?2023屆北京市朝陽區(qū)高三一模數(shù)學試題查漏補缺練習（一）

一、單選題
1．已知集合，集合，則（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化簡，再由集合并集的運算即可得解.
【詳解】由題意，，
所以.
故選：C.
2．已知集合，，則（????）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【分析】求解集合B，然后根據(jù)交集的定義計算即可.
【詳解】解：集合或，又集合，
所以.
故選：C
3．已知集合，集合，則集合（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用一元二次不等式以及指數(shù)不等式的解法化簡集合A、B，再根據(jù)并集的定義求解即可．
【詳解】集合，
集合，
集合．
故選：B．
4．設(shè)集合，若，則實數(shù)m=（????）
A．0 B． C．0或 D．0或1
【答案】C
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分別討論和兩種情況，求解并檢驗集合的互異性，可得到答案.
【詳解】設(shè)集合，若，
，或，
當時，，此時；
當時，，此時；
所以或.
故選：C
5．若，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A，取特殊值判斷BCD.
【詳解】，，即，故A正確；
取，則不成立，故B錯誤；
取，則不成立，故C錯誤；
取，則，故D錯誤.
故選：A
6．已知，則（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用特殊值法，結(jié)合已知逐一判斷即可.
【詳解】因為，所以，選項A正確；
當時，顯然滿足，但，選項B不正確；
當時，顯然滿足，但，選項C不正確；
當時，顯然滿足，但是，選項D不正確，
故選：A
7．已知，下列不等式正確的是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】A作差法比較大??；B特殊值法，令即可判斷正誤；C根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系；D令，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】A：，又，則，，故，即，錯誤；
B：當時，不成立，錯誤；
C：由，則，正確；
D：由，即，當時有，錯誤.
故選：C
8．設(shè)，且，則（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】逐一判斷，對A取，，可得結(jié)果；對B取，可得結(jié)果；對C利用不等式的性質(zhì)判斷即可；對D取可判斷.
【詳解】解：A.取，，則不成立；
B.取，，則不成立；
C.∵，∴，正確；
D.取，∵，∴，因此不成立.
故選：C.
9．設(shè)，若，則（????）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】先求出展開式第項，再由列出方程，即可求出的值.
【詳解】展開式第項，
∵，∴，
∴.
故選：A.
10．在二項式的展開式中，的系數(shù)為（　?。?br /> A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80
【答案】A
【分析】根據(jù)二項展開式的通項，可得，令，即可求得的系數(shù)，得到答案.
【詳解】由題意，二項式的展開式的通項為，
令，可得，
即展開式中的系數(shù)為，故選A.
【點睛】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，其中解答中熟記二項展開式的通項是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.
11．在的展開式中，若二項式系數(shù)的和為32，則x的系數(shù)為（　?。?br /> A．﹣40 B．﹣10 C．10 D．40
【答案】D
【分析】在二項展開式的通項公式中，令的冪指數(shù)等于1，求出的值，即可求得的系數(shù)．
【詳解】根據(jù)的展開式中，二項式系數(shù)的和為 ．
而 的展開式中，通項公式為
令，求得 ，可得展開式中的系數(shù)為
故選D．
【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
12．在的展開式中，只有第三項的二項式系數(shù)最大，則含項的系數(shù)等于（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)展開式的第三項的二項式系數(shù)最大可得，再由二項式展開式的通項公式，即可得答案；
【詳解】由題意得，
，
當時，，
含項的系數(shù)等于，
故選：A.
【點睛】本題考查二項式定理的運用，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意二項式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別.
13．已知點，．若直線上存在點P，使得，則實數(shù)k的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】將問題化為直線與圓有交點，注意直線所過定點與圓的位置關(guān)系，再應(yīng)用點線距離公式列不等式求k的范圍.
【詳解】由題設(shè)，問題等價于過定點的直線與圓有交點，

又在圓外，所以只需，可得.
故選：D
14．當曲線與直線有兩個相異的交點時，實數(shù)k的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】畫出所表示的半圓，結(jié)合直線所過的定點，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法判斷直線與半圓有兩個相異的交點，直線的位置情況，即可求k的范圍.
【詳解】由題設(shè)，表示圓的半圓，又直線過定點，
由下圖知：k的取值范圍在直線與半圓左側(cè)相切時斜率(不含)、直線過時斜率之間.

當在半圓左側(cè)相切時到直線距離等于半徑，即，可得.
當直線過時，；
綜上，要使直線與半圓有兩個相異的交點，k的取值范圍是.
故選：C
15．設(shè)，若直線與圓相切，則的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用直線與圓相切的性質(zhì)可得，的關(guān)系式，再借助均值不等式求解能求出的取值范圍．
【詳解】,直線與圓相切，
圓的圓心，半徑，
則，整理得，
，
，，
解得或，
的取值范圍是
故選：D
16．已知直線l：和圓C：，若存在三點A，B，D，其中點A在直線l上，點B和D在圓C上，使得四邊形ABCD是正方形，則實數(shù)m的取值范圍是（?????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判斷出正方形的邊長為1，對角線為.把題意轉(zhuǎn)化為存在點A使.利用點到直線的距離公式即可求解.
【詳解】圓C的半徑為1，所以，即正方形的邊長為1，對角線為，即.
設(shè)點C到直線l的距離為d.
存在點A在直線l上，點B和D在圓C上，使得四邊形ABCD是正方形，相當于存在點A使.
所以.
即，解得：.
故選：C
17．已知函數(shù)，則“”是“”的（????）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】由的奇偶性、單調(diào)性結(jié)合充分條件、必要條件的概念即可得解.
【詳解】因為定義域為，，
所以為奇函數(shù)，且為上的增函數(shù).
當時，，所以，
即“”是“”的充分條件，
當時，，由的單調(diào)性知，
，即，
所以“”是“”成立的必要條件.
綜上，“”是“”的充要條件.
故選：C
18．設(shè)，，則“”是“”的（????）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)基本不等式判斷充分性，根據(jù)舉反例說明必要性不成立，即可得結(jié)論.
【詳解】因為，，則，當且僅當時等號成立，故充分性成立；
若，滿足，但，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分而不必要條件.
故選：A.
19．“”是“”的（????）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.
【詳解】因為指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，
由可得：，充分性成立，
當時，，但不一定，必要性不成立，
故選：A
20．已知函數(shù)的定義域為，則“存在，對任意，均有”是“有最大值”的（????）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)最大值的定義，結(jié)合充分性、必要性的定義進行判斷即可.
【詳解】只有當?M，，且，使得，這時有最大值，
反之，若有最大值，則存在，對任意，均有成立.
所以函數(shù)的定義域為，則“存在，對任意，均有”是“有最大值”的必要不充分條件.
故選：B
21．過雙曲線的右焦點F作一條漸近線的垂線，垂足為A．若（O為坐標原點），則該雙曲線的離心率為（????）
A． B． C．2 D．或2
【答案】B
【分析】由題意易得所以，從而，再由求解.
【詳解】解：在中，因為，
所以，則，
所以，
故選：B
22．雙曲線：的左、右焦點分別為F1、F2，過F1的直線與雙曲線C的右支在第一象限的交點為A，與y軸的交點為B，且△ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】為等邊三角形，則，，故，得到離心率.
【詳解】為等邊三角形，則，
中，，故，故.
故選：B
23．若雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)雙曲線漸近線和離心率的公式即可.
【詳解】漸近線方程為；
；
；

故選：A.
24．已知雙曲線的左右焦點分別為，M雙曲線C左支上一點，且，點F1關(guān)于直線對稱的點在y軸上，則C的離心率為（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的定義結(jié)合離心率的計算公式，即可得到結(jié)果.
【詳解】
設(shè)點關(guān)于直線對稱的點為P，連接，則為正三角形，∴
又，∴，
，由雙曲線的定義知，解得，
故選:A．
25．在長方體中，與平面相交于點M，則下列結(jié)論一定成立的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平面交線的性質(zhì)可知，又平行線分線段成比例即可得出正確答案，對于ABD可根據(jù)長方體說明不一定成立.
【詳解】如圖，連接，交于，連接，，

在長方體中，平面與平面的交線為,
而平面，且平面，
所以，
又，，
所以，故C正確.
對于A，因為長方體中與不一定垂直，故推不出，故A錯誤；
對于B，因為長方體中與不一定相等，故推不出，故B錯誤；
對于D，由B知，不能推出與垂直，而是中線，所以推不出，故D錯誤.
故選：C
26．如圖，設(shè)分別是長方體棱上的兩個動點，點在點的左邊，且滿足，有下列結(jié)論：

①平面；
②三棱錐體積為定值；
③平面；
④平面平面；
其中，所有正確結(jié)論的序號是（????）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系、面面位置關(guān)系判斷命題①③④，由棱錐體積公式判斷②．
【詳解】與顯然不垂直，而，因此與顯然不垂直，從而平面是錯誤的，①錯；
，三棱錐中，平面即平面，到平面的距離為是定值，中，的長不變，到的距離不變，面積為定值，因此三棱錐體積是定值，②正確；
平面就是平面，而與平面相交，③錯；
長方體中平面，平面，所以平面平面，即平面平面，④正確．
故選：C．
27．如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點，則下列結(jié)論正確的是（????）

A．//
B．
C．//平面
D．平面
【答案】B
【分析】建立空間直角坐標系，利用空間位置關(guān)系的向量證明，逐項分析、判斷作答.
【詳解】在正四棱柱中，以點D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

令，是底面的中心，分別是的中點，
則，，，
對于A，顯然與不共線，即與不平行，A不正確；
對于B，因，則，即，B正確；
對于C，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，
，因此與不垂直，即不平行于平面，C不正確；
對于D，由選項C知，與不共線，即不垂直于平面，D不正確.
故選：B
28．如圖，在正方體中，是棱的中點，是側(cè)面內(nèi)的動點，且與平面的垂線垂直，則下列說法不正確的是（????）

A．與不可能平行
B．與是異面直線
C．點的軌跡是一條線段
D．三棱錐的體積為定值
【答案】A
【分析】設(shè)平面與直線交于，連接，，則為的中點，分別取，的中點，，連接，，，證明平面平面，即可分析選項ABC的正誤；再由，得點到平面的距離為定值，可得三棱錐的體積為定值判斷D．
【詳解】解：設(shè)平面與直線交于，連接，，
則為的中點，分別取，的中點，，
連接，，，
如圖.

∵，平面，平面，
∴平面，同理可得平面，
又、是平面內(nèi)的兩條相交直線，
∴平面平面，而平面，∴平面，
得點的軌跡為一條線段，故C正確；
并由此可知，當與重合時，與平行，故A錯誤；
∵平面平面，和平面相交，∴與是異面直線，故B正確；
∵，則點到平面的距離為定值，∴三棱錐的體積為定值，故D正確．
故選：A．
29．聲音是由于物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，我們聽到的聲音多為復(fù)合音．若一個復(fù)合音的數(shù)學模型是函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．的一個周期為 B．的最大值為
C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．在區(qū)間上有3個零點
【答案】D
【分析】A.代入周期的定義，即可判斷；
B.分別比較兩個函數(shù)分別取得最大值的值，即可判斷；
C.代入對稱性的公式，即可求解；
D.根據(jù)零點的定義，解方程，即可判斷.
【詳解】A.，故A錯誤；
B.，當，時，取得最大值1，，當，時，即，時，取得最大值，所以兩個函數(shù)不可能同時取得最大值，所以的最大值不是，故B錯誤；
C.，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，故C錯誤；
D.，即，，
即或，解得：，
所以函數(shù)在區(qū)間上有3個零點，故D正確.
故選：D
30．已知函數(shù)滿足，則函數(shù)是（????）
A．奇函數(shù)，關(guān)于點成中心對稱 B．偶函數(shù)，關(guān)于點成中心對稱
C．奇函數(shù)，關(guān)于直線成軸對稱 D．偶函數(shù)，關(guān)于直線成軸對稱
【答案】D
【分析】，求得，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.
【詳解】
因為，即
所以，即，
則，
所以，
令
對于AC，因為，所以函數(shù)是偶函數(shù).AC錯誤；
對于BD，，所以函數(shù)關(guān)于直線成軸對稱，B錯誤D正確.
故選：D
31．記函數(shù)的最小正周期為T，為的導(dǎo)函數(shù)．若，為偶函數(shù)，則的最小值為（????）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】對求導(dǎo)，由題設(shè)可得求得，再由為偶函數(shù)，求得，即可得最小值.
【詳解】由且，則，
又，故，則，得，
由為偶函數(shù)，即為偶函數(shù)，
所以且，則，，
當時的最小值為2.
故選：B
32．已知函數(shù)，將的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標保持不變，得到函數(shù)的圖象，若，則的值不可能為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用輔助角公式和三角函數(shù)平移可求得；根據(jù)最值可確定，通過討論的取值可得到選項.
【詳解】，，
的最小正周期，
，，又，
不妨設(shè)
與分別對應(yīng)的最大值點和最小值點，
；
當時，；當時，；當時，
故選：C
33．如圖，圓M為的外接圓，，，N為邊BC的中點，則（????）

A．5 B．10 C．13 D．26
【答案】C
【分析】由三角形中線性質(zhì)可知，再由外接圓圓心為三角形三邊中垂線交點可知，同理可得，再由數(shù)量積運算即可得解.
【詳解】 是BC中點，
，
M為的外接圓的圓心，即三角形三邊中垂線交點，
，
同理可得，
.
故選：C
34．已知O是的外心，外接圓半徑為2，且滿足，若在上的投影向量為，則（????）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】由已知可得且，根據(jù)已知投影向量可得，進而有，再由即可得求結(jié)果.
【詳解】由，故為中點，又O是的外心，
易知：，且，

由在上的投影向量，即，
所以，
由圖，.
故選：A
35．已知點A，B在圓上，且，P為圓上任意一點，則的最小值為（????）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】由題可設(shè)，，然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示及三角函數(shù)的性質(zhì)即得.
【詳解】因為點A，B在圓上，且，P為圓上任意一點，

則，設(shè)，，
所以，
所以，
即的最小值為
故選：D.
【點睛】方法點睛：向量數(shù)量積問題常用方法
一是利用基底法，結(jié)合平面向量基本定理及數(shù)量積的定義求解；
二是利用坐標法，結(jié)合圖形建立坐標系，求出向量的坐標，進而求其數(shù)量積.
36．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)．圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形前紙窗花．圖2中正六邊形的邊長為4，圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，圓的直徑，點在正六邊形的邊上運動，則的最小值為（????）

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】計算得出，求出的取值范圍，由此可求得的取值范圍，從而可得最小值.
【詳解】如下圖所示，由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，、、、、、均為邊長為的等邊三角形，
當點位于正六邊形的頂點時，取最大值，
當點為正六邊形各邊的中點時，取最小值，即，
所以，.

所以，.
的最小值為.
故選：D.
【點睛】方法點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：
（1）利用定義：
（2）利用向量的坐標運算；
（3）利用數(shù)量積的幾何意義．
具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用．
37．已知項數(shù)為的等差數(shù)列滿足，．若，則k的最大值是（????）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【分析】通過條件，，得到，
再利用條件得到，
進而得到不等關(guān)系：，從而得到的最大值.
【詳解】由，，得到，
即，
當時，恒有，即，
所以，
由，得到，
所以，，
整理得到：，所以.
故選：B
38．對任意，若遞增數(shù)列中不大于的項的個數(shù)恰為，且，則的最小值為（????）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】先由條件得出，進而結(jié)合等差數(shù)列前n項和列出不等式，解不等式即可.
【詳解】由遞增數(shù)列中不大于的項的個數(shù)恰為可知，又，故，即，解得或，又，故的最小值為10.
故選：C.
39．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為．若，則下列結(jié)論中正確的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)，可得，，從而可判斷AB，舉出反例即可判斷C，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合基本不等式即可判斷D.
【詳解】解：因為，
所以，故A錯誤；
，所以，
則公差，故B錯誤；
所以等差數(shù)列為遞增數(shù)列，
則，，
則，
所以，
所以，故D正確；
對于C，當時，
，。
此時，故C錯誤.
故選：D.
40．已知數(shù)列的通項公式為，那么滿足的整數(shù)
A．有3個 B．有2個 C．有1個 D．不存在
【答案】B
【詳解】因為，檢驗，時，
，不合題意.
時，
，滿足題意
由對稱性知，.所以，均滿足題意

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