1、揣摩例題。課本上和老師講解的例題，一般都具有一定的典型性和代表性。要認(rèn)真研究，深刻理解，要透過(guò)“樣板”，學(xué)會(huì)通過(guò)邏輯思維，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，特別是要學(xué)習(xí)分析問(wèn)題的思路、解決問(wèn)題的方法，并能總結(jié)出解題的規(guī)律。 2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過(guò)解題來(lái)提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。 3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過(guò)后，總有同學(xué)抱怨沒(méi)考好，糾其原因是考試時(shí)沒(méi)有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問(wèn)題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。 4、重視錯(cuò)題?！板e(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
§10.2　二項(xiàng)式定理
能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.
第一部分 落實(shí)主干知識(shí)
第二部分 探究核心題型
2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù) .(2)增減性與最大值：
②當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng) 取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng) 與 相等，且同時(shí)取得最大值.(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：(a＋b)n的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為 ＝ .
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(2)(a＋b)n的展開(kāi)式中每一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無(wú)關(guān).(　　)
(4)二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)的最大項(xiàng)就是二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng).(　　)
2.(選擇性必修第三冊(cè)P31T4改編)　　　　的展開(kāi)式中x2的系數(shù)等于A.45　　　B.20　　　C.－30　　　D.－90
因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)為Tk＋1＝ 　　 ·x－(10－k)＝ ，
A.1 B.2C.2 023 D.2 023×2 024
因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)之和為2n＝32，所以n＝5.令x＝1，可得各項(xiàng)系數(shù)的和為(1－2)5＝－1.
命題點(diǎn)1　形如(a＋b)n(n∈N*)的展開(kāi)式例1　(1)(x－2y)8的展開(kāi)式中x6y2的系數(shù)為_(kāi)_____(用數(shù)字作答).
題型一　通項(xiàng)公式的應(yīng)用
所以(x－2y)8的展開(kāi)式中x6y2的系數(shù)為112.
則由1＋10a2＝11，解得a＝±1.
命題點(diǎn)2　形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開(kāi)式
破解三項(xiàng)展開(kāi)式問(wèn)題求三項(xiàng)展開(kāi)式中某些指定的項(xiàng)，常常利用這幾種方法：(1)兩項(xiàng)看成一項(xiàng)，利用二項(xiàng)式定理展開(kāi).(2)因式分解，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二項(xiàng)式再求解.(3)看作多個(gè)因式的乘積，用組合的知識(shí)解答.典例　(1)(3x2＋2x＋1)10的展開(kāi)式中，含x2的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)______.
所以(3x2＋2x＋1)10的展開(kāi)式中，含x2的項(xiàng)的系數(shù)為210.
(2)(1＋2x－3x2)5的展開(kāi)式中含x5的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_______.
將(1＋2x－3x2)5看作5個(gè)因式1＋2x－3x2的乘積，這5個(gè)因式乘積的展開(kāi)式中形成x5的來(lái)源有：
(1)求二項(xiàng)展開(kāi)式中的問(wèn)題，一般是化簡(jiǎn)通項(xiàng)后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k＋1，代回通項(xiàng)即可.(2)對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的問(wèn)題，一般可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(多選)已知 的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)之比為3∶14，則下列結(jié)論成立的是A.n＝10B.展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為45C.含x5的項(xiàng)的系數(shù)為210D.展開(kāi)式中的有理項(xiàng)有5項(xiàng)
由于第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)之比為3∶14，
得n2－5n－50＝0，解得n＝10(負(fù)值舍去)，故A正確；
則Tk＋1＝ ，
此時(shí)k＝0,2,4,6,8,10，故有6項(xiàng)有理項(xiàng)，故D錯(cuò)誤.
(2)(2024·攀枝花模擬)(1－ax2)(1＋x)4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為12，則a＝____.
題型二　二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的問(wèn)題
命題點(diǎn)1　二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和例3　(1)(多選)已知 的展開(kāi)式中第二項(xiàng)與第三項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之比為1∶8，則A.n＝4B.展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1C.展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為24D.展開(kāi)式中不含常數(shù)項(xiàng)
則所有項(xiàng)的系數(shù)之和為－1，故B錯(cuò)誤；
若Tk＋1為常數(shù)項(xiàng)，則有2k－9＝0，
(2)(多選)(2023·重慶模擬)已知(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023＋a2 024x2 024，則A.展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第1 012項(xiàng)B.展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1
D.a1＋2a2＋3a3＋…＋2 023a2 023＋2 024a2 024＝4 048
令x＝1，可得(1－2)2 024＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＋a2 024＝1，即展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1，故B正確；
將等式(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023＋a2 024x2 024兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得，2 024×(－2)(1－2x)2 023＝a1＋2a2x1＋…＋2 023a2 023x2 022＋2 024a2 024x2 023，再令x＝1，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋2 023a2 023＋2 024a2 024＝4 048，故D正確.
命題點(diǎn)2　系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的最值例4　已知 的二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則下列結(jié)論正確的是A.二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為37B.二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為C.二項(xiàng)展開(kāi)式中無(wú)常數(shù)項(xiàng)D.二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為240x3
所以2n＝64，則n＝6，
令x＝1，可得二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為36，故A錯(cuò)誤；
第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí)k＝3，則二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T4＝ ＝ ，故B錯(cuò)誤；
所以二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 ＝60，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)閗∈N，所以k＝2.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知(mx＋1)n(n∈N*，m∈R)的展開(kāi)式只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，設(shè)(mx＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＝8，則a2＋a3＋…＋an等于A.63　　　B.64　　　C.247　　　D.255
因?yàn)檎归_(kāi)式只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開(kāi)式共9項(xiàng)，所以n＝8，
所以(x＋1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a8＝28＝256，令x＝0，得a0＝1，所以a2＋a3＋…＋an＝256－8－1＝247.
(2)(多選)若(3x－2)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 025x2 025(x∈R)，則A.a0＝22 025
對(duì)于A，當(dāng)x＝0時(shí)，a0＝(－2)2 025＝－22 025，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，C，當(dāng)x＝1時(shí)，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 025＝12 025＝1，當(dāng)x＝－1時(shí)，a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024－a2 025＝－52 025，
題型三　二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用
例5　(1)設(shè)a∈Z，且0≤a≤13，若512 025＋a能被13整除，則a等于A.0　　　B.1　　　C.11　　　D.12
因?yàn)閍∈Z，且0≤a≤13，所以512 025＋a＝(52－1)2 025＋a
因?yàn)?12 025＋a能被13整除，
(2)利用二項(xiàng)式定理計(jì)算1.056，則其結(jié)果精確到0.01的近似值是　　　　　　　　　
二項(xiàng)式定理應(yīng)用的題型及解法(1)在證明整除問(wèn)題或求余數(shù)問(wèn)題時(shí)要進(jìn)行合理的變形，使被除式(數(shù))展開(kāi)后的每一項(xiàng)都含有除式的因式.(2)二項(xiàng)式定理的一個(gè)重要用途是做近似計(jì)算：當(dāng)n不是很大，|x|比較小時(shí)，(1＋x)n≈1＋nx.
＝12n－2＝(13－1)n－2
(2)利用二項(xiàng)式定理計(jì)算0.996，則其結(jié)果精確到0.001的近似值是
＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016≈0.941.
A.－1　　　B.1　　　C.－2　　　D.2
令5－2k＝－1，解得k＝3，
2.若(1＋3x)2＋(1＋2x)3＋(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4等于A.49　　　B.56　　　C.59　　　D.64
令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋3)2＋(1＋2)3＋(1＋1)4＝59.
3.(x＋2y)5(x－3y)的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為A.－120　　　B.－40　　　C.80　　　D.200
因?yàn)?x＋2y)5(x－3y)＝x(x＋2y)5－3y(x＋2y)5，
4.已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則|a0|＋|a1|＋…＋|a5|等于A.1　　　B.243　　　C.121　　　D.122
令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.
5.(x＋y－2z)5的展開(kāi)式中，xy2z2的系數(shù)是A.120　　　B.－120　　　C.60　　　D.30
方法一　由題意知(x＋y－2z)5＝[(x＋y)－2z]5，
所以(x＋y－2z)5的展開(kāi)式中，
方法二　(x＋y－2z)5相當(dāng)于5個(gè)(x＋y－2z)相乘，含xy2z2的項(xiàng)則是其中1個(gè)(x＋y－2z)中取x，2個(gè)(x＋y－2z)中取y，2個(gè)(x＋y－2z)中取z，
6.多項(xiàng)式(x2＋1)(x＋1)(x＋2)(x＋3)的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為A.6　　　B.8　　　C.12　　　D.13
原式＝x2(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)，所以展開(kāi)式中含x3的項(xiàng)包含(x＋1)(x＋2)(x＋3)中x項(xiàng)為1·2·x＋2·3·x＋1·3·x＝11x，和(x＋1)(x＋2)(x＋3)中x3的項(xiàng)為x3，這兩項(xiàng)的系數(shù)和為11＋1＝12.
二、多項(xiàng)選擇題7.(2023·長(zhǎng)春模擬)已知 的展開(kāi)式中的第三項(xiàng)的系數(shù)為45，則A.n＝9B.展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1 024C.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)D.含x3的項(xiàng)是第7項(xiàng)
＝ ，
令x＝1得展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為210＝1 024，故B正確；
展開(kāi)式中共有11項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，故C正確；
＝ ＝ ，
所以含x3的項(xiàng)是第7項(xiàng)，故D正確.
8.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出著名的楊輝三角，由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.如圖所示，由楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行線，從上往下每條線上各數(shù)之和依次為1,1,2,3,5,8,13，….以下關(guān)于楊輝三角的猜想中正確的是A.由“與首末兩端等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等” 猜想B.由“在相鄰兩行中，除1以外的每個(gè)數(shù)都等于它肩上 的兩個(gè)數(shù)之和”猜想C.第9條斜線上各數(shù)之和為55D.在第n(n≥5)條斜線上，各數(shù)從左往右先增大后減小
在第n(n≥5)條斜線上，各數(shù)從左往右先增大后減小，故D正確.
三、填空題9.若展開(kāi)式 中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則其展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)____.
＝ ，
11.設(shè)(x＋1)(2x2－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11，則a0＋22a2＋24a4＋…＋210a10＝______.
令x＝2，得3×75＝a0＋2a1＋22a2＋…＋211a11，①令x＝－2，得－75＝a0－2a1＋22a2－…－211a11，②
12.寫出一個(gè)可以使得992 025＋a被100整除的正整數(shù)a＝______________.
由題意可知992 025＋a＝(100－1)2 025＋a，
所以－1＋a＝100n(n∈Z)，得a＝100n＋1(n∈Z)，不妨取n＝0，得a＝1.
四、解答題13.已知( ＋3x2)n的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)和與它的二項(xiàng)式系數(shù)和的比值為32.(1)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
令x＝1，得展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)和為(1＋3)n＝22n，又展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為2n.
因?yàn)閚＝5，所以展開(kāi)式共有6項(xiàng)，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、四兩項(xiàng)，
(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).
設(shè)展開(kāi)式中第k＋1項(xiàng)的系數(shù)最大，
因?yàn)閗∈N，所以k＝4，
即展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T5＝ ＝ .
14.在①只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；②第4項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；③奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為128，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答問(wèn)題.已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，________.
若選①：因?yàn)橹挥械?項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開(kāi)式中共有9項(xiàng)，即n＋1＝9，得n＝8.若選②：因?yàn)榈?項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，
若選③：因?yàn)槠鏀?shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為128，
所以2n－1＝128，解得n＝8.所以(2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，
令x＝0，得a0＝1，
(2)求a1＋2a2＋3a3＋…＋nan的值.
由(1)可知，n＝8，(2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，兩邊求導(dǎo)得16(2x－1)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7，令x＝1，則有16＝a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8，所以a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝16.
15.(多選)下列結(jié)論正確的是
C.若(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，x∈R，則|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋ |a10|＝310
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝a0－a1＋a2－…＋a10，所以令x＝－1，有(－2－1)10＝a0－a1＋a2－…＋a10＝310，因此|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝310，故C正確；
因?yàn)?1＋x＋x2)2 024·(x－1)2 024＝(x3－1)2 024，

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高考 一輪復(fù)習(xí)第十章 10.3 二項(xiàng)式定理課件PPT
2020版高考數(shù)學(xué)（天津?qū)Ｓ茫┐笠惠喚珳?zhǔn)復(fù)習(xí)課件：10.2　二項(xiàng)式定理 【KS5U 高考】

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