物體系的平衡·靜定和超靜定問題曾凡林哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研組  

 本講主要內(nèi)容 1、物體系的平衡，靜定和超靜定的概念2、物體系的平衡問題練習(xí)3、平面簡(jiǎn)單桁架的內(nèi)力計(jì)算
      1、物體系的平衡，靜定和超靜定的概念
 (1)     問題的引出 各種平面力系的平衡方程。 投影式、取矩式。平衡力系對(duì)任意一點(diǎn)的力的投影之和等于零，力矩之和等于零?？梢粤谐鰺o(wú)數(shù)個(gè)平衡方程。可以求解無(wú)數(shù)個(gè)未知數(shù)？?    平面任意力系，3 個(gè)；?    平面匯交力系，2 個(gè)；?    平面平行力系， 2 個(gè)；
?    平面力偶系，
1 個(gè)。
 實(shí)際工程中，大多都是物體系的平衡。有的時(shí)候未知量的數(shù)目等于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目；但有的時(shí)候，為了使結(jié)構(gòu)更加穩(wěn)固，需要增加多余的約束使得未知量數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程數(shù)。
  
FA FB
FA FB FC
      P P  
F1FA y F2MA FAxBP
F1FA y F2FBMA FAxBA P
   靜定 未知量的數(shù)目等于獨(dú)立的平衡方程數(shù)目時(shí)，全部未知量均可求出，這樣的問題稱為靜定問題。   
超靜定（靜不定）
未知量的數(shù)目超過了獨(dú)立平衡方程數(shù)目時(shí)，未知量不可全部求出，這樣的問題稱為超靜定（靜不定）問 題。
   除了平衡條件，還需加入變形條件(材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué))。
 (2)     物體系的平衡問題及求解有些實(shí)際工程中的物體系的平衡問題，要求解的未知量的數(shù)目多于物體系所在力系的獨(dú)立平衡方程數(shù)，“看起來”像是超靜定問題。但如果仔細(xì)分析，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們?nèi)匀皇庆o定問題，只是在求解時(shí)要用到一些技巧。例1 無(wú)重組合梁由AC和CD在C處鉸接而成.梁的A 端插入墻內(nèi), B 處用無(wú)重桿與基礎(chǔ)相連.已知F=20kN, q=10kN/m, M=20kN·m, l=1m.求: A, B處的約束力.分析：先畫出系統(tǒng)所受的約束力。平面任意力系，4個(gè)未知量，無(wú)法求解？C點(diǎn)鉸接這個(gè)因素（條件）沒有考慮。把這個(gè)因素考慮進(jìn)去再分析，會(huì)發(fā)現(xiàn)這實(shí)質(zhì)上仍是一個(gè)靜定問題?？梢砸?/span>C點(diǎn)為突破口來求解。
 
解： 以CD為研究對(duì)象, 畫受力圖.
FC y
? MC ? 0 C
FB  sin 60? ? l
?   ql ? l2
?   F cos 30?
? 2l ? 0
FB=45.77kN
 FA y
 M FAx
q FBB
 30° F
先局部后整體的方法取整體為研究對(duì)象, 畫受力圖.
MA A
C 60° D
? F x ? 0
F ? F
cos 60?
?   F sin 30? ? 0 l l l l
? F y ? 0
FAy
?   FB
sin 60?
?   2ql
? F cos 30? ? 0
? M A ? 0
M A ? M
?   2ql ? 2l
?    FB
sin 60?
? 3l
?   F cos 30?
? 4l ? 0
 
MA
? 10.37kN ?m
FAx
? 32.89kN
FAy
? ?2.32kN
 例2 圖示結(jié)構(gòu)中，已知重物重力為P，DC=CE=AC=CB=2l，定滑輪半徑為R，動(dòng)滑輪半徑為r，且R=2r=l, θ=45o。試求A、E支座的約束力以及BD桿
所受到的力。解：解這類題時(shí)，應(yīng)根據(jù)已知條件與待求未知量，選
DFA K
取適當(dāng)?shù)南到y(tǒng)為研究對(duì)象，并列適當(dāng)?shù)钠胶夥匠?，盡 量能使一個(gè)方程解出一個(gè)未知量。一般先分析整體。(1)    取整體為研究對(duì)象，畫出其受力圖。只有三個(gè)未知量，能夠求解，列平衡方程：
A θCFEyE
BI FExII
? ME
(F ) ? 0
? 2(FA ?
? 2l) ? P 5 l ? 02 2
先整體后局部的方法
? Fx  ? 0? Fy  ? 0
FA cos 45? ?FA sin 45? ?
FEx ? 0FEy ? P ? 0
 FCx
D FBDK FC
P K=P/2
FEy
FCy  E
FEx
(2)   取DE桿為研究對(duì)象，畫出其受力圖。注意到只求FBD，因此列平衡方程:
? MC
(F)        ) ? 0
?    FBD
? cos 45?? 2l
?    FK
? l ?
FEx
? 2l ? 0

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