin b時，a與b終邊相同，或a與b終邊關(guān)于 y 軸對稱，∴必要條件也成立，故選 C．
5.(2019 全國Ⅱ理 7)設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是
A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行 B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行

C．α，β平行于同一條直線 D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】對于 A，a內(nèi)有無數(shù)條直線與b平行，則a與b相交或a∥b，排除； 對于 B，a內(nèi)有兩條相交直線與b平行，則a∥b；
對于 C，a， b平行于同一條直線，則a與b相交或a∥b，排除；
對于 D，a， b垂直于同一平面，則a與b相交或a∥b，排除．故選 B．
6.(2014 新課標(biāo) 2)函數(shù) f (x) 在 x=x0 處導(dǎo)數(shù)存在，若 p：f ￠( x0 ) = 0 ， q : x = x0 是 f (x) 的極值點，則
A． p 是 q 的充分必要條件 B． p 是 q 的充分條件，但不是 q 的必要條件
C． p 是q 的必要條件，但不是 q 的充分條件 D． p 既不是 q 的充分條件，也不是q 的必要條件
【答案】C【解析】設(shè) f (x) = x3 ， f ￠(0) = 0 ，但是 f (x) 是單調(diào)增函數(shù)，在 x = 0 處不存在極值，故若 p 則
q 是一個假命題，由極值的定義可得若 q 則 p 是一個真命題，故選 C．
7.(2019 天津理 3)設(shè) x ? R ，則“ x2 - 5x < 0 ”是“| x -1|< 1”的
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】【解析】由 x2 - 5x < 0 ，可得0 < x < 5 ，由 x -1 < 1 ，得0 < x < 2 ，因為0 < x < 5 不能推出0 < x < 2 ，但0 < x < 2 可以推出0 < x < 5 ， 所以0 < x < 5 是0 < x < 2 的必要不充分條件， 即0 < x < 5 是 x -1 < 1 的必要不充分條件，故選 B．
8.(2019 北京文 6) 設(shè)函數(shù) f(x)=cosx+bsinx(b 為常數(shù))，則“b=0”是“f(x)為偶函數(shù)”的
(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件
(C) 充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件
【答案】C【解析】 若b = 0 ，則 f ( x) = cos x 是偶函數(shù)；反之，若 f ( x) 為偶函數(shù)，則 f (-x) = f ( x) ， 即cos(-x) + b sin (-x) = cos x - b sin x = cos x + b sin x ，即b sin x = 0 對"x 成立，
可得b = 0 ，故“ b = 0 ”是“ f ( x) 為偶函數(shù)”的充分必要條件.故選 C.
AB AC BC
9.(2019 北京理 7)設(shè)點A,B,C不共線，則“ 與 的夾角是銳角”是“ uuur + uuur > uuur ”的
(A) 充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件
uur uuur uuur uur uuur uur uuur
【答案】C【解析】點 A，B，C 三點不共線， AB + AC > BC ? AB + AC > AB - AC

uur uuur 2
? AB + AC >
uur uuur 2
AB - AC
uur uuur
? AB × AC > 0 ?

“ AB 與 AC 的夾角為銳角”.

uur uuur uuur

所以“ AB 與 AC 的夾角為銳角”是“ AB + AC > BC
的充要條件．故選 C．


10.(2019 浙江 5)若 a＞0，b＞0，則“a+b≤4”是 “ab≤4”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

【答案】A【解析 】 因為a＞0，b＞0，若a+b≤4，則 2
ab?a + b?4 ，則 ab?4 ，即 a + b?4 T ab?4 .

反之，若 ab?4 ，取 a = 1 ，b = 4 ，則 ab = 4?4 ，但 a + b = 5 ，即 ab?4 推不出a+b≤4，所以a+b≤4是 ab?4的充分不必要條件.故選A．
11.(2018 北京)設(shè)a ， b 均為單位向量，則“ a - 3b = 3a + b ”是“ a ⊥ b ”的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C【解析】∵ a - 3b = 3a + b ，∴ (a - 3b)2 = (3a + b)2 ，∴ a2 - 6a × b + 9b2 =
9a2 + 6a × b + b2 ，又| a |=| b |= 1，∴ a × b = 0 ，∴ a ^ b ；反之也成立，故選 C．
12.(2018 上海)已知 a ? R ，則“ a > 1”是“ 1 < 1 ”的( )
a
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件

【答案】A【解析】由 a > 1可得 1
a
1
< 1 成立；當(dāng) 1
a

< 1 ，即
1 1- a
< > >
-1 = < 0 ，解得 a 0 或 a 1，推不出 a 1
a a

一定成立；所以“ a > 1”是“
a
< 1 ”的充分非必要條件．故選 A．

13.(2017 浙江)已知等差數(shù)列{an } 的公差為 d ，前 n 項和為 Sn ，則“ d > 0 ”
是“ S4 +S6 > 2S5 ”的
A. 充分不必要條件 B． 必要不充分條件
C． 充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C【解析】∵ (S6 - S5 ) - (S5 - S4 ) = a6 - a5 = d ，當(dāng) d > 0 ，可得 S4 +S6 > 2S5 ；當(dāng) S4 +S6 > 2S5 ， 可得 d > 0 ．所以“ d > 0 ”是“ S4 +S6 > 2S5 ” 充分必要條件，選 C．

14.(2017 天津)設(shè)q? R ，則“|q-
π |< π ”是“ sinq< 1 ”的

12 12 2
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件


【答案】A【解析】由|q-
π |< π ，得0 < 0 的充要條件是cos < m, n >< 0 ．因為l< 0 ，則由 m = ln 可知 m, n 的方向相反，< m, n >= 180o ，所以cos < m, n >< 0 ， 所以“存在負(fù)數(shù)l，使得 m = ln ”可推出“ m × n < 0 ”；而 m × n < 0 可推出cos < m, n >< 0 ，但不一定推出
m, n 的方向相反，從而不一定推得“存在負(fù)數(shù)l，使得 m = ln ”，所以“存在負(fù)數(shù)l，使得 m = ln ”是“ m × n < 0 ”的充分而不必要條件．
16．(2016 年北京)設(shè)a, b 是向量，則“|a|=|b| ”是“| a + b |=| a - b | ”的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D【解析】取a = -b 1 0 ，則| a |=| b |1 0 ， | a + b |=| 0 |= 0 ，| a - b |=| 2a |1 0 ， 所以| a + b |1| a - b |，故由| a |=| b | 推不出| a + b |=| a - b |．由| a + b |=| a - b |，
得| a + b |2 =| a - b |2 ，整理得 a × b = 0 ，所以a ^ b ，不一定能得出| a |=| b | ，
故由| a + b |=| a - b | 推不出| a |=| b | ，故“| a |=| b | ”是“| a + b |=| a - b |”的既不充分也不必要條件，故選 D．
17．(2016 年山東)已知直線 a，b 分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)，則“直線 a 和直線 b 相交”是“平面α和平面β 相交”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A【解析】若直線a, b 相交，設(shè)交點為 P ，則 P ? a, P ? b ，又 a ì a, b ì b，所以
P ?a, P ?b，故a,b相交．反之，若a,b相交，則 a, b 可能相交，也可能異面或平行．故“直線 a 和直線 b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件．故選 A．
18．(2016 年天津) 設(shè){an } 是首項為正數(shù)的等比數(shù)列， 公比為 q ， 則“ q < 0 ”是“ 對任意的正整數(shù) n ，
a2n-1 + a2n < 0 ” 的( )
A．充要條件 B．充分而不必要條件
C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件

【答案】C【解析】由題意得， an
= a qn-1 (a
> 0) ， a
2n-1 + a2n
= a q2n-2 + a q2n-1 =

1 1
1 1
1
1
a q2n-2 (1+ q) ，若 q < 0 ，因為1 + q 得符號不定，所以無法判斷 a
2n-1 + a2n

的符號；

反之，若a
2 n -1 + a2 n
< 0 ，即a q2( n-1) (q + 1) < 0 ，可得 q < -1 < 0 ，

故“ q < 0 ”是“對任意的正整數(shù) n ， a2n-1 + a2n < 0 ”的必要不充分條件，故選 C.
19(2015 安徽)設(shè) p ：1 < x < 2 ， q ： 2x > 1 ，則 p 是 q 成立的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A【解析】由 q : 2x > 20 ，解得 x > 0 ，易知， p 能推出 q ，但q 不能推出 p ，故 p 是q 成立的充分不必要條件，選 A．
20．(2015 重慶)“ x > 1 ”是“ log 1 ( x + 2) < 0 ”的
2

A．充要條件 B．充分而不必要條件
C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B【解析】log 1 ( x + 2) < 0 ? x + 2 > 1 ? x > -1 ，因此選 B．
2

21．(2015 天津)設(shè) x ? R
，則“ x - 2 < 1
”是“ x2 + x - 2 > 0 ”的


A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A 【解析】解不等式| x - 2 |< 1可得，1 < x < 3 ，解不等式 x2 + x - 2 > 0 可得， x < -2 或 x > 1 ，

所以“ x - 2 < 1
”是“ x2 + x - 2 > 0

”的充分而不必要條件．


22.( 2015 北京)設(shè)a， b是兩個不同的平面， m 是直線且 m ?a．“ m ∥ b”是“a∥ b”的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B 【解析】因為a， b是兩個不同的平面， m 是直線且 m ?a．若“ m P b”，則平面a、b 可能相交也可能平行，不能推出a∥ b，反過來若a∥ b，m ìa，則有 m ∥ b，則“ m ∥ b”是“a∥ b”的必要 而不充分條件．
23．(2015 陜西)“ sina= cosa”是“ cos 2a= 0 ”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要
【答案】A 【解析】因為 cos 2a= cos2 a- sin2 a= 0 ， 所以 sina= cosa 或 sina= -cosa ， 因為“ sina= cosa ” T “ cos 2a= 0 ” ， 但“ sina= cosa ” ü/ “ cos 2a= 0 ” ， 所以“ sina= cosa ” 是 “ cos 2a= 0 ”的充分不必要條件，故選 A．
24.(2014 廣東)在DABC 中，角 A ， B ， C 所對應(yīng)的邊分別為 a, b, c, 則“ a ￡ b ”是“ sinA ￡ sin B ”的
A．充分必要條件 B．充分非必要條件
C．必要非充分條件 D．非充分非必要條件


【答案】A【解析】由正弦定理
a


sin A
= b
sin B
，故“ a ￡ b ” ? “ sinA ￡ sin B ”．

25(2014 浙江)已知i 是虛數(shù)單位， a, b ? R ,則“ a = b = 1 ”是“ (a + bi)2 = 2i ”的
A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件
C． 充分必要條件 D． 既不充分也不必要條件
【答案】.A【解析】 當(dāng) a = b = 1 時，(a + bi)2 = (1+ i)2 = 2i ，反之，若(a + bi)2 = 2i ，則有 a = b = -1 或
a = b = 1 ，因此選 A．
26.(2013 安徽)“ a ≤ 0 ”是“函數(shù) f (x)= (ax-1)x 在區(qū)間(0,+￥) 內(nèi)單調(diào)遞增”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C【解析】當(dāng) a=0 時， f ( x) = x ，∴ f ( x) 在區(qū)間(0, +￥) 內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)a < 0 時，

f ( x) = a ? x - 1 ? x 中一個根 1 < 0 ，另一個根為0 ，由圖象可知 f ( x) 在區(qū)間
? a ÷ a
è ?
(0, +￥) 內(nèi)單調(diào)遞增；∴"a ￡ 0" 是“函數(shù) f (x)= (ax-1)x 在區(qū)間(0,+￥) 內(nèi)單調(diào)遞增”的充分條件，相反，當(dāng)

f ( x) = a ? x - 1 ? x 在區(qū)間(0,+￥) 內(nèi)單調(diào)遞增，∴ a = 0 或 1 < 0 ，即 a ￡ 0 ；"a ￡ 0" 是“函數(shù)
? a ÷ a
è ?
f (x)= (ax-1)x 在區(qū)間(0,+￥) 內(nèi)單調(diào)遞增”的必要條件，故前者是后者的充分必要條件．所以選 C．
27．(2013 北京)“j= p”是“曲線 y = sin (2x +j) 過坐標(biāo)原點的”
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A【解析】當(dāng)j= p時， y = -sin 2x 過原點； y = sin (2x +j) 過原點，則j= ×××, -p, 0,p,××× 等無數(shù)個值．選 A．
28.(2013 浙江)已知函數(shù) f (x) = A cos(wx +j)( A > 0,w> 0,j? R) ，則“ f (x) 是奇函數(shù)”是j= p 的
2
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B【解析】由 f(x)是奇函數(shù)可知 f(0)=0，即 cosφ=0，解出φ=π+kπ，k?Z，所以選項 B 正確．
2
29．(2012 安徽)設(shè)平面a與平面b相交于直線 m ，直線a 在平面a內(nèi)，直線b 在平面b內(nèi)，且b ^ m ，則
“a^ b”是“ a ^ b ”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
【答案】A【解析】①a^ b, b ^ m,a? b= m, b ì b T b ^ a, a ì aT b ^ a

②如果 a / /m ；∵ b ^ m ，一定有 a ^ b 但不能保證b ^a，既不能推出a^ b
30.(2012 北京)設(shè) a,b ? R ，“ a = 0 ”是“復(fù)數(shù) a + bi 是純虛數(shù)”的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B【解析】a = 0 時 a + bi 不一定是純虛數(shù)，但 a + bi 是純虛數(shù) a = 0 一定成立，故“ a = 0 ”是“復(fù)數(shù) a + bi 是 純 虛 數(shù) ” 的 必 要 而 不 充 分 條 件 ． 31.(2012 山東)設(shè) a > 0 且 a 1 1，則“函數(shù) f (x) = a x 在 R 上是減函數(shù)”是“ g(x) = (2 - a)x3 在 R 上是增函數(shù)”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A【解析】p：“函數(shù) f (x) = a x 在 R 上是減函數(shù) ”等價于0 < a < 1；q：“函數(shù) g(x) = (2 - a)x3 在 R 上是增函數(shù)”等價于 2 - a > 0 ，即0 < a < 2, 且 a≠1，故 p 是 q 成立的充分不必要條件．選 A． 32.(2011 湖南)設(shè)集合 M = {1, 2}, N = {a2 }, 則 “ a = 1”是“ N í M ”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】A【解析】顯然 a = 1時一定有 N í M ，反之則不一定成立，如 a = -1，故“ a = 1”是“ N í M ” 充分不必要條件．