2023屆河北省高三下學(xué)期大數(shù)據(jù)應(yīng)用調(diào)研聯(lián)合測評（Ⅲ）數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解出集合B，結(jié)合交集的概念與運(yùn)算即可求解.【詳解】由，得，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，即，又，所以.故選：A.2．已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)是偶函數(shù)”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)時，求得.結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可判斷.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)時，，即，整理，得，由，解得.又，得，所以“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.3．一個圓錐的側(cè)面展開的扇形面積是底面圓面積的2倍，若該圓錐的體積為，則該圓錐的母線長為（    ）A．3 B． C．6 D．【答案】C【分析】設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，高為h，母線長為l，根據(jù)圓錐側(cè)面積與圓的面積關(guān)系可得，由勾股定理可得，結(jié)合圓錐的體積公式計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，高為h，母線長為l，則圓錐側(cè)面展開的扇形面積為，底面圓面積為，因?yàn)?/span>，所以，得，所以圓錐的體積為，解得，所以，即圓錐的母線長為6.故選：C.4．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E，F分別為CD，AD的中點(diǎn)，若以向量，為基底表示向量，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】注意到，后利用表示，即可得答案.【詳解】注意到.又為DC中點(diǎn)，則；F為AD中點(diǎn)，則.則；.則.故選：D5．已知雙曲線：的上焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M 在的一條漸近線上，是面積為的等邊三角形，其中點(diǎn)О為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的方程為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)是面積為的等邊三角形可得的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)雙曲線基本量間的關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>是面積為的等邊三角形，故，即半焦距，故的縱坐標(biāo)為1，不妨設(shè)，則所在的漸近線方程為，故，.又，解得，，則的方程為.故選：C6．斯特林公式（Stirling's  approximation）是由英國數(shù)學(xué)家斯特林提出的一條用來取的階乘的近似值的數(shù)學(xué)公式，即，其中為圓周率，e為自然對數(shù)的底數(shù).一般來說，當(dāng)很大的時候，的階乘的計(jì)算量十分大，所以斯特林公式十分好用.斯特林公式在理論和應(yīng)用上都具有重要的價值，對于概率論的發(fā)展也有著重大的意義.若利用斯特林公式分析100!計(jì)算結(jié)果，則該結(jié)果寫成十進(jìn)制數(shù)時的位數(shù)約為（    ）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．154 B．158 C．164 D．172【答案】B【分析】求解，再根據(jù)對數(shù)公式代入數(shù)據(jù)化簡求解即可.【詳解】由題意，即，即寫成十進(jìn)制數(shù)時的位數(shù)約為158.故選：B7．已知數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)求和公式，結(jié)合題意列出方程，整理方程，解之即可.【詳解】由題意知，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，，得，，得，所以，整理得，解得.故選：D.8．某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽，某班派出甲、乙兩名單打主力，為了提高兩位主力的能力，體育老師安排了為期一周的對抗訓(xùn)練，比賽規(guī)則如下：甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局，當(dāng)兩人獲勝局?jǐn)?shù)不少于3局時，則認(rèn)為這輪訓(xùn)練過關(guān)；否則不過關(guān).若甲、乙兩人每局獲勝的概率分別為，且滿足，每局之間相互獨(dú)立.記甲、乙在輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過關(guān)的輪數(shù)為，若，則從期望的角度來看，甲、乙兩人訓(xùn)練的輪數(shù)至少為（    ）A．26 B．30 C．32 D．36【答案】C【分析】由題意設(shè)甲、乙在某一輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過關(guān)的概率為p，求出p的表達(dá)式，分析的表達(dá)式和范圍，令，利用換元法和基本不等式計(jì)算可得p的最大值，由二項(xiàng)分布，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算即可求解.【詳解】由題意，設(shè)甲、乙在某一輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過關(guān)的概率為p，則，又，所以，由，得，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即即時等號成立，即p的最大值為.記甲、乙在n輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過關(guān)的輪數(shù)為X，則，若，則，當(dāng)p最大時，n最小，則，即甲、乙兩人訓(xùn)練至少32輪.故選：C. 二、多選題9．復(fù)數(shù)，其中，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)為，則下列說法正確的是（    ）A．點(diǎn)在第一象限 B．點(diǎn)在第二象限C．點(diǎn)在直線上 D．的最大值為【答案】BD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算可得，由復(fù)數(shù)的幾何意義可得、，結(jié)合依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，又，所以，故點(diǎn)P在第二象限，故A錯誤，B正確；將點(diǎn)P代入直線方程中，等號不成立，所以點(diǎn)P不在該直線上，故C錯誤；，當(dāng)時，取得最大值5，故D正確.故選：BD.10．已知是函數(shù)的一條對稱軸，則下列說法正確的是（    ）A．B．的最小正周期為C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則【答案】BD【分析】對A，根據(jù)正余弦函數(shù)在對稱軸處切線斜率為0，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷可判斷；對B，得出代入根據(jù)三角函數(shù)恒等變化與周期公式可得；對C，得出，代入，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間判斷即可；對D，根據(jù)三角函數(shù)圖象平移結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷即可.【詳解】對A，由題意，，故，則，，故A錯誤；對B，，故的最小正周期為，故B正確；對C，時，，因?yàn)?/span>不為正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，故C錯誤；對D，向右平移個單位，得到函數(shù)，故D正確；故選：BD11．如圖，在四邊形中，和是全等三角形，，，.下面有兩種折疊方法將四邊形折成三棱錐.折法①：將沿著AC折起，形成三棱錐，如圖1；折法②；將沿著BD折起，形成三棱錐，如圖2.下列說法正確的是（    ）A．按照折法①，三棱錐的外接球表面積恒為B．按照折法①，存在滿足C．按照折法②，三棱錐體積的最大值為D．按照折法②，存在滿足平面，且此時與平面所成線面角正弦值為【答案】ABCD【分析】利用翻折的性質(zhì)，結(jié)合空間幾何體的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，推理計(jì)算，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A：由題意，，，則AC的中點(diǎn)O到A，B，C，D的距離相等，故O為棱錐外接球的球心，AC為直徑，所以外接球的半徑為2，所以該外接球的表面積為，故A正確；B：因?yàn)?/span>，當(dāng)為等邊三角形時，得，又平面，所以平面，又平面，所以，故B正確；C：當(dāng)三棱錐的體積最大時，平面平面，由已知可得為等邊三角形，易求點(diǎn)到平面的距離為1，所以，故C正確；D：當(dāng)時，，又平面，所以平面，則即為BC與平面所成角，由，根據(jù)勾股定理得，在中，，故D正確.故選：ABCD.12．已知函數(shù)的兩個零點(diǎn)分別為，且，則下列說法正確的是（    ）A． B．C．存在實(shí)數(shù)，使得 D．若，則【答案】AD【分析】對AB，根據(jù)滿足，數(shù)形結(jié)合分析判斷即可；對C，先證明對數(shù)均值不等式，再化簡推導(dǎo)矛盾即可；對D，根據(jù)有兩根且判斷即可.【詳解】對A，即，設(shè)相切時切點(diǎn)為，則對求導(dǎo)有，又切點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率與該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相等，則，解得，故切點(diǎn)，此時.故當(dāng)函數(shù)有兩個零點(diǎn)時，，故A正確；對B，由圖象可得，，故B錯誤；對C，先證明：當(dāng)時，.構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞增，又，故，即，化簡可得，即.又，故，所以，故.若則，即，矛盾，故C錯誤；對D，由題意，即有兩根且，令，則，又，故，.故D正確；故選：AD 三、填空題13．已知函數(shù)在處的切線方程為，則_________.【答案】1【分析】根據(jù)切點(diǎn)在曲線與切線上，代入求解即可.【詳解】，故函數(shù)在處的切點(diǎn)為，又切點(diǎn)在切線上，故，故.故答案為：114．的展開式中的系數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據(jù)題意，，所以只需求的展開式中含的項(xiàng)和含的項(xiàng)即可.【詳解】由題意得，因?yàn)?/span>的展開式的通項(xiàng)為，令，，令，，所以的展開式中的系數(shù)為，故答案為：.15．已知銳角，滿足，則__________.【答案】【分析】根據(jù)二倍角公式與同角三角函數(shù)的關(guān)系可得，進(jìn)而可得.【詳解】由題意，，由二倍角公式與同角三角函數(shù)的關(guān)系可得，即，整理可得，故，又銳角，，故，故.故答案為： 四、雙空題16．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，以為圓心，為半徑的圓與軸交于，兩點(diǎn)（，兩點(diǎn)均在外），連接，與交于點(diǎn)P，若，則________；橢圓的離心率為_________【答案】     /     /【分析】根據(jù)題意可得，由圓的對稱性可得；由向量的數(shù)量積為0可得，結(jié)合橢圓的定義和離心率的定義即可求解.【詳解】在中，，則.因?yàn)?/span>關(guān)于x軸對稱，所以，得，又在中，互相垂直平分，所以四邊形為菱形，得，又，則，得，由且，得，由橢圓的定義知，所以橢圓的離心率為.故答案為：；. 五、解答題17．已知數(shù)列滿足：，.(1)求證：是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)答案見解析(2) 【分析】（1）將化為，即可得是等比數(shù)列并求出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，后由裂項(xiàng)求和法可得答案.【詳解】（1），則是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則，即.（2）由（1）可得：.故的前項(xiàng)和.即18．在中，內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊為a，b，c，的面積為S，若.(1)當(dāng)時，求A；(2)若角B為的最大內(nèi)角.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立，①；②；③.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計(jì)分.【答案】(1)； (2)答案見詳解. 【分析】（1）由題意，根據(jù)正弦定理、特殊角的三角函數(shù)值和輔助角公式化簡計(jì)算可得，即可求解；（2）分別以①②③中選取2個作為條件，根據(jù)正、余弦定理和三角形的面積公式計(jì)算，可證得第3個條件成立.【詳解】（1），由正弦定理得，當(dāng)時，，得，即，又，所以，得；（2）若選①②為條件.，由余弦定理得，又，所以.由（1），得，有，又，解得.又，得，由正弦定理得，即，解得，所以，即③成立；若選①③為條件.，由余弦定理得，又，所以.由，得.由（1）得，由正弦定理得，解得，由余弦定理得，則，即②成立；若選②③為條件.，由（1）得，由正弦定理得，所以.由余弦定理得，即，有，即，等式兩邊同時平方，得，解得或.當(dāng)時，，則，與B為的最大內(nèi)角矛盾，故，又由余弦定理得，即，即①成立.19．如圖，在三棱柱中，四邊形為矩形，，四邊形是菱形，，點(diǎn)P是AE的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在BD上，滿足.(1)若平面，求的值；(2)若，時，求平面APQ與平面BDF所成角的正弦值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)三角形中中位線的性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定可得當(dāng)∥平面時，為中點(diǎn)；（2）設(shè)，根據(jù)題意可得平面，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求解平面APQ與平面BDF的法向量，結(jié)合空間平面夾角的坐標(biāo)公式求解即可.【詳解】（1）當(dāng)為中點(diǎn)時，連接，，此時易得為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，則為中邊的中位線，故.又平面，平面，故平面.故當(dāng)平面時，為中點(diǎn)，.（2）設(shè)，則，則因?yàn)樗倪呅?/span>為矩形，故.取中點(diǎn)，由為菱形且可得為正三角形，故，且.故，故.又，平面，，故平面.又平面，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.此時，，，，，，故，，，.設(shè)平面的法向量分別為，則，即，即，設(shè)則.，即，即，設(shè)則.設(shè)平面APQ與平面BDF所成角為，則，故平面APQ與平面BDF所成角的正弦值為.20．隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，直播帶貨成為網(wǎng)絡(luò)銷售的新梁道.某服裝品牌為了給所有帶貨網(wǎng)絡(luò)平臺分配合理的服裝量，隨機(jī)抽查了100個帶貨平臺的銷售情況，銷售每件服裝平均所需時間情況如下頻率分布直方圖.(1)求的值，并估計(jì)出這100個帶貨平臺銷售每件服裝所用時間的平均數(shù)和中位數(shù)；(2)假設(shè)該服裝品牌所有帶貨平臺銷售每件服裝平均所需時間服從正態(tài)分布，其中近似為，.若該服裝品牌所有帶貨平臺約有10000個，銷售每件服裝平均所需時間在范圍內(nèi)的平臺屬于“合格平臺”.為了提升平臺銷售業(yè)務(wù)，該服裝品牌總公司對平臺進(jìn)行獎罰制度，在時間大于44.4分鐘的平臺中，每個平臺每賣一件扣除；在時間小于14.4分鐘的平臺中，每賣一件服裝進(jìn)行獎勵元，以資鼓勵；對于“合格平臺”每賣一件服裝獎勵1元.求該服裝品牌總公司在所有平臺均銷售一件服裝時總共需要準(zhǔn)備多少資金作為本次平臺銷售業(yè)務(wù)提升.（結(jié)果保留整數(shù)）附：若服從正態(tài)分布，則，，.參考數(shù)據(jù)：.【答案】(1)，，中位數(shù)為(2) 【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中矩形面積為1可得，再根據(jù)平均數(shù)與中位數(shù)的算法求解即可；（2）根據(jù)正態(tài)分布概率公式可得所以在時間大于分鐘與小于分鐘在平臺內(nèi)的數(shù)量，進(jìn)而根據(jù)題意可得所需準(zhǔn)備的資金表達(dá)式，再求導(dǎo)分析最值求解即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得，解得.故平均數(shù).設(shè)中位數(shù)為，因，，故，則，解得，即中位數(shù)為.（2）由題意，，且，，故，所以在時間大于分鐘的平臺內(nèi)約有件；，所以在時間小于分鐘的平臺內(nèi)約有件；則“合格平臺”約有件，所以需要資金為 ，由于，可令，則，令有，當(dāng)時，遞減；當(dāng)時，遞增；故有最小值，故至少需要準(zhǔn)備元.21．已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，直線過F且與交于A，B兩點(diǎn).點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若，求直線的方程：(2)設(shè)直線AP與C交于另一點(diǎn)D，直線BP與C交于另一點(diǎn)E，求面積的最小值.【答案】(1)或或；(2)250. 【分析】（1）由題意設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，表示出直線MP方程，結(jié)合兩直線垂直斜率之積為-1，計(jì)算即可求解；（2）設(shè)，分別聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理，則，表示直線DE方程，聯(lián)立拋物線方程，再次利用韋達(dá)定理可得，結(jié)合弦長公式與點(diǎn)到直線的距離公式化簡計(jì)算可得的面積表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由題意，，若直線斜率為0，不符合題意.設(shè)，，消去x得，，，所以，因?yàn)?/span>M為AB的中點(diǎn)，所以，得，又，，所以，即，解得或1或.所以直線l的方程為或或；（2）易知直線AP與BP的斜率不為0，設(shè)，，消去x得，，，，消去x得，，，有，，，，所以.因?yàn)橹本€DE與拋物線C有2個交點(diǎn)，其斜率不為0，由，得，又點(diǎn)在拋物線C上，有，，，又，所以，即，所以，而點(diǎn)O到直線DE的距離為，所以，又，則，所以，即的面積的最小值為250.【點(diǎn)睛】解答直線與拋物線位置關(guān)系的題目時，時常聯(lián)立方程組，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．22．已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)個數(shù)；(2)當(dāng)函數(shù)存在唯一極值點(diǎn)時，求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析 【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，再令，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，根據(jù)的極值和，討論a的范圍，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷的零點(diǎn)個數(shù)，即可得的極值點(diǎn)個數(shù)；（2）由（1）知，分析法將問題轉(zhuǎn)化為證、在上同時恒成立即可.【詳解】（1）令，則，當(dāng)時，遞減，當(dāng)時，遞增，所以，當(dāng)，即在上恒成立，此時無極值點(diǎn)；當(dāng)，即，，若時，，，所以，在上各有一個零點(diǎn)，即有兩個極值點(diǎn)；若，，趨向正無窮時也趨向正無窮，所以，在上有一個零點(diǎn)，即有一個極值點(diǎn)；綜上，時有一個極值點(diǎn)；時有兩個極值點(diǎn)；時無極值點(diǎn).（2）由（1）知：存在唯一極值點(diǎn)時，此時，所以，要證，需證，即證，對于且，則，即在上遞增，所以，即在上恒成立；對于且，則，在上，上，所以在上遞增，上遞減，故，即在上恒成立；綜上，在上恒成立，故成立；要證，即證，令且，則，當(dāng)時，即遞減；當(dāng)時，即遞增；所以，即在上恒成立，綜上，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，分析法轉(zhuǎn)化證明不等式兩側(cè)，結(jié)合切線放縮、導(dǎo)數(shù)研究恒成立證結(jié)論. 

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