2022屆海南省高三下學期學業(yè)水平診斷（三）數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解出集合，再求出的補集，最后求交集得出答案.【詳解】,或，則.故選：A.2．已知復數(shù)z滿足，則z的虛部為（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡得到，從而得到z的虛部.【詳解】，故z的虛部為.故選：C3．函數(shù)的圖象的一個對稱中心為（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據余弦函數(shù)的對稱性結合整體思想求出函數(shù)的對稱中心，然后逐一驗證即可.【詳解】解：令，則，所以函數(shù)的圖象的對稱中心為，故AB不是函數(shù)圖象的對稱中心；令，則，故不是函數(shù)圖象的對稱中心；令，則，故是函數(shù)圖象的對稱中心.故選：D.4．設，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出的范圍，直接比較大小即可.【詳解】，，，.故選：D.5．若且，則（       ）A． B． C． D．7【答案】B【分析】先由余弦的二倍角公式與齊次式弦化切得到關于正切的方程，結合角的范圍求出答案.【詳解】，故，由于，所以，故.故選：B6．兩個不同的圓錐的底面是球O的同一截面，頂點均在球O表面上，若球O的體積為V，則這兩個圓錐體積之和的最大值為（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設球半徑為，兩個圓錐中較小的高為，由圓截面性質求得圓錐底面半徑，再得兩個圓錐體積和，記為，由二次函數(shù)性質得最大值．【詳解】設球半徑為，兩個圓錐中較小的高為，則另一個圓錐的高為，圓錐底面半徑為，則，，兩個圓錐的體積和為，所以時，，，因此．故選：B．7．設隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則（       ）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8【答案】C【分析】由已知可知正態(tài)曲線關于直線對稱，然后正態(tài)分布的性質求解即可【詳解】因為隨機變量X服從正態(tài)分布，所以正態(tài)曲線關于直線對稱，因為，所以，所以，故選：C8．?？阽姌堑臍v史悠久，最早是為適應對外通商而建立，已成為?？诘淖钪匾臉酥拘耘c象征性建筑物之一，如圖所示，海口鐘樓的主體結構可以看做一個長方體，四個側面各有一個大鐘，則從到這段時間內，相鄰兩面鐘的分針所成角為的次數(shù)為（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】在長方體中，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設分針長為，設矩形的對角線的交點為，矩形的對角線的交點為，考查到這個時間段，設時刻，側面、內的鐘的分針的針點的位置分別為、，設，其中，則，利用空間向量法求出的可能取值，即可得解.【詳解】在長方體中，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設分針長為，設矩形的對角線的交點為，矩形的對角線的交點為，考查到這個時間段，設時刻，側面、內的鐘的分針的針點的位置分別為、，設，其中，則，，由已知可得，則，因為，故的取值為、、、，即在到這個時間段，相鄰兩面鐘的分針所成角為的次數(shù)為，因此，從到這段時間內，相鄰兩面鐘的分針所成角為的次數(shù)為.故選：D.二、多選題9．已知向量，，則（       ）A． B．C． D．與的夾角為【答案】BC【分析】利用平面向量的坐標運算可判斷A；利用平面向量的模長公式可判斷B；利用平面向量垂直的坐標表示可判斷C；利用平面向量夾角余弦的坐標表示可判斷D.【詳解】對于A，，A錯；對于B，，，則，B對；對于C，，故，所以，，C對；對于D，，，故，D錯.故選：BC.10．下列雙曲線的漸近線方程為的是（       ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】的漸近線方程為：，的漸近線方程為：.【詳解】A選項，的漸近線方程為，A正確；B選項，的漸近線方程為：，B錯誤；C選項，的漸近線方程為：，C錯誤；D選項，的漸近線方程為：，D正確.故選：AD11．環(huán)境監(jiān)測部門統(tǒng)計了甲、乙兩個城市去年每天的（空氣質量指數(shù)），數(shù)據按照，，進行分組得到下面的頻率分布直方圖，已知時空氣質量等級為優(yōu)，則（       ）A．甲、乙兩城市的中位數(shù)的估計值相等 B．甲、乙兩城市的平均數(shù)的估計值相等C．甲城市的方差比乙城市的方差小 D．甲城市空氣質量為優(yōu)的天數(shù)比乙城市空氣質量為優(yōu)的天數(shù)多【答案】ABD【分析】根據給出的頻率分布直方圖，對個選項進行分析，判斷作出正誤，得出答案 .【詳解】選項A .   根據兩個頻率分布直方圖，甲、乙兩個城市去年每天的的中位數(shù)均為125，故選項A正確.選項B.設甲、乙兩頻率分布直方圖中小矩形的高度數(shù)值如圖所示，則，即同理甲城市的的平均數(shù)為： 乙城市的的平均數(shù)為：所以甲、乙兩城市的平均數(shù)的估計值相等，故選項B正確 .選項C. 由圖可知，乙城市的數(shù)據更集中，即方差更小，所以選項C錯誤.選項D. 由圖可知甲城市在的頻率大于0.2，乙城市在的頻率小于0.2所以甲城市在的頻率大于乙城市在的頻率，甲城市空氣質量為優(yōu)的天數(shù)比乙城市空氣質量為優(yōu)的天數(shù)多。故D正確.故選：ABD 12．“外觀數(shù)列”是一類有趣的數(shù)列，該數(shù)列由正整數(shù)構成，后一項是前一項的“外觀描述”．例如：取第一項為，將其外觀描述為“個”，則第二項為；將描述為“個”，則第三項為；將描述為“個，個”，則第四項為；將1描述為“個，個，個”，則第五項為，，這樣每次從左到右將連續(xù)的相同數(shù)字合并起來描述，給定首項即可依次推出數(shù)列后面的項．則對于外觀數(shù)列，下列說法正確的是（       ）A．若，則從開始出現(xiàn)數(shù)字B．若，則的最后一個數(shù)字均為C．不可能為等差數(shù)列或等比數(shù)列D．若，則均不包含數(shù)字【答案】BD【分析】求出，可判斷A選項；分、兩種情況討論，逐項遞推可判斷B選項；取可判斷C選項；利用假設法可判斷D選項.【詳解】對于A，，即“個”，，即“個，個”，，即“個，個”，故，A錯；對于B，若，即“個”，，即“個，個”，，即“個，個”，，，以此類推可知，的最后一個數(shù)字均為，若，則，，，，以此類推可知，的最后一個數(shù)字均為.綜上所述，若，則的最后一個數(shù)字均為，B對；對于C，取，則，此時數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，C錯；對于D，，則，，，，若數(shù)列中，中為第一次出現(xiàn)數(shù)字，則中必出現(xiàn)了個連續(xù)的相同數(shù)字，如，則在的描述中必包含“個，個”，即，顯然的描述是不合乎要求的，若或，同理可知均不合乎題意，故不包含數(shù)字，D對.故選：BD.三、填空題13．已知函數(shù)的定義域為，則_________．【答案】【分析】由已知可得不等式的解集為，可知為方程的根，即可求得實數(shù)的值.【詳解】由題意可知，不等式的解集為，則，解得，當時，由，可得，解得，合乎題意.故答案為：.14．的展開式中的系數(shù)為_________．（結果用數(shù)字表示）【答案】112【分析】先求出二項展開式的通項公式，再令的指數(shù)為即可求解.【詳解】的展開式的通項為，令，，則的系數(shù)為.故答案為：112.15．已知橢圓的左焦點為是C上的動點，點，若的最大值為6，則C的離心率為_________．【答案】【分析】設出右焦點,將轉化成，最后利用三點共線表示最大值求出，進而求出離心率.【詳解】設右焦點，由橢圓定義，，，當且僅當三點共線時，取等號，.又，，，.故答案為：.16．已知函數(shù)和，其中為常數(shù)且．若存在斜率為1的直線與曲線同時相切，則的最小值為_________．【答案】2【分析】分別設出切點，用導數(shù)的幾何意義得到兩切點坐標，利用兩點間斜率公式得到的關系，變形后使用三個正數(shù)的基本不等式求解最小值.【詳解】定義域為R，的定義域為，又，，設在切點處的切線即為斜率為1的直線，故，所以，則，設在切點，處的切線即為斜率為1的直線，則，則，則，由兩點間斜率公式得：，則，由于b>0，則，當且僅當，即時，此時等號成立，故的最小值為2.故答案為：2四、解答題17．設等差數(shù)列的公差為，前n項和為，已知．(1)若，求的通項公式；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)由前n項和的意義和等差數(shù)列性質求出，然后可得；(2)根據前n項和公式解不等式即可.(1)，所以．所以．(2)由（1）知，所以．，由得，所以，解得，即d的取值范是．18．的內角所對的邊分別為，已知．(1)求邊，；(2)若點D在線段上（與不重合），且，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由余弦定理求出邊，；（2）先由余弦定理得到CD，再由正弦定理求出.(1)由余弦定理可得:，即，解得：．所以．(2)在中，由余弦定理可得， 即，解得：或5，當時D與B重合，不符合題意，當時．符合要求.由正弦定理可得， 所以．19．如圖所示，在四棱錐中，平面平面，底面為矩形，，，，點M在棱上且．(1)證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明M是的中點，連接，與交于點O，連接，從而證明，從而可證明.（2）以D為坐標原點，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系．利用向量法求解即可.(1)因為平面平面，且平面平面，根據條件可知，所以平面，所以．所以，同理可得， 又，所以是等邊三角形，因為，所以M是的中點．如圖，連接，與交于點O，連接，則O是的中點，所以， 因為平面平面，所以平面．(2)以D為坐標原點，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系．則． 由（1）知是平面的一個法向量．設為平面的法向量．因為，所令，可得．設平面與平面的夾角為，則．20．已知拋物線的焦點為F，過F作圓的切線，切線長為．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C交于兩點，點P在C的準線上，滿足，求的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據切線長為，求得點F到圓心M的距離即可.（2）設線段的中點為Q，由題意可知為的中垂線，根據，在中，得到，設的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，求得P，Q的坐標和弦長AB求解.(1)解：由已知得圓M的圓心為，半徑為2， 因為切線長為，所以點F到圓心M的距離為，因為，所以F在x軸正半軸上，于是，所以， 故C的方程為．(2)設線段的中點為Q，由題意可知為的中垂線，且在中，由，即，可得．設的方程為，由得， 則，所以．所以直線的方程為，令，可得，即．所以．又．所以，解得．所以的方程為或．21．如圖是游樂場中一款抽獎游戲機的示意圖，玩家投入一枚游戲幣后，機器從上方隨機放下一顆半徑適當?shù)男∏?，小球沿著縫隙下落，最后落入這6個區(qū)域中．假設小球從最上層4個縫隙落下的概率都相同，且下落過程中遇到障礙物會等可能地從左邊或右邊繼續(xù)下落．(1)分別求小球落入和的概率；(2)已知游戲幣售價為2元/枚．若小球落入和，則本次游戲中三等獎，小球落入和，則本次游戲中二等獎，小球落入和，則本次游戲中一等獎．假設給玩家準備的一、二、三等獎獎品的成本價格之比為，若要使玩家平均每玩一次該游戲，商家至少獲利0.7元，那么三等獎獎品的成本價格最多為多少元？【答案】(1)小球落入的概率為，小球落入的概率為；(2)最多為0.8元.【分析】（1）由題設，落入第一層各縫隙的概率為，進入下一層障礙物兩側縫隙概率均為，應用獨立事件的乘法公式求落入和的概率；（2）設三等獎獎品成本為a元，X可能取值為，進而求各可能值對應的概率并寫出分布列，根據分布列求期望，由求a的值即可.(1)記第一層障礙物之間的縫隙從左到右分別為，小球落入縫隙為事件，第二層障礙物之間的縫隙從左到右分別為，小球落入縫隙為事件，第三層障礙物之間的縫隙從左到右分別為，小球落入縫隙為事件．由題意，，則， ．(2)設三等獎獎品成本為a元，玩家玩一次游戲獲得的獎品成本為隨機變量X，則X的所有可能取值為，，，， 所以X的分布列為：XaP 所以X的數(shù)學期望為．由題意，，解得，因此三等獎獎品的成本價格最多為0.8元．22．已知函數(shù)．(1)若，求的最值；(2)若，設，證明：當時，．【答案】(1)最大值為，沒有最小值(2)證明見解析【分析】（1）求導數(shù)，確實單調性得最值；（2）由導數(shù)確定的單調性，構造新函數(shù)，再由導數(shù)確定其單調性（需要二次求導），得最小值，利用兩個單調性可得證不等式成立．(1)若，則， 當時，，當時，， 即在單調遞增，在單調遞減， 所以的極大值，也是最大值為，沒有最小值．(2)由題意得，所以．令，則，當時，，當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增， 則，即，于是得在R上單調遞增．設，則，令，則，所以在R上單調遞增， 而，所以當時，，當時，，即在單調遞減，在上單調遞增， 則，即．當時，，所以．所以．【點睛】本題考查用導數(shù)求函數(shù)的最值，證明不等式工，解題關鍵是引入新函數(shù)把問題轉化為求新函數(shù)的最小值，然后由單調性得出結論，屬于較難題． 

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