格致中學(xué)2022學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)數(shù)學(xué)期中                   2023.4一、填空題：（本題共有12個(gè)小題，1-6每小題3分，7-12每小題4分，滿分42分）1．若點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，且，則y的值是______．2．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的模是______．3．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>______．4．在△ABC中，，，若點(diǎn)D滿足，則（用，表示）5．若，那么的值是______．6．已知向量，點(diǎn)，若向量與方向相同，且，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為______．7．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則角______．8．已知向量在向量方向上的投影向量為，且，則______．（結(jié)果用數(shù)值表示）9．在△ABC中，，，若該三角形為鈍角三角形，則邊c的取值范圍是______．10．定義在R上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)，，則的值為______．11．設(shè)，為單位向量，非零向量，x，．若，的夾角為，則的最大值等于______．12．某同學(xué)對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究后，得出以下五個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的圖像是軸對(duì)稱圖形；②函數(shù)對(duì)定義域中任意的x值，恒有成立；③函數(shù)的圖像與x軸有無窮多個(gè)交點(diǎn)，且每相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離相等；④對(duì)于任意常數(shù)，存在常數(shù)，函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)遞減，且；⑤當(dāng)常數(shù)k滿足時(shí)，函數(shù)的圖像與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．其中結(jié)論正確的序號(hào)是：______．二、選擇題：（本題共有4個(gè)小題，每小題4分，滿分16分）13．設(shè)復(fù)平面上表示和的點(diǎn)分別為點(diǎn)A和點(diǎn)B，則表示向量的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A．第一象限； B．第二象限； C．第三象限； D．第四象限．14．已知非零向量，，，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件；  B．必要不充分條件；C．充分必要條件；  D．既不充分也不必要條件．15．設(shè)函數(shù)，其中，，若對(duì)任意的恒成立，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．；B．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；C．在上單調(diào)遞增；D．過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖像必有公共點(diǎn)．16．如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，∠APB是銳角，大小為．則圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為（    ）A． B． C． D．三、解答題：（本題共有4大題，滿分42分．解題時(shí)要有必要的解題步驟）17．（本題共2小題，其中第1小題5分，第2小題5分，滿分10分）在△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊長分別是a，b，c．（1）若，，且△ABC的面積，求a，b的值；（2）若，試判斷△ABC的形狀．  18．（本題共2小題，其中第1小題4分，第2小題6分，滿分10分）已知關(guān)于t的方程的一個(gè)根為．（1）求方程的另一個(gè)根及實(shí)數(shù)a的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使時(shí)，不等式對(duì)恒成立？若存在，試求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．      19．（本題共2小題，其中第1小題4分，第2小題6分，滿分10分）已知向量，，．（1）求和；（2）若函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)t的值．  20．（本題共2小題，其中第1小題6分，第2小題6分，滿分12分）在某個(gè)旅游業(yè)為主的地區(qū)，每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)會(huì)發(fā)生周期性的變化．現(xiàn)假設(shè)該地區(qū)每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)可近似地用函數(shù)來刻畫．其中，正整數(shù)n表示月份且，例如時(shí)表示1月份；A和k是正整數(shù)；．統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)有以下規(guī)律：①各年相同的月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)基本相同；②從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差約400人；③2月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多．（1）試根據(jù)已知信息，確定一個(gè)符合條件的的表達(dá)式；（2）一般地，當(dāng)該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)超過400人時(shí)，該地區(qū)就進(jìn)入了一年中的旅游旺季．那么一年中的哪幾個(gè)月是該地區(qū)的旅游旺季？請(qǐng)說明理由．     
參考答案一、填空題1.;  2.;  3.;  4.;  5.;  6.;  7.;  8.-18;  9.;  10.；  11.2   12.(1) (2) (4)11.設(shè)，為單位向量，非零向量，x，．若，的夾角為，則的最大值等于______．【答案】2【解析】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。的最大值等于2。12.某同學(xué)對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究后，得出以下五個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的圖像是軸對(duì)稱圖形；②函數(shù)對(duì)定義域中任意的x值，恒有成立；③函數(shù)的圖像與x軸有無窮多個(gè)交點(diǎn)，且每相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離相等；④對(duì)于任意常數(shù)，存在常數(shù)，函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)遞減，且；⑤當(dāng)常數(shù)k滿足時(shí)，函數(shù)的圖像與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．其中結(jié)論正確的序號(hào)是：______．【答案】(1)(2)(4)【解析】對(duì)于(1),的定義域?yàn)?/span>,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，,是偶函數(shù),的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,故(1)正確;對(duì)于(2),,在處的切線為,,,故(2)正確;對(duì)于(3),令得,的圖象與軸的交點(diǎn)中,距離原點(diǎn)最
近的兩個(gè)交點(diǎn)距離為,其余相鄰的交點(diǎn)距離為,
故(3)錯(cuò)誤;
對(duì)于(4),聯(lián)立方程組得根據(jù)與的函數(shù)圖象可知兩圖象必有1交點(diǎn)，函數(shù)的圖象與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),故(4)正確.故答案為:(1)(2)(4).二、選擇題13.A   14.B   15.D   16.B
15.設(shè)函數(shù)，其中，，若對(duì)任意的恒成立，則下列結(jié)論正確的是（   ）A．；B．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；C．在上單調(diào)遞增；D．過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖像必有公共點(diǎn)．【答案】【解析】由對(duì)任意的恒成立得函數(shù)在取得最大值,所以,整理得，,,所以錯(cuò)誤;與函數(shù)在對(duì)稱軸處取得最值矛盾,不正確;:令
解得,,顯然不包含區(qū)間不正確;由于的定義域，最大值,故,從而點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖像必有公共點(diǎn),正確.故選:.三、解答題17.（1）2;2（2）等腰三角形18.（1）4(2)19.（1）：（2）19.已知向量，，．（1）求和；（2）若函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)t的值．【答案】見解析【解析】當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)增,函數(shù)的最小值為-1，不滿足;當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值為當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)減,函數(shù)的最小值為,不滿足,綜上可知,的值為.20.在某個(gè)旅游業(yè)為主的地區(qū)，每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)會(huì)發(fā)生周期性的變化．現(xiàn)假設(shè)該地區(qū)每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)可近似地用函數(shù)來刻畫．其中，正整數(shù)n表示月份且，例如時(shí)表示1月份；A和k是正整數(shù)；．統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)有以下規(guī)律：①各年相同的月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)基本相同；②從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差約400人；③2月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多．（1）試根據(jù)已知信息，確定一個(gè)符合條件的的表達(dá)式；（2）一般地，當(dāng)該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)超過400人時(shí)，該地區(qū)就進(jìn)入了一年中的旅游旺季．那么一年中的哪幾個(gè)月是該地區(qū)的旅游旺季？請(qǐng)說明理由．【答案】見解析【解析】根據(jù)三條規(guī)律，可知該函數(shù)為周期函數(shù),且周期為12.由此可得,;由規(guī)律(2)可知,所以,,由條件是正整數(shù),故取.綜上可得,符合條件.
(2)由條件,可得因?yàn)?/span>,所以當(dāng)
時(shí),,故,即一年中的,10四個(gè)月是該地區(qū)的旅游“旺季”。   

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