格致中學(xué)2022學(xué)年第二學(xué)期高二年級數(shù)學(xué)期中2023.4一、填空題：（本題共有12個小題，每小題4分，滿分48分）1．拋物線的焦點坐標(biāo)為_________．2．某高中共有學(xué)生1200人，其中高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)比為6∶5∶4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校所有學(xué)生中抽取一個容量為60的樣本，則高三年級應(yīng)該抽取_________人．3．直線與直線平行，則_________．4．直線x=1與直線的夾角大小為_________．5．若方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍為_________．6．某動漫手辦廠推出一款新產(chǎn)品“手辦盲盒”，該廠為“套路”顧客，將6個“手辦”裝成一箱，且每箱均有2個稀有手辦。若某同學(xué)從一箱中隨機購買2個盲盒，則能買到稀有手辦的概率為_________．（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）7．若方程表示的曲線是一個圓，則實數(shù)a的取值范圍是_______．8．已知過拋物線的焦點F且傾斜角為60°的直線與拋物線交于A，B兩點，則弦AB的中點到y軸的距離為_________．9．如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方容器，容器高8cm，將一個球放置在容器口，再向容器注水，當(dāng)球面接觸水面時，測得水深為6cm，若不計容器的厚度，則球的表面積為_________．10．設(shè)，為雙曲線的兩個焦點, P，Q為上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩個點，且滿足，則四邊形的面積為_________． 11．從某個角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線的一部分，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，且AB=BC=CD=2，視AD所在直線為x軸，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程方程為_________．12．若是圓O：上的任意一點，則的取值范圍是_________．二、選擇題：（本題共有4個小題，每小題4分，滿分16分）13．若直線l的一個方向向量為，則它的傾斜角為（    ）A．30° B．60° C．120° D．150°14．已知平面兩兩垂直，直線a、b、c滿足：，，，則直線a、b、c位置關(guān)系不可能是（    ）A．兩兩垂直 B．兩兩平行 C．兩兩相交 D．兩兩異面15．曲線上存在不同的三點到原點的距離構(gòu)成等比數(shù)列，則以下不可能成為公比的數(shù)是（    ）A． B． C． D．16．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，若從橢圓右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓上的點A和點B反射后，滿足AB⊥AD，且，則該橢圓的離心率為（    ）A．    B．    C．     D．三、解答題：（本題共有4大題，滿分36分。解題時要有必要的解題步驟）17．（本題共2小題，其中第1小題4分，第2小題4分，滿分8分）已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個紅球和4個黑球．現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取2個球．（1）求取出的4個球均為黑球的概率．（2）求取出的4個球中恰有1個紅球的概率．       18．（本題共2小題，其中第1小題4分，第2小題4分，滿分8分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB．（1）求證：直線BD⊥底面PAC；（2）求直線PC與平面PBD所成的角的大?。?/span>       19．（本題共2小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，滿分10分）如圖：雙曲線的左、右焦點分別為，，過作直線l交y軸于點Q．（1）當(dāng)直線l平行于的一條漸近線時，求點到直線l的距離；（2）當(dāng)直線l的斜率為1時，在的右支上是否存在點P，滿足？若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由                   20．（本題共3小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分3分，第3小題滿分4分，滿分10分）已知橢圓的長軸長為，離心率為．直線l與橢圓有兩個不同的交點A、B．（1）求橢圓的方程；（2）若直線l的方程為：，橢圓上點關(guān)于直線l的對稱點N（與M不重合）在橢圓上，求t的值；（3）設(shè)，直線PA與橢圓的另一個交點為C，直線PB與橢圓的另一個交點為D．若點C、D和點三點共線，求直線l的斜率值．    
參考答案一、填空題1.（-1，0）  2.16   3.  4.   5.   6.   7.   8.9.    10.16   11.  12.11．從某個角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線的一部分，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，且AB=BC=CD=2，視AD所在直線為x軸，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程方程為_________．【答案】【詳解】設(shè)所求雙曲線方程為:,,則根據(jù)題意可得,點在雙曲線上,所求曲線方程為 12．若是圓O：上的任意一點，則的取值范圍是_________．【答案】【詳解】
表示圓上任意一點到直線和:距離之和的5倍,如圖, ,,所以,,故的取值范圍是,故答案為:.二、選擇題13．C    14. B    15. B    16. D15．曲線上存在不同的三點到原點的距離構(gòu)成等比數(shù)列，則以下不可能成為公比的數(shù)是（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)平面幾何切割線定理:從圓外一點做圓的切線和割線,則切線長是割線與它的圓外部分的比例中項.鑒于此,從原點作該半圓的切線,切線長為:
設(shè)割線與半圓的另外兩個交點到原點的距離分別是和,則,且所以;所以,當(dāng),則;當(dāng)時,
考查四個選項,只有選項不符合上述范圍故選.16．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，若從橢圓右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓上的點A和點B反射后，滿足AB⊥AD，且，則該橢圓的離心率為（    ）A．．  B．    C．     D．【答案】D【詳解】連接,,由題意可知,三點共線,,三點共線,在中,因為,且,可得,,設(shè),可得,由橢圓的定義可知
又因為,即,解得,所以,,
在Rt中,,即,
可得,故選:.
三、解答題17.（1）；（2）    18.（1）略；（2）    19.（1）2 ；（2）不存在20．（1）；（2）； （3）19．如圖：雙曲線的左、右焦點分別為，，過作直線l交y軸于點Q． （1）當(dāng)直線l平行于的一條漸近線時，求點到直線l的距離；（2）當(dāng)直線l的斜率為1時，在的右支上是否存在點P，滿足？若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由【答案】2【詳解】(1)雙曲線,焦點在軸上,,則雙曲線左、右焦點分別為,,
過作直線,設(shè)直線的斜率為交軸于點.當(dāng)直線平行于的一條漸近線時,不妨令則直線的方程為:,即,
則點到直線的距離為;
20.已知橢圓的長軸長為，離心率為．直線l與橢圓有兩個不同的交點A、B．（1）求橢圓的方程；（2）若直線l的方程為：，橢圓上點關(guān)于直線l的對稱點N（與M不重合）在橢圓上，求t的值；（3）設(shè)，直線PA與橢圓的另一個交點為C，直線PB與橢圓的另一個交點為D．若點C、D和點三點共線，求直線l的斜率值．【答案】（1）；（2）； （3）2【詳解】（1）由橢圓的長軸長為,離心率為,可得,即,又,解得,則，則橢圓的方程為:
(2)聯(lián)立可得,由,可得.設(shè),則,,解得,即,又在橢圓上,可,解得舍去或,則;

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