河北省2023屆高三省級聯(lián)測（四）數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ 一、單選題1．若復(fù)數(shù)滿足，則（    ）A． B． C．1 D．2．若集合，，則（    ）A． B． C． D．3．已知為所在平面內(nèi)一點，且滿足，則（    ）A． B．C． D．4．某醫(yī)院需要從4名女醫(yī)生和2名男醫(yī)生中抽調(diào)3人參加社區(qū)的老年義診活動，則至少有1名男醫(yī)生參加的概率為（    ）A． B． C． D．5．如圖，是1963年在陜西省寶雞市出土的一口“何尊”（尊為古代的酒器，用青銅制成），尊內(nèi)底鑄有銘文122字.銘文中的“宅茲中國”為“中國”一詞最早的出處.“何尊”可以近似看作是圓臺和圓柱組合而成，經(jīng)測量，該組合體的高約為，上口的直徑為，圓柱的高和底面直徑分別為，，則“何尊”的體積大約為（    ）A． B． C． D．6．已知，則（    ）A． B． C． D．7．設(shè)，，，則（    ）A． B． C． D．8．在三棱錐中，底面，和的外接圓半徑分別為，，若三棱錐外接球的表面積與體積數(shù)值相同，，則取得最大值時，的正弦值為（    ）A． B． C． D． 二、多選題9．已知函數(shù)，且，是函數(shù)相鄰的兩個最大值點，，，則（    ）A． B．C． D．10．在長方體中，，，則（    ）A．直線與所成的角為B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為D．直線與平面所成角的正弦值為11．已知點為拋物線：上一點，為的焦點，，是上兩個動點，則（    ）A．若的中點的橫坐標為4，的最大值為8B．若直線經(jīng)過點時，的最小值為4C．若，則直線的斜率為或D．直線，的傾斜角互補，與的另一個交點為A，則直線的斜率為12．已知函數(shù)，的定義域均為，導(dǎo)函數(shù)分別為，，若，，且，則（    ）A．4為函數(shù)的一個周期 B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C． D． 三、填空題13．若的展開式中的系數(shù)為，則____．14．已知圓經(jīng)過點，與直線相切，且被軸截得的弦長為，則圓的標準方程為________.15．若數(shù)列滿足，，則________.16．已知，分別為橢圓：的兩個焦點，右頂點為，為的中點，且，直線與交于，兩點，且的周長為28，則橢圓的短軸長為________. 四、解答題17．已知，，分別為三個內(nèi)角 ，，的對邊，且.(1)證明：；(2)若為的中點，且，，求的周長.18．已知數(shù)列的前項和為，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列的前項和為，證明：．19．為了研究某種細菌隨天數(shù)變化的繁殖個數(shù)，設(shè)，收集數(shù)據(jù)如下：天數(shù)123456繁殖個數(shù)612254995190表（Ⅰ）3.5062.833.5317.50596.5712.08表（Ⅱ）(1)根據(jù)表（Ⅰ）在圖中作出繁殖個數(shù)關(guān)于天數(shù)變化的散點圖，并由散點圖判斷（，為常數(shù)）與（，為常數(shù)，且，）哪一個適宜作為繁殖個數(shù)關(guān)于天數(shù)變化的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果和表（Ⅱ）中的數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程（結(jié)果保留2位小數(shù)）.附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，.20．如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，，，，為棱上一點，，過，，三點作平面交于點.(1)求點到平面的距離；(2)求平面與平面夾角的余弦值.21．已知為雙曲線：的左焦點，經(jīng)過作互相垂直的兩條直線，，斜率分別為，，若與交于，兩點，與交于，兩點，為的中點，為的中點，為坐標原點.當時，直線的斜率為2.(1)求雙曲線的標準方程；(2)求與的面積之比.22．已知函數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)證明：函數(shù)存在唯一的極值點；(2)在（1）的條件下，若，且，證明：.
參考答案：1．C【分析】求出的值，即可求出的值.【詳解】由題意，∵, 即, ∴, 則, ∴, 故選：C.2．D【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合，再根據(jù)交集的運算求解.【詳解】由，可得，解得，所以，又由，可得，解得，所以，所以，故選:D.3．C【分析】根據(jù)向量的線性表示和加減法運算即可求解.【詳解】如圖，因為，所以是線段的四等分點，且,所以,故A,B錯誤；由，可得，故C正確，D錯誤，故選:C.4．C【分析】根據(jù)古典概率模型以及組合數(shù)的運算公式求解.【詳解】設(shè)事件表示：至少有1名男醫(yī)生參加，則事件表示：沒有1名男醫(yī)生參加，即三名都是女醫(yī)生，所以,所以,故選:C.5．A【分析】根據(jù)圓柱和圓臺的體積公式即可求解.【詳解】解：由題意可知，圓臺的高度為，圓臺體積，圓柱體積，則“何尊”的體積，故選：A.6．B【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角余弦公式，化簡求值，即得答案.【詳解】由題意得,故選：B7．B【分析】根據(jù)所給數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，可得答案.【詳解】設(shè)函數(shù)，則，當時，，當時，，故在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，因為，故，即，故選：B【點睛】方法點睛：此類比較大小類題目，要能將所給數(shù)進行形式上的變化，進而由此構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進而比較大小.8．C【分析】根據(jù)球表面積和體積公式可得,根據(jù)線面垂直以及外接圓的性質(zhì)可得，滿足結(jié)合不等式即可求解最值，進而由正弦定理即可求解.【詳解】設(shè)和的外接圓的圓心分別為,由底面，平面, 所以,所以為直角三角形，所以為的中點，所以，由于，所以，設(shè)三棱錐外接球的球心為，連接,則底面，底面, 故,，由于三棱錐外接球的表面積與體積數(shù)值相同，設(shè)外接球的半徑為,所以,所以，當且僅當 時取等號，在中，由正弦定理可得，故選：C9．BD【分析】由相鄰的兩個最大值點對應(yīng)，可得函數(shù)的周期，由，，可得，再由函數(shù)取得最大值苛求，進而可判斷選項是否正確.【詳解】A選項：因，所以，因，，故，故A錯誤；B選項：因，是函數(shù)相鄰的兩個最大值點，所以，所以，故B正確；C選項：由題意，時，即，即，因，故，故C錯誤；D選項：由以上選項知，，，故D正確.故選:BD.10．CD【分析】根據(jù)異面直線的概念求得直線與所成的角以及直線與所成的角，判斷A，B；根據(jù)線面角的概念求出線面角的大小可判斷C，D.【詳解】對于A，如圖，連接交于點E，由于，故四邊形為平行四邊形，所以,則即為直線與所成的角或其補角，因為，，故中，，則，又,故，所以直線與所成的角為，A錯誤；對于B，連接，若直線與所成的角為，即，因為平面，平面，故，又平面，所以平面，平面，故，結(jié)合A的分析可知成角，因此出現(xiàn)矛盾，B錯誤；對于C，因為平面，則即為直線與平面所成的角，由于,所以，故C正確；對于D，連接交于O，連接，因為為正方形，則，即又平面，平面，故,而平面，故平面，則為直線與平面所成角，而,故，D正確，故選：CD11．BD【分析】根據(jù)拋物線上的點可求得p，可拋物線方程，利用，結(jié)合焦半徑公式可判斷A；根據(jù)拋物的通徑可判斷B；設(shè)直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合，可求得直線的斜率，判斷C；根據(jù)的斜率可求得點A坐標，同理求得B點坐標，即可得直線的斜率，判斷D.【詳解】由點為拋物線：上一點，則，設(shè)，對于A，的中點的橫坐標為4，則，而，當且僅當直線過焦點F時取等號，即的最大值為10，A錯誤；對于B，若直線經(jīng)過點時，由于過焦點的弦中，通徑最短，其長為，故的最小值為4，B正確；對于C，若，知直線過焦點,且直線的斜率不為0，故設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，則，，則，因為，故，解得，故當時，，；當時，，，故直線的斜率為或，C錯誤；對于D，直線，的傾斜角互補，直線的斜率為,解得，則,由于直線，的傾斜角互補，則,則，解得,則，故直線的斜率為，D正確，故選：BD12．ABC【分析】根據(jù)題中條件可得即可判斷A,由的關(guān)系可判斷B，由得進而可得 ，結(jié)合周期性即可判斷CD.【詳解】由得，由求導(dǎo)得，又得，所以，所以，所以，所以，所以4為函數(shù)的一個周期，A正確；，故，因此，故函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，B正確，在中，令由得 為常數(shù)，故， 由函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，，因此，所以由于的周期為4，所以的周期也為4，由于，所以， ，所以，故C正確，由于,故D錯誤，故選:ABC13．2【分析】利用通項公式即可得出.【詳解】的展開式的通項公式：，令或，解得或，，解得.故答案為2.【點睛】求二項展開式中的特定項，一般是利用通項公式進行，化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)，代回通項公式即可．14．【分析】設(shè)圓心和半徑，由題意列出方程組，求得圓心和半徑，即得答案.【詳解】設(shè)所求圓的圓心為，半徑為R，則由題意可得，解得，故圓的標準方程為，故答案為：15．/【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式求出數(shù)列的前面幾項，確定數(shù)列的周期性，即可求得答案.【詳解】由題意知，，故，，故，同理，由此可知數(shù)列為周期性數(shù)列，每3項為一個周期，故，故答案為：16．【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合橢圓的焦點三角形，可得，利用的數(shù)量積為0，即可求解.【詳解】由，為的中點，所以是的垂直平分線，所以,所以的周長為，，所以，由于，所以，故答案為：17．(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由正弦定理邊化角化簡可得，再結(jié)合三角誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系化簡，即可證明結(jié)論；（2）由題意推得，結(jié)合（1）的結(jié)論可得，結(jié)合勾股定理即可求得，即得答案.【詳解】（1）由題意知，故由正弦定理可得，即，又，所以,即，即，而在中，，所以，即；（2）若為的中點，且，，即,則,故，由得，由可得，則，故的周長為.18．(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推式可得時，，采用作差的方法可得，結(jié)合累乘法即可求得答案；（2）由（1）可得的通項公式，利用裂項求和的方法，即可求得，從而證明結(jié)論..【詳解】（1）因為，所以當時，，兩式作差可得，整理得．，令，則，所以，所以，則，當時，也符合上式，綜上，．（2）證明：由（1）可知，，則，因為，所以，所以．19．(1)散點圖見解析；適宜.(2) 【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)即可作出散點圖，據(jù)此可判斷出結(jié)論；（2）由最小二乘法計算和，可得，即可求得答案.【詳解】（1）由題意作出散點圖如圖：由散點圖可知，樣本點是沿指數(shù)型曲線分布，不是分布在某直線附近，故（，為常數(shù)，且，）適宜作為繁殖個數(shù)關(guān)于天數(shù)變化的回歸方程類型.（2）由題意知，故，則，，則，故.20．(1)(2) 【分析】（1）如圖所示建立空間直角坐標系，確定各點坐標，根據(jù)得到，確定平面的法向量，再利用點到平面的距離公式計算得到答案.（2）確定平面與平面的法向量，再根據(jù)向量的夾角公式計算即可.【詳解】（1）如圖所示：取為中點，為菱形，，則，故，，，以，，為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，設(shè)，則，即，故，解得，故，設(shè)平面的法向量為，則，取，得到，點到平面的距離為.（2）設(shè)平面的法向量為，則，取，得到；設(shè)平面的法向量為，則，取，得到；平面與平面夾角為銳角，余弦值為.21．(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，由點差法即可得到，從而得到雙曲線的標準方程；（2）根據(jù)題意，聯(lián)立直線與雙曲線方程結(jié)合韋達定理，表示出直線的方程，從而可知其恒過點，即可得到與的面積之比.【詳解】（1）依題意可知，，設(shè)，則，兩式作差可得，即，又當時，直線的斜率為，所以，所以，又因為，解得，，所以雙曲線的標準方程為.（2）設(shè)，直線與雙曲線方程聯(lián)立，整理得，且，則，所以，即，因為直線垂直，所以，用替換，得到，當時，直線的斜率為，所以直線的方程為，即令，得，所以直線過點，當時，即時，直線的方程為，直線過綜上，直線恒過點.所以與的面積之比為.【點睛】解答本題的關(guān)鍵在于得到直線恒過定點，需要先表示出點的坐標，然后結(jié)合直線點斜式即可得到其方程，從而得到結(jié)果.22．(1)證明見解析；(2)證明見解析. 【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，然后通過研究的零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值點；（2）根據(jù)題意，由于得到，再由在恒成立，即可證明.【詳解】（1）證明：函數(shù)的定義域為，則，令，因為，則在恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，所以，，所以函數(shù)在上存在唯一零點.又當時，，即，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，即，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，即函數(shù)存在唯一的極值點.（2）證明：由（1）知，，，則，即，則.①又，即，則有.②聯(lián)立①②可得，令，則，當時，，即，，所以單調(diào)遞減，則，即在恒成立，所以，所以，則，即，即，即.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值以及函數(shù)不等式的證明，解答本題的關(guān)鍵在于找到等量關(guān)系，從而去證明不等關(guān)系. 

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