2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（步步高版）第八章　§8.7　拋物線-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識(shí)梳理
1．拋物線的概念
把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．
2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
常用結(jié)論
1．通徑：過(guò)焦點(diǎn)與對(duì)稱軸垂直的弦長(zhǎng)等于2p.
2．拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也稱為拋物線的焦半徑．
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線．( × )
(2)方程y＝4x2表示焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0)．( × )
(3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．( × )
(4)以(0,1)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y.( √ )
教材改編題
1．拋物線x2＝eq \f(1,4)y的準(zhǔn)線方程為( )
A．y＝－eq \f(1,16) B．x＝－eq \f(1,16)
C．y＝eq \f(1,16) D．x＝eq \f(1,16)
答案 A
解析由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，拋物線的焦點(diǎn)位于y軸正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))，準(zhǔn)線方程為y＝－eq \f(1,16).
2．過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
答案 B
解析拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.根據(jù)題意可得，
|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1
＝x1＋x2＋2＝8.
3．拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)M(3，y)到焦點(diǎn)F的距離|MF|＝4，則拋物線的方程為( )
A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x
答案 B
解析由題意可得|MF|＝xM＋eq \f(p,2)，
則3＋eq \f(p,2)＝4，即p＝2，故拋物線方程為y2＝4x.
題型一拋物線的定義及應(yīng)用
例1 (1)(2022·全國(guó)乙卷)設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B(3,0)，若|AF|＝|BF|，則|AB|等于( )
A．2 B．2eq \r(2) C．3 D．3eq \r(2)
答案 B
解析方法一由題意可知F(1,0)，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1.
設(shè)Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4)，y0))，
則由拋物線的定義可知|AF|＝eq \f(y\\al(2,0),4)＋1.
因?yàn)閨BF|＝3－1＝2，
所以由|AF|＝|BF|，可得eq \f(y\\al(2,0),4)＋1＝2，
解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2)．
不妨取A(1,2)，
則|AB|＝eq \r(?1－3?2＋?2－0?2)＝eq \r(8)＝2eq \r(2).
方法二由題意可知F(1,0)，故|BF|＝2，
所以|AF|＝2.
因?yàn)閽佄锞€的通徑長(zhǎng)為2p＝4，
所以AF的長(zhǎng)為通徑長(zhǎng)的一半，
所以AF⊥x軸，
所以|AB|＝eq \r(22＋22)＝eq \r(8)＝2eq \r(2).
(2)已知點(diǎn)M(20,40)不在拋物線C：y2＝2px(p>0)上，拋物線C的焦點(diǎn)為F.若對(duì)于拋物線上的一點(diǎn)P，|PM|＋|PF|的最小值為41，則p的值等于________．
答案 42或22
解析當(dāng)點(diǎn)M(20,40)位于拋物線內(nèi)時(shí)，如圖①，過(guò)點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為D，
則|PF|＝|PD|，
|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
當(dāng)點(diǎn)M，P，D三點(diǎn)共線時(shí)，
|PM|＋|PF|的值最?。?br>由最小值為41，得20＋eq \f(p,2)＝41，解得p＝42.
當(dāng)點(diǎn)M(20,40)位于拋物線外時(shí)，如圖②，當(dāng)點(diǎn)P，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|＋|PF|的值最?。?br>由最小值為41，得eq \r(402＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20－\f(p,2)))2)＝41，
解得p＝22或p＝58.
當(dāng)p＝58時(shí)，y2＝116x，點(diǎn)M(20,40)在拋物線內(nèi)，故舍去．
綜上，p＝42或p＝22.
① ②
思維升華 “看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”，許多拋物線問(wèn)題均可根據(jù)定義獲得簡(jiǎn)捷、直觀的求解．“由數(shù)想形，由形想數(shù)，數(shù)形結(jié)合”是靈活解題的一條捷徑．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)已知拋物線y＝mx2(m>0)上的點(diǎn)(x0,2)到該拋物線焦點(diǎn)F的距離為eq \f(11,4)，則m等于( )
A．4 B．3 C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,3)
答案 D
解析由題意知，拋物線y＝mx2(m>0)的準(zhǔn)線方程為y＝－eq \f(1,4m)，
根據(jù)拋物線的定義，可得點(diǎn)(x0,2)到焦點(diǎn)F的距離等于到準(zhǔn)線y＝－eq \f(1,4m)的距離，
可得2＋eq \f(1,4m)＝eq \f(11,4)，解得m＝eq \f(1,3).
(2)若P是拋物線y2＝8x上的動(dòng)點(diǎn)，P到y(tǒng)軸的距離為d1，到圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上動(dòng)點(diǎn)Q的距離為d2，則d1＋d2的最小值為_(kāi)_______．
答案 eq \r(34)－4
解析圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4的圓心為C(－3,3)，半徑r＝2，
拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)F(2,0)，
因?yàn)镻是拋物線y2＝8x上的動(dòng)點(diǎn)，P到y(tǒng)軸的距離為d1，到圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上動(dòng)點(diǎn)Q的距離為d2，
所以要使d1＋d2最小，即P到拋物線的焦點(diǎn)與到圓C的圓心的距離最小，
如圖，連接PF，F(xiàn)C，則d1＋d2的最小值為|FC|減去圓的半徑，再減去拋物線焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，
即eq \r(?－3－2?2＋?3－0?2)－2－2＝eq \r(34)－4，
所以d1＋d2的最小值為eq \r(34)－4.
題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
例2 分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(1)準(zhǔn)線方程為2y＋4＝0；
(2)過(guò)點(diǎn)(3，－4)；
(3)焦點(diǎn)在直線x＋3y＋15＝0上．
解 (1)準(zhǔn)線方程為2y＋4＝0，即y＝－2，故拋物線焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，設(shè)其方程為x2＝2py(p＞0)．
又eq \f(p,2)＝2，∴2p＝8，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝8y.
(2)∵點(diǎn)(3，－4)在第四象限，∴拋物線開(kāi)口向右或向下，
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．
把點(diǎn)(3，－4)的坐標(biāo)分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，
則2p＝eq \f(16,3)，2p1＝eq \f(9,4).
∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝eq \f(16,3)x或x2＝－eq \f(9,4)y.
(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴拋物線的焦點(diǎn)為(0，－5)或(－15,0)．
∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－20y或y2＝－60x.
思維升華求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法
(1)定義法．
(2)待定系數(shù)法：當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，分情況討論．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)如圖，過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為( )
A．y2＝eq \f(3,2)x
B．y2＝9x
C．y2＝eq \f(9,2)x
D．y2＝3x
答案 D
解析如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，
設(shè)|BF|＝a，則|BC|＝2a，由拋物線的定義得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，
∴在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，
∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，
∴3＋3a＝6，解得a＝1，
∵BD∥FG，∴eq \f(1,p)＝eq \f(2,3)，
∴p＝eq \f(3,2)，
因此拋物線的方程為y2＝3x.
(2)(2022·煙臺(tái)模擬)已知點(diǎn)F為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上且橫坐標(biāo)為8，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OFP的面積為2eq \r(2)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為( )
A．x＝－eq \f(1,2) B．x＝－1
C．x＝－2 D．x＝－4
答案 B
解析拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)代入拋物線得y2＝16p，可得y＝±4eq \r(p)，不妨令P(8,4eq \r(p))，
則S△OFP＝eq \f(1,2)×eq \f(p,2)×4eq \r(p)＝peq \r(p)＝2eq \r(2)，解得p＝2，
則拋物線方程為y2＝4x，其準(zhǔn)線方程為x＝－1.
題型三拋物線的幾何性質(zhì)
例3 (1)在拋物線y2＝8x上有三點(diǎn)A，B，C，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，且F為△ABC的重心，則|AF|＋|BF|＋|CF|等于( )
A．6 B．8 C．9 D．12
答案 D
解析由題意得，F(xiàn)為△ABC的重心，
故eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
設(shè)點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，
∵拋物線y2＝8x，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，∴F(2,0)，
∴eq \(AF,\s\up6(→))＝(2－x1，－y1)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，
eq \(AC,\s\up6(→))＝(x3－x1，y3－y1)，
∵eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
∴2－x1＝eq \f(1,3)(x2－x1＋x3－x1)，
∴x1＋x2＋x3＝6，
∴|eq \(AF,\s\up6(→))|＋|eq \(BF,\s\up6(→))|＋|eq \(CF,\s\up6(→))|＝x1＋x2＋x3＋6＝12.
(2)(多選)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線l的斜率為eq \r(3)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D.若|AF|＝8，則以下結(jié)論正確的是( )
A．p＝4 B.eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
答案 ABC
解析如圖所示，分別過(guò)點(diǎn)A，B作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，M，連接EF.設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)P，則|PF|＝p.因?yàn)橹本€l的斜率為eq \r(3)，所以其傾斜角為60°.
因?yàn)锳E∥x軸，所以∠EAF＝60°，
由拋物線的定義可知，|AE|＝|AF|，
則△AEF為等邊三角形，
所以∠EFP＝∠AEF＝60°，
則∠PEF＝30°，
所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，
故A正確；
因?yàn)閨AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，
所以F為AD的中點(diǎn)，則eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))，故B正確；
因?yàn)椤螪AE＝60°，所以∠ADE＝30°，
所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正確；
因?yàn)閨BD|＝2|BF|，
所以|BF|＝eq \f(1,3)|DF|＝eq \f(1,3)|AF|＝eq \f(8,3)，故D錯(cuò)誤．
思維升華應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解題時(shí)，常結(jié)合圖形思考，通過(guò)圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開(kāi)口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性．
跟蹤訓(xùn)練3 (1)(2021·新高考全國(guó)Ⅰ)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_____．
答案 x＝－eq \f(3,2)
解析方法一 (解直角三角形法)由題易得|OF|＝eq \f(p,2)，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，
所以tan∠OPF＝tan∠PQF，
所以eq \f(|OF|,|PF|)＝eq \f(|PF|,|FQ|)，即eq \f(\f(p,2),p)＝eq \f(p,6)，
解得p＝3(p＝0舍去)，所以C的準(zhǔn)線方程為x＝－eq \f(3,2).
方法二 (應(yīng)用射影定理法)由題易得|OF|＝eq \f(p,2)，
|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，
即p2＝eq \f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，
所以C的準(zhǔn)線方程為x＝－eq \f(3,2).
(2)已知F是拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)，M是拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N，若3eq \(FM,\s\up6(→))＝2eq \(MN,\s\up6(→))，則|FN|＝________.
答案 16
解析易知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4,0)，準(zhǔn)線l的方程為x＝－4，如圖，
拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A，作MB⊥l于點(diǎn)B，NC⊥l于點(diǎn)C，
AF∥MB∥NC，則eq \f(|MN|,|NF|)＝eq \f(|BM|－|CN|,|OF|)，
由3eq \(FM,\s\up6(→))＝2eq \(MN,\s\up6(→))，
得eq \f(|MN|,|NF|)＝eq \f(3,5)，
又|CN|＝4，|OF|＝4，
所以eq \f(|BM|－4,4)＝eq \f(3,5)，|BM|＝eq \f(32,5)，|MF|＝|BM|＝eq \f(32,5)，eq \f(|MF|,|NF|)＝eq \f(2,5)，
所以|FN|＝16.
課時(shí)精練
1．(2022·桂林模擬)拋物線C：y2＝－eq \f(3,2)x的準(zhǔn)線方程為( )
A．x＝eq \f(3,8) B．x＝－eq \f(3,8)
C．y＝eq \f(3,8) D．y＝－eq \f(3,8)
答案 A
解析 y2＝－eq \f(3,2)x的準(zhǔn)線方程為x＝eq \f(3,8).
2．(2023·榆林模擬)已知拋物線x2＝2py(p>0)上的一點(diǎn)M(x0,1)到其焦點(diǎn)的距離為2，則該拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為( )
A．6 B．4 C．3 D．2
答案 D
解析由題可知，拋物線準(zhǔn)線為y＝－eq \f(p,2)，可得1＋eq \f(p,2)＝2，解得p＝2，所以該拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為p＝2.
3．(2023·福州質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到直線x＝1的距離比它到定點(diǎn)(－2,0)的距離小1，則P的軌跡方程為( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝－4x D．y2＝－8x
答案 D
解析由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)到直線x＝2的距離與到定點(diǎn)(－2,0)的距離相等，
由拋物線的定義知，P的軌跡是以(－2,0)為焦點(diǎn)，x＝2為準(zhǔn)線的拋物線，
所以p＝4，軌跡方程為y2＝－8x.
4．(2022·北京模擬)設(shè)M是拋物線y2＝4x上的一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠OFM＝120°，則|FM|等于( )
A．3 B．4 C.eq \f(4,3) D.eq \f(7,3)
答案 B
解析過(guò)點(diǎn)M作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足為點(diǎn)N，連接FN，如圖所示，
因?yàn)椤螼FM＝120°，MN∥x軸，則∠FMN＝60°，
由拋物線的定義可得|MN|＝|FM|，所以△FNM為等邊三角形，則∠FNM＝60°，
拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－1，設(shè)直線x＝－1交x軸于點(diǎn)E，則∠ENF＝30°，
易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，則|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4.
5．(多選)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，直線l過(guò)點(diǎn)F且與拋物線交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m,2)是線段AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( )
A．p＝4
B．拋物線方程為y2＝16x
C．直線l的方程為y＝2x－4
D．|AB|＝10
答案 ACD
解析由焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知p＝4，故A正確；
則拋物線的方程為y2＝8x，
焦點(diǎn)F(2,0)，故B錯(cuò)誤；
則yeq \\al(2,1)＝8x1，yeq \\al(2,2)＝8x2，
若M(m,2)是線段AB的中點(diǎn)，則y1＋y2＝4，
∴yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝8x1－8x2，
即eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(8,y1＋y2)＝eq \f(8,4)＝2，
∴直線l的方程為y＝2x－4，故C正確；
又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正確．
6．(多選)(2022·金陵模擬)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，點(diǎn)F是拋物線C：y2＝ax(a>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1))，B(a，b)(b>0)在拋物線C上，則下列結(jié)論正確的是( )
A．C的準(zhǔn)線方程為x＝eq \f(\r(2),4)
B．b＝eq \r(2)
C.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝2
D.eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(16\r(2),15)
答案 BD
解析點(diǎn)Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1))(a>0)，B(a，b)(b>0)在拋物線C上，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(12＝\f(a2,2)，,b2＝a2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\r(2)，,b＝\r(2)，))
則拋物線C：y2＝eq \r(2)x，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))，B(eq \r(2)，eq \r(2))，
拋物線C的準(zhǔn)線方程為x＝－eq \f(\r(2),4)，故A錯(cuò)誤，B正確；
eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(\r(2),2)×eq \r(2)＋1×eq \r(2)＝1＋eq \r(2)，故C錯(cuò)誤；
拋物線C的焦點(diǎn)Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)，0))，
則|AF|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)－\f(\r(2),2)))2＋?0－1?2)＝eq \f(3\r(2),4)，
|BF|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)－\r(2)))2＋?0－\r(2)?2)＝eq \f(5\r(2),4)，
則eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2\r(2),3)＋eq \f(2\r(2),5)＝eq \f(16\r(2),15)，故D正確．
7. 如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面為l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．則水位下降1米后，水面寬________米．
答案 2eq \r(6)
解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py(p>0)，則點(diǎn)(2，－2)在拋物線上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.當(dāng)y＝－3時(shí)，x2＝6，所以水面寬為2eq \r(6)米．
8．(2021·北京)已知拋物線C：y2＝4x，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M為拋物線C上的點(diǎn)，且|FM|＝6，則M的橫坐標(biāo)是________，作MN⊥x軸于N，則S△FMN＝________.
答案 5 4eq \r(5)
解析因?yàn)閽佄锞€的方程為y2＝4x，
故p＝2且F(1,0)，
因?yàn)閨FM|＝6，所以xM＋eq \f(p,2)＝6，
解得xM＝5，
故yM＝±2eq \r(5)，
所以S△FMN＝eq \f(1,2)×(5－1)×2eq \r(5)＝4eq \r(5).
9．過(guò)拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)F作直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1時(shí)，|AF|＝2.
(1)求拋物線C的方程；
(2)若拋物線C上存在點(diǎn)M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直線l的方程．
解 (1)拋物線C：x2＝2py(p>0)的準(zhǔn)線方程為y＝－eq \f(p,2)，焦點(diǎn)為Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2))).
當(dāng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1時(shí)，|AF|＝2，
∴1＋eq \f(p,2)＝2，解得p＝2，
∴拋物線C的方程為x2＝4y.
(2)∵點(diǎn)M(－2，y0)在拋物線C上，
∴y0＝eq \f(?－2?2,4)＝1，M坐標(biāo)為(－2,1)．
又直線l過(guò)點(diǎn)F(0,1)，∴設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))
得x2－4kx－4＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
eq \(MA,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1－1)，
eq \(MB,\s\up6(→))＝(x2＋2，y2－1)．
∵M(jìn)A⊥MB，
∴eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝0，
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0.
當(dāng)k＝0時(shí)，l過(guò)點(diǎn)M，不符合題意，∴k＝2，
∴直線l的方程為y＝2x＋1.
10．已知在拋物線C：x2＝2py(p>0)的第一象限的點(diǎn)P(x,1)到其焦點(diǎn)的距離為2.
(1)求拋物線C的方程和點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)過(guò)點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若∠APB的角平分線與y軸垂直，求弦AB的長(zhǎng)．
解 (1)由1＋eq \f(p,2)＝2，可得p＝2，
故拋物線的方程為x2＝4y，
當(dāng)y＝1時(shí)，x2＝4，
又因?yàn)閤>0，所以x＝2，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1)．
(2)由題意可得直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)＋eq \f(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋k＋\f(1,2)，,x2＝4y，))得x2－4kx－4k－2＝0，
所以Δ＝16k2＋4(4k＋2)>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k－2，
因?yàn)椤螦PB的角平分線與y軸垂直，
所以kPA＋kPB＝0，
所以kPA＋kPB＝eq \f(y1－1,x1－2)＋eq \f(y2－1,x2－2)＝0，
即eq \f(\f(x\\al(2,1),4)－1,x1－2)＋eq \f(\f(x\\al(2,2),4)－1,x2－2)＝0，
即x1＋x2＋4＝0，
所以k＝－1，x1＋x2＝－4，x1x2＝2，
所以|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)eq \r(?x1＋x2?2－4x1x2)＝4.
11．(多選)(2023·唐山模擬)拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線r：y2＝x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于x軸的光線l1從點(diǎn)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(41,16)，1))射入，經(jīng)過(guò)r上的點(diǎn)A(x1，y1)反射后，再經(jīng)r上另一點(diǎn)B(x2，y2)反射后，沿直線l2射出，經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，則下列結(jié)論正確的是( )
A．y1y2＝－1
B．|AB|＝eq \f(25,16)
C．PB平分∠ABQ
D．延長(zhǎng)AO交直線x＝－eq \f(1,4)于點(diǎn)C，則C，B，Q三點(diǎn)共線
答案 BCD
解析設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，如圖所示，
則Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0)).
因?yàn)镻eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(41,16)，1))，且l1∥x軸，故A(1,1)，
故直線AF：y＝eq \f(1－0,1－\f(1,4))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,4)))＝eq \f(4,3)x－eq \f(1,3).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(4,3)x－\f(1,3)，,y2＝x，))可得y2－eq \f(3,4)y－eq \f(1,4)＝0，
故y1y2＝－eq \f(1,4)，故A錯(cuò)誤；
又y1＝1，故y2＝－eq \f(1,4)，
故Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，－\f(1,4)))，
故|AB|＝1＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,2)＝eq \f(25,16)，故B正確；
因?yàn)閨AP|＝eq \f(41,16)－1＝eq \f(25,16)＝|AB|，
故△APB為等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，
而l1∥l2，故∠PBQ＝∠APB，
即∠ABP＝∠PBQ，
故PB平分∠ABQ，故C正確；
直線AO：y＝x，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,x＝－\f(1,4).))
可得Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，－\f(1,4)))，故yC＝y(tǒng)2，
所以C，B，Q三點(diǎn)共線，故D正確．
12．(2022·阜寧模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)M是拋物線C上一點(diǎn)，MH⊥l于H，若|MH|＝4，∠HFM＝60°，則拋物線C的方程為_(kāi)_______．
答案 y2＝4x
解析因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，
所以|MF|＝|MH|＝4，又∠HFM＝60°，
所以△MHF為正三角形，
所以|HF|＝4，
記準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)Q，則∠QHF＝30°，
所以p＝|QF|＝|HF|sin∠QHF＝4sin 30°＝2，
所以該拋物線方程為y2＝4x.
13．(2023·泰州模擬)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，點(diǎn)A(1,0)，B(9,6)，動(dòng)點(diǎn)C在線段OB上，BD⊥y軸，CE⊥y軸，CF⊥BD，垂足分別是D，E，F(xiàn)，OF與CE相交于點(diǎn)P.已知點(diǎn)Q在點(diǎn)P的軌跡上，且∠OAQ＝120°，則|AQ|等于( )
A．4 B．2
C.eq \f(4,3) D.eq \f(2,3)
答案 A
解析設(shè)P(x，y)，則yC＝y(tǒng)，
∵lOB：y＝eq \f(2,3)x，
∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)y，y))，
∴E(0，y)，F(xiàn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)y，6))，
∵FC∥y軸，
∴△OPE∽△FPC，
∴eq \f(EP,CP)＝eq \f(OE,FC)，
∴eq \f(x,\f(3,2)y－x)＝eq \f(y,6－y)，即y2＝4x，
∴P的軌跡方程為y2＝4x在第一象限的部分且0≤x≤9，故A(1,0)為該拋物線的焦點(diǎn)．
設(shè)Q(x0，y0)，則yeq \\al(2,0)＝4x0，eq \(AQ,\s\up6(→))＝(x0－1，y0)，eq \(AO,\s\up6(→))＝(－1,0)，
∴cs∠OAQ＝eq \f(\(AO,\s\up6(→))·\(AQ,\s\up6(→)),|\(AO,\s\up6(→))|·|\(AQ,\s\up6(→))|)＝eq \f(1－x0,\r(?x0－1?2＋y\\al(2,0))·1)＝eq \f(1－x0,x0＋1)＝－eq \f(1,2)，解得x0＝3，
∴|AQ|＝x0＋eq \f(p,2)＝3＋1＝4.
14．(2022·無(wú)錫模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A，B是拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AF⊥AB，∠ABF＝30°，設(shè)線段AB的中點(diǎn)M在準(zhǔn)線l上的射影為點(diǎn)N，則eq \f(|MN|,|AB|)的值是________．
答案 eq \f(\r(3),2)
解析如圖所示，作BE⊥l，AD⊥l，
設(shè)|AF|＝a，|BF|＝b，
由拋物線定義得|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，
在梯形ABED中，2|MN|＝|AD|＋|BE|＝a＋b，
因?yàn)锳F⊥AB，∠ABF＝30°，
所以b＝2a，則|MN|＝eq \f(3a,2)，
又|AB|＝eq \r(b2－a2)＝eq \r(3)a，
故eq \f(|MN|,|AB|)＝eq \f(\f(3a,2),\r(3)a)＝eq \f(\r(3),2).標(biāo)準(zhǔn)
方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
圖形
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦點(diǎn)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
準(zhǔn)線
方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
對(duì)稱軸
x軸
y軸
頂點(diǎn)
(0,0)
離心率
e＝1

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