2023屆河北省高三適應性考試數(shù)學試題 一、單選題1．若集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合的交集運算即可求解.【詳解】，，因此，.故選：A.2．若z=1+i，則|z2–2z|=（    ）A．0 B．1 C． D．2【答案】D【分析】由題意首先求得的值，然后計算其模即可.【詳解】由題意可得：，則.故.故選：D.【點睛】本題主要考查復數(shù)的運算法則和復數(shù)的模的求解等知識，屬于基礎題.3．已知的展開式中含的項的系數(shù)為，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二項展開的通項公式，根據(jù)指定項求出，再根據(jù)系數(shù)求出參數(shù).【詳解】解：根據(jù)二項展開的通項公式，則，整理得，因為展開式中含的項的系數(shù)為，所以，解得，所以系數(shù)，解得.故選：.4．如圖為延安革命紀念館陳列的呈正四棱臺的木盒子，它是以前計量糧食用的斗，其四周和底部五面合圍，上部開口的中間有一斗柄，作為手提之用．1947年，黨中央果斷做出了“撤離延安、轉(zhuǎn)戰(zhàn)陜北”的重大決策，為了及時供應部隊軍糧，保證部隊的糧食需求，地方政府將米脂、鎮(zhèn)川和子洲等地的公糧集中在沙家店糧站，這個斗就是沙家店糧站當時使用過的，紀念館測得該正四棱臺下底面邊長為38厘米，上底面邊長為32厘米，側(cè)棱長23厘米．則斗的側(cè)面與底面夾角余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出斗的側(cè)面與底面夾角，求得相關線段長，解直角三角形，即可求得答案.【詳解】如圖，正四棱臺中，設上下底面的中心為,設的中點分別為,連接，作,垂足為F，由于側(cè)面為等等腰梯形，故，而，且，平面，故平面，平面，平面,則即為平面與底面所成二面角的平面角，即即為斗的側(cè)面與底面的夾角，由題意可知,在等腰梯形中，，則,在中，，即斗的側(cè)面與底面夾角的余弦值為，故選：A5．甲乙丙丁四名同學去聽同時舉行的三個講座，每名同學可自由選擇聽其中的一個講座，則甲乙二人正好聽的同一講座而丙丁聽的不同講座的情況為（    ）種A．6 B．10 C．18 D．36【答案】C【分析】先安排甲乙，再安排丙丁，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】解：先安排甲乙共有,再安排丙丁共有,所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得總共有（種），故選:C.6．已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的最小正整數(shù)值為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由二倍角公式以及輔助角公式化簡，進而根據(jù)為正整數(shù)，由的范圍，即可結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進行求解.【詳解】，由于為正整數(shù)，當時，，此時故此時在上單調(diào)，時不符合，當時，，此時且故此時在先增后減，因此不單調(diào)，符合，當時，，此時，而的周期為，此時在上不單調(diào)，符合，但不是最小的正整數(shù)，同理要求符合，但不是最小的正整數(shù)，故選：B7．拋物線：的準線與軸交于點，過的焦點作斜率為2的直線交于、兩點，則（    ）A． B． C． D．不存在【答案】C【分析】由得出，再由同角三角函數(shù)的基本關系得出，最后根據(jù)倍角公式求解即可.【詳解】作軸于，分別過，作準線的垂線，垂足分別為，，則，∴∴由，可得.又∵．∴．∴.故選：C8．已知函數(shù)，若恰有兩個零點，則的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】將問題轉(zhuǎn)化為恰有兩個實數(shù)根，求導確定函數(shù)的單調(diào)性，進而畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可確定的取值.【詳解】恰有兩個零點,即恰有兩個實數(shù)根，由于，所以恰有兩個實數(shù)根等價于恰有兩個實數(shù)根，令，則，當時，，故當此時單調(diào)遞增，當，此時單調(diào)遞減，故當時，取極小值也是最小值，且當時，，當時，，且單調(diào)遞增，在直角坐標系中畫出的大致圖象如圖：要使有兩個交點，則，故選：D 二、多選題9．某市兩萬名高中生數(shù)學期末統(tǒng)考成績服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)，則（    ）附：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，，． A．試卷平均得分與試卷總分比值為該試卷難度，則該份試卷難度為0.5B．任取該市一名學生，該生成績低于67分的概率約為0.023C．若按成績靠前的16%比例劃定為優(yōu)秀，則優(yōu)秀分數(shù)線約為83分D．該次數(shù)學成績高于99分的學生約有27人【答案】CD【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性以及原則，即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】由正態(tài)密度函數(shù)得,故可知試卷的平均分為75，試卷總分為100分，故難度為0.75，故A錯誤,由于，所以，故B錯誤，由于，所以C正確，由于，故高于99分的學生約人，所以D正確，故選：CD10．點為圓上一動點，則（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】設，可得，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可判斷A；將化為，繼而令，轉(zhuǎn)化為關于t的二次函數(shù)，求其最值，判斷B；將轉(zhuǎn)化為，利用幾何意義，數(shù)形結(jié)合，可判斷C；舉出反例可判斷D.【詳解】由題意點為圓上一動點，故設，則，而，，故，A錯誤；，設，則，，故，當時，取最小值，當時，取最大值，即，B正確；，設，則，即可看作點與點連線的斜率，如圖示：當直線與圓相切時，k取得最值，則，解得或，則，故，C正確；取為，滿足，但此時，D錯誤，故選：BC【點睛】方法點睛：對于A，B選項的判斷，結(jié)合其結(jié)構(gòu)特征，利用三角代換，結(jié)合三角恒等變換或之間的關系，可進行判斷；對于，可變形為，利用幾何意義進行判斷.11．函數(shù)及導函數(shù)的定義域均為R，則下列選項錯誤的是（    ）A．若，則的周期為2B．若，則為奇函數(shù)C．若，則為偶函數(shù)D．若，則為偶函數(shù)【答案】ABC【分析】根據(jù)導函數(shù)的對稱性可舉反例，即可判斷ABC,由定積分的性質(zhì)以及導函數(shù)的對稱性即可求解D.【詳解】對于A,由可得是周期函數(shù)且周期為2，無法確定的周期性，例如為周期2的函數(shù)，但是恒成立，單調(diào)遞增，不具有周期性，故A錯誤，對于B,由可得關于對稱，可取，則，不是奇函數(shù)，故B錯誤，對于C,由可知關于點對稱，取，則，故為非奇非偶函數(shù)，故C錯誤，對于D,由得關于點對稱，所以，則，則，由于，所以，令，則，所以為偶函數(shù)，故D正確，故選:ABC12．函數(shù)（且），（且），則（    ）A．當時，與有唯一的公共點B．當時，與沒有公共點C．當時，與有唯一公共點D．當時，與有兩公共點【答案】BCD【分析】根據(jù)求解交點確定A選項，根據(jù)反函數(shù)性質(zhì)，列式求解，分情況討論無交點，一個交點和兩個公共點求參可以判斷BCD選項.【詳解】與（且）互為反函數(shù)．當時，與均遞減且與交于一點．時，，，，∴過和，而也過和，∴當時，與有三個交點.當時，設與相切，設切點為，，，由①得，，兩邊取對數(shù)，，將代入②得，，∴，，∴，，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得時，與相切，則時，與無交點，時，與有兩個交點，故BCD均正確．故選：BCD. 三、填空題13．若數(shù)列為等比數(shù)列，，，則______．【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),得，再通過分析可得.【詳解】解: 根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得，，所以，又，所以，所以所以,故答案為：.14．點、分別是正四面體ABCD棱、的中點，則______．【答案】【分析】以為基底，，即可求解.【詳解】解：以為基底，它們兩兩之間均為，設正四面體ABCD棱長為2，則,所以，所以,故答案為：  15．已知，為雙曲線：的左右焦點，直線與的兩漸近線分別交于點、，若的最大值為，則雙曲線的離心率為______．【答案】2【分析】根據(jù)點點距離公式，結(jié)合不等式即可求解最值，進而可得離心率.【詳解】要使取最大，此時直線，由對稱性可知，雙曲線的漸近線方程為，聯(lián)立，解得，不妨設分別在第一象限和第四象限，所以，故，由于，當且僅當時，即時，等號成立，故，即的最大值為，因此，故答案為：216．近年我國基礎研究和原始創(chuàng)新不斷加強，一些關鍵核心技術實現(xiàn)突破，載人航天、探月探火、深海深地探測、超級計算機、衛(wèi)星導航、量子信息等都取得重大成果．如圖正方體為制作某深海探測器零件的新型材料，其棱長為2厘米，制作中要用與正方體內(nèi)切球相切的平面去裁切正方體的一個角，要求截面為正三角形．若正方體八個角都做這樣的裁切，則所剩幾何體體積為______．【答案】【分析】由題意可得所截正三棱錐高，從而求得其體積，又因為相鄰兩個三棱錐重疊部分為三棱錐，求出，從而可得剩余體積.【詳解】由正方體棱長為2，可知其內(nèi)切球球心為正方體中心，半徑為1，正方體頂點到球心距離，由題意截面為正三角形，切點，三點共線，則，設正三棱錐側(cè)棱，則，為正三角形中心，所以，則，解得，所以，又因為相鄰兩個三棱錐重疊部分為三棱錐，可得，則直角三角形中，，，所以剩下的體積為：.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：確定與內(nèi)切球相切的截面所截部分位置關系，進而應用柱體、錐體體積公式求幾何體體積. 四、解答題17．已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，且．(1)求的值；(2)若面積為，求邊上的高的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正余弦定理邊角轉(zhuǎn)化即可求解，（2）由三角形面積公式，結(jié)合基本不等式即可求解最值.【詳解】（1）∵，∴，，，∴，∵，∴.（2）由面積為得：，而，∴∵邊上的高為，∴，則，∵，∴，當且僅當時，取“=”，即的最小值為2．此時最大為．18．已知函數(shù)的首項，且滿足．(1)求證為等比數(shù)列，并求．(2)對于實數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，求的值．【答案】(1)證明見解析，(2) 【分析】（1）由已知可推得，變形可得，即可得出證明.由已知，進而得出，整理即可得出答案；（2）分組求和得出.根據(jù)錯位相減法求，得出，即可得出，然后根據(jù)，即可得出答案.【詳解】（1）因為，，所以，所以，所以.又因為，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以.（2）因為，所以.設，所以，所以，所以，所以.因為，所以，所以，所以.19．如圖所示，多面體中，底面為正方形，四邊形為矩形，且，，．(1)求平面與平面所成二面角大?。?/span>(2)求多面體的體積；(3)點P在線段上，當平面時，求與平面所成的角的正弦值．【答案】(1)(2)(3) 【分析】(1)由線面垂直的判定定理證平面，從而證平面平面，即可得到平面，從而得到平面平面，即平面與平面所成二面角為；(2) 由（1）知，平面，把多面體看做兩個同底的四棱錐和組合而成，即可求體積.(3) 設,由平面得，即為的中點．建立空間直角坐標系，求和平面的法向量的坐標，代入夾角公式即可求和所成角的余弦值，即可得到與平面所成的角的正弦值．【詳解】（1）∵四邊形為矩形，∴又∵，,平面,平面,∴平面，∵平面∴平面平面.∵平面與平面的交線為，，∴平面，又∵平面，∴平面平面，∴平面與平面所成二面角為.（2）由（1）知，平面， 又∵，,底面為正方形，∴，∴多面體體積．（3）如圖，設,連接.則平面與平面交于，∵，∴平面,∵平面∴，則為的中點．以為坐標原點,、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系．則，，，，所以，，，設平面的法向量得即，令，則，所以，則，所以與平面所成角的正弦值為．20．隨著全球新能源汽車市場蓬勃增長，在政策推動下，中國新能源汽車企業(yè)在10余年間實現(xiàn)了“彎道超車”，一躍成為新能源汽車產(chǎn)量連續(xù)7年居世界第一的全球新能源汽車強國．某新能源汽車企業(yè)基于領先技術的支持，改進并生產(chǎn)純電動車、插電混合式電動車、氫燃料電池車三種車型，生產(chǎn)效益在短期內(nèi)逐月攀升，該企業(yè)在1月份至6月份的生產(chǎn)利潤y（單位，百萬元）關于月份的數(shù)據(jù)如下表所示，并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點圖．月份123456收入（百萬元）6.88.616.119.628.140.0(1)根據(jù)散點圖判斷，與（，，，d均為常數(shù)）哪一個更適宜作為利潤關于月份的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關于的回歸方程；(3)該車企為提高新能源汽車的安全性，近期配合中國汽車技術研究中心進行了包括跌落、追尾、多車碰撞等一系列安全試驗項目，其中在實驗場進行了一項甲、乙、丙三車同時去碰撞實驗車的多車碰撞實驗，測得實驗車報廢的概率為0.188，并且當只有一車碰撞實驗車發(fā)生，實驗車報廢的概率為0.1，當有兩車碰撞實驗車發(fā)生，實驗車報廢的概率為0.2，由于各種因素，實驗中甲乙丙三車碰撞實驗車發(fā)生概率分別為0.7，0.5，0.4，且互不影響，求當三車同時碰撞實驗車發(fā)生時實驗車報廢的概率．參考數(shù)據(jù)：19.872.8017.50113.756.30其中，設，．參考公式：對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．【答案】(1)選用作為利潤關于月份的回歸方程更合適(2)(3) 【分析】（1）由散點的分布在一條曲線附近，即可選擇非線性的.（2）由對數(shù)運算，結(jié)合最小二乘法即可求解，（3）由概率的乘法公式，結(jié)合全概率公式即可求解.【詳解】（1）散點圖中的點的分布不是一條直線，相鄰兩點在軸上的差距是增大的趨勢．故選用作為利潤關于月份的回歸方程更合適．（2）由，取對數(shù)可得，設，所以，，，，，所以，，所以，，即．（3）設事件為“實驗車報廢”，事件為“只有一車碰撞實驗車”，事件為“恰有兩車碰撞實驗車”，事件為“三車碰撞實驗車”，則由已知得，利用全概率公式得解得所以當三車同時碰撞實驗車發(fā)生時實驗車報廢的概率為0.5．21．在平面直角坐標系xOy中，點A在軸上滑動，點B在軸上滑動，A、B兩點間距離為．點P滿足，且點P的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)設M，N是C上的不同兩點，直線MN斜率存在且與曲線相切，若點F為，那么的周長是否有最大值．若有，求出這個最大值，若沒有，請說明理由．【答案】(1)(2)有，最大值為 【分析】（1）根據(jù)向量的坐標運算可得，，由點點距離即可求解.（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得到韋達定理，進而由弦長公式求解，由兩點距離公式求解,結(jié)合不等式或者二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.【詳解】（1）設點坐標為，點,的坐標分別為,．由題意，得則，，又因為、兩點間距離為，則整理得點的軌跡為橢圓，其方程：．（2）因為直線的斜率存在，設，，設直線：，因為，是橢圓上的不同兩點，所以由直線與曲線相切可得，得，聯(lián)立可得，所以，，所以，∵，同理所以的周長當時，的周長當時，的周長，（法一）由設，則，，當，即時，最大值為．此時，，所以，即或，此時直線：或，所以的周長最大值為．（法二）當，即時，等號成立，則或，此時直線：或，所以的周長最大值為．【點睛】圓錐曲線中的范圍或最值問題，可根據(jù)題意構(gòu)造關于參數(shù)的目標函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范圍或由判別式得到的范圍求解，解題中注意函數(shù)單調(diào)性和基本不等式的作用．另外在解析幾何中還要注意向量的應用，根據(jù)向量的共線得到點的坐標之間的關系，進而為消去變量起到了重要的作用.22．已知函數(shù)，且點處的切線為．(1)求、的值，并證明：當時，成立；(2)已知，，求證：．【答案】(1)，，證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）求導，根據(jù)點處的切線為，由求解；從而得到．由導數(shù)法得到，即證明；（2）由（1）得到時，即，令，得到，再由，從而有求解.【詳解】（1）函數(shù)定義域為，，由，得，解得，所以．于是，當時，；當時，．故的增區(qū)間為，減區(qū)間為，故的最大值為，即．化簡得（當且僅當時不等式取等號）．于是，當時，由，得；由，得．故當時，有．（2）證明：由（1）可知時，即所以，時，令，得得……………將所得各式相加，得，故所以即【點睛】關鍵點點睛：本題第二問關鍵是由（1）得到，根據(jù)所證問題，令，得到，再由放縮得到，從而構(gòu)造而得解. 

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