2023屆海南省瓊中縣高三下學(xué)期統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題（B） 一、單選題1．設(shè)集合，集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】先求出集合,然后再求交集.【詳解】解：因?yàn)榧?/span>，又因?yàn)榧?/span>，所以故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，以及不含參數(shù)的一元二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)題.2．設(shè)，則=（    ）A． B． C． D．2【答案】B【分析】對復(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算化簡得，再進(jìn)行模的計算，即可得答案；【詳解】，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計算，考考運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由二倍角公式變形，再分子分母同除以化簡代入即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以．故選：B．4．已知，若時滿足，則的取值范圍為（  ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)可得且，應(yīng)用湊配法及不等式性質(zhì)求的范圍.【詳解】當(dāng)時，且在上遞減，在上遞增，， 且，則，即，整理可得．， ， ．，．故選：A5．已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CC1所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，連接、、，易知即為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角），由余弦定理，計算得即可．【詳解】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接、、，易知即為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）設(shè)三棱柱的側(cè)棱與底面邊長均為1，則，，，由余弦定理，得故選：B.6．如圖，在長方體中，，，則下列結(jié)論：①直線與直線所成的角為；②直線與平面所成的角為；③平面與平面所成的二面角為；④平面與平面所成的二面角為直二面角.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】對于①，由，則直線與直線所成的角與直線與直線所成的角相等，即，利用銳角三角函數(shù)計算即可；對于②，由平面，得到直線與平面所成的角為，再利用銳角三角函數(shù)計算即可； 對于③，知平面，由線面垂直的性質(zhì)得 ，，從而得到平面與平面所成的二面角為，計算即可； 對于④，知平面，由面面垂直的判定定理得到 平面平面，即可得出結(jié)論.【詳解】對于①，由題意得，，則直線與直線所成的角與直線與直線所成的角相等，即，在長方體中，，，所以，因?yàn)?/span>，所以，即直線與直線所成的角為，故①正確；對于②，在長方體中，平面，所以直線與平面所成的角為，因?yàn)?/span>，，所以，則直線與平面所成的角為，故②正確；對于③，在長方體中，平面，平面，平面，所以，，又因?yàn)槠矫?/span>平面，所以平面與平面所成的二面角為，由②得，，則平面與平面所成的二面角為，故③錯誤；對于④，在長方體中，平面，平面，所以平面平面，則平面與平面所成的二面角為直二面角，故④正確；故選：C.7．已知a＝log23﹣log2，b＝log0.5π，c＝0.9﹣1.1，則（　  ?。?/span>A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a【答案】A【解析】將數(shù)據(jù)與0或者1進(jìn)行比較，從而區(qū)分大小.【詳解】∵a＝log2log23∈（，1），b＝log0.5π＜0，c＝0.9﹣1.1＞1．∴c＞a＞b．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)式，對數(shù)式的比較大小，一般地，我們將數(shù)據(jù)與0或者1進(jìn)行比較，從而區(qū)分大小.8．已知是直線上的動點(diǎn)，是圓的切線，是切點(diǎn)，是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出圖形，求得的最小值，進(jìn)而可求得四邊形面積的最小值.【詳解】解：如下圖所示：由已知得圓心，圓的半徑為，由圓的幾何性質(zhì)可得，由勾股定理得，當(dāng)取最小值時，最小，的最小值為點(diǎn)到直線的距離，，由切線長定理得，又，，，所以，四邊形面積.故選：C. 二、多選題9．設(shè)，是不同的直線，，是不同的平面，則下列說法中正確的是（    ）A．若，，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，則【答案】ACD【分析】由線線、線面、面面平行與垂直的判定和性質(zhì)判斷即可【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時，，由垂直于同一平面的兩條直線平行可知，選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，當(dāng)，時，直線與平面的位置關(guān)系不確定，所以選項(xiàng)B錯誤；對于選項(xiàng)C，當(dāng)，，時，可以得到，所以選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，當(dāng)，時，，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以選項(xiàng)D正確.故選:ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛： 判斷空間中直線與平面位置關(guān)系的兩種策略：（1）根據(jù)空間中直線與平面位置關(guān)系的相關(guān)定理進(jìn)行判斷；（2）根據(jù)選項(xiàng)中給出的位置關(guān)系，聯(lián)想特殊幾何體（如正方體、正三棱柱等）進(jìn)行直觀判斷.10．設(shè)、分別是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的有（    ）A．B．當(dāng)時，的離心率是C．當(dāng)時，到漸近線的距離隨著的增大而減小D．當(dāng)時，的實(shí)軸長是虛軸長的兩倍【答案】AC【分析】根據(jù)題意可得， 根據(jù)可推得A項(xiàng)；當(dāng)時，根據(jù)前面的結(jié)果，可推出，進(jìn)而求出離心率可判斷B項(xiàng)；求出到漸近線的距離，可判斷C項(xiàng)；將代入，可得到、的值.【詳解】由已知可得，，所以，，即，所以，故A項(xiàng)正確；當(dāng)時，，則，又，所以，B項(xiàng)錯誤；雙曲線的漸近線方程為.當(dāng)時，根據(jù)雙曲線的對稱性，只求到漸近線，即到的距離，又，則當(dāng)增大時，變小，變小，所以C項(xiàng)正確；當(dāng)時，，，則，，則實(shí)軸長，虛軸長，所以D項(xiàng)錯誤.故選：AC.11．在下列四個式子中正確的是A．當(dāng)時，B．有最小值C．的最小值為D．函數(shù)的值域?yàn)?/span>【答案】AB【解析】根據(jù)利用基本不等式求最值必須具備的三個件，即可判斷出各選項(xiàng)的正誤．【詳解】對A，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，故A正確；對B，因?yàn)?/span>，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，故B正確；對C，因?yàn)?/span>，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，故等號不成立，所以C錯誤；對D，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>，故D錯誤．故選：AB【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，利用基本不等式求最值，要把握三個條件，即“一正即各項(xiàng)都是正數(shù)；二定即和或積為定值；三相等即等號能取得”這三個條件缺一不可，有些題目雖然不具備直接用基本不等式求最值的條件，但可以通過湊項(xiàng)、拆項(xiàng)、變系數(shù)等方法使之能運(yùn)用基本不等式．12．若袋子中有2個白球，3個黑球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次，每次取一個球，取到白球記1分，取到黑球記0分，記4次取球的總分?jǐn)?shù)為X，則（    ）A． B．C．X的期望 D．X的方差【答案】CD【分析】由題意可知4次取球的總分?jǐn)?shù)為X，即為4次取球取到白球的個數(shù)，故可確定判斷A;由此可計算，判斷B;利用二項(xiàng)分布的期望和方差公式計算期望和方差，即可判斷C,D.【詳解】由題意知從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次，每次取到白球的概率為，取到白球記1分，取到黑球的概率為，取到黑球記0分，則記4次取球的總分?jǐn)?shù)為X，即為4次取球取到白球的個數(shù)，則知，A錯誤；，B錯誤；X的期望，C正確；X的方差，D正確，故選：CD． 三、填空題13．疫情期間，有7名醫(yī)護(hù)人員要到兩所醫(yī)院進(jìn)行支援，每所醫(yī)院最少3名，則不同的分配方案有______種．【答案】70【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：第一步，將7人分成2組，一組3人另一組4人，第二步，將分好的兩組分派到兩所醫(yī)院，根據(jù)分布乘法計數(shù)原理可得.【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：第一步，將7人分成2組，一組3人另一組4人，有種，第二步，將分好的兩組分派到兩所醫(yī)院，有種，根據(jù)分布乘法計數(shù)原理可得共有種不同的分配方案.故答案為：70. 四、雙空題14．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為___________，的最大值為___________．【答案】          【分析】利用基本不等式進(jìn)行變形，分別求得的最小值和的最大值.【詳解】（1）正實(shí)數(shù)滿足， ，.當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.（2）由，化簡得，所以或（舍），當(dāng)且僅當(dāng)時，即，等號成立，故的最小值是.故答案為：（1）；（2）15．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是28，方差是36，若將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上60，得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是______方差是______.【答案】     88     36【分析】每一數(shù)據(jù)增加60，平均數(shù)也增加60，每一數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差都不變，方差不變.【詳解】每一個數(shù)據(jù)都加上60，平均數(shù)增加60，則每一數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差不變，即偏離平均值的程度不變，所以方差不變，仍為36.故答案為：88；36.【點(diǎn)睛】方差反映的是一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況，它是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的特征數(shù)，方差越小，波動越小，穩(wěn)定性也越好. 五、填空題16．如圖，正四面體的棱長為1，點(diǎn)是該正四面體內(nèi)切球球面上的動點(diǎn)，點(diǎn)是上的動點(diǎn)，則的取值范圍為____．【答案】【分析】由正四面體內(nèi)切球球心的位置特征求內(nèi)切球半徑、及到的最短距離，進(jìn)而可得的取值范圍.【詳解】由正四面體棱長為1，則正四面體的體高為，若其內(nèi)切球球心為，半徑為，則，又，可得，則，所以到的最短距離為.綜上，的取值范圍為，即.故答案為： 六、解答題17．已知是一個單調(diào)遞增的等差數(shù)列，且滿足,，數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明數(shù)列是等比數(shù)列.【答案】（1） ；（2） 答案見解析.【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程求解得首項(xiàng)與公差，即可得解；（2）根據(jù)與的關(guān)系可得的通項(xiàng)公式，再由等比數(shù)列的定義證明即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則依題知.由可得. 由,得，可得. 所以，從而；（2）證明：由已知，得時，，所以，又，解得所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.18．已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值；（3）若函數(shù)在上有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）；（2）最大值為2，最小值為 ；（3）.【解析】（1）先利用二倍角公式和輔助角公式對函數(shù)化簡，再利用周期公式可求出周期；（2）由得，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)可求出函數(shù)的最值；（3）由函數(shù)在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，，從而可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍.【詳解】（1）由，得的最小正周期為.（2）因?yàn)?/span>，所以，所以.從而.所以，當(dāng)，即時，的最大值為2；當(dāng)，即時，的最小值為.（3）由，得，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，，所以若函數(shù)在上有兩個不同的零點(diǎn)，則.【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，考查正弦函數(shù)圖像和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題19．如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，，E是PD的中點(diǎn).（1）證明：直線平面PAB；（2）求直線與平面所成角；（3）點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）取PA的中點(diǎn)為F，連接EF，BF，證得CE//BF，進(jìn)而線面平行得判定定理即可得出結(jié)論；（2）取AD的中點(diǎn)O連接PO，CO，證得為直線與平面所成角，解三角形求出即可得到直線與平面所成角；（Ⅲ）作于，連接證得為二面角的平面角，求出 的余弦值即可.【詳解】（1）取PA的中點(diǎn)為F，連接EF，BF，∵E為PD的中點(diǎn)，∴EF//AD，  且EF=，又AB=BC=，∴BC//，∴  ∴四邊形BCEF為平行四邊形，∴CE//BF，又BF平面PAB，CE平面PAB，∴直線CE∥平面PAB，（2）取AD的中點(diǎn)O連接PO，CO，∵三角形PAD為等邊三角形，∴PO⊥AD，又∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，∴為直線與平面所成角，        設(shè)AD=2，則，易得四邊形ABCO為矩形，∴CO=AB=1，∴，∴，直線與平面所成角為.                    （Ⅲ）M在底面ABCD的射影落在在OC上，設(shè)，由（2）知，又直線BM與底面ABCD所成的角為45°，∴，∴BN=MN，又，，又BC=1，且，∴，，，作于，連接，∵，∴，∴，所以為二面角的平面角，            ，∴，則二面角的余弦值為.20．2020年新冠疫情期間，某縣區(qū)絕大部分教師利用釘釘進(jìn)行直播教學(xué)，某校為了了解學(xué)生喜歡釘釘上課是否與性別有關(guān)，從高二年級中隨機(jī)抽取40名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表： 女生男生合計喜歡釘釘上課 14 不喜歡釘釘上課10  合計  40已知在這隨機(jī)抽取的40人中，有16名學(xué)生不喜歡釘釘上課．（1）求喜歡釘釘上課的學(xué)生的概率？（2）請將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并由此數(shù)據(jù)分析能否有95%的把握認(rèn)為喜歡釘釘上課與性別有關(guān)？附臨界值表：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879參考公式：，其中．【答案】（1）；（2）沒有的把握認(rèn)為喜歡釘釘上課與性別有關(guān)【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式計算可得；（2）依題意完善列聯(lián)表，計算出，再與參考值比較即可判斷；【詳解】解：（1）依題意在這隨機(jī)抽取的40人中，有16名學(xué)生不喜歡釘釘上課，則有人喜歡釘釘上課，故喜歡釘釘上課的學(xué)生的概率．（2）列聯(lián)表如下所示： 女生男生合計喜歡釘釘上課101424不喜歡釘釘上課10616合計202040則故沒有的把握認(rèn)為喜歡釘釘上課與性別有關(guān)；21．如圖，已知橢圓，點(diǎn)是它的右端點(diǎn)，弦過橢圓的中心，，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)、為圓上不重合的兩點(diǎn)，的平分線總是垂直于軸，且存在實(shí)數(shù)，使得，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求出的值，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，得出的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先由已知條件得出直線和直線的斜率互為相反數(shù)，可設(shè)直線的方程為，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理得出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出實(shí)數(shù)的表達(dá)式，再利用基本不等式可求出的最大值．【詳解】（1）依題意可知，，.又，，是等腰直角三角形，，.又點(diǎn)在橢圓上，，，因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）如下圖所示：對于橢圓上兩點(diǎn)、，的平分線總是垂直于軸，與所在直線關(guān)于直線對稱.設(shè)，則，則直線的方程為，①直線的方程為，②將①代入，得.③在橢圓上，是方程③的一個根，，以替換，得到.，，易知，，，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，因此，實(shí)數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的綜合問題，考查橢圓方程的求解，解決本題的關(guān)鍵在于將題中的角轉(zhuǎn)化為直線的斜率關(guān)系，考查推理能力與計算能力，屬于中等題．22．已知函數(shù)．(1)求在點(diǎn)處的切線方程；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并說明理由；(3)求證：．【答案】(1)(2)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)；理由見解析(3)證明見解析 【分析】（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)計算切線斜率，得到直線方程.（2）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于零恒成立得到證明.（3）題目轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最大值，求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到存在唯一實(shí)數(shù)，使得，根據(jù)單調(diào)性得到最值點(diǎn)，代換得到，再計算最值得到答案.【詳解】（1），得，，，切線方程為：．（2）函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)．理由如下：因?yàn)?/span>，所以，，因此，，故恒成立，故在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)．（3）證明“”等價于證明“”．由題意可得，，因?yàn)?/span>，再令，則，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)?/span>，，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得，其中．，，變化如下表所示：0極大值所以為函數(shù)的極大值．因?yàn)楹瘮?shù)在有唯一的極大值，所以．因?yàn)?/span>，所以．設(shè)，，，故在上單調(diào)遞增，故，因?yàn)?/span>，所以．所以．【點(diǎn)睛】本題參考了切線方程，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，證明函數(shù)不等式，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中將不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵. 

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