基礎版（通用）2022-2023學年小升初數學精講精練專題匯編講義第5講 比和比例知識點一：比1.比的意義：兩個數相除又叫作兩個數的比。2.比的各部分名稱及比的讀法：4           ：        5=4÷5=0.8↓          ↓        ↓       ↓前項       比號      后項    比值3.比的基本性質：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(0除外)，比值不變4.求比值與化簡比（1）求比值：前項除以后項所得的商是比的結果，叫比值。同類量的比，其比值沒有單位名稱; 不同類量的比，其比值有單位名稱。例如:100千米:5時=20千米/時（2）化簡比：比的前項和后項都是整數，并且是互質數，這樣的比就是最簡整數比。把兩個數的比化成最簡整數比的，稱為化簡比或比的化簡。5.比與分數、除法的關系關系：比與分數相比，比的前項相當于分子，比的后項相當于分母，比值相當于分數值，比號相當于分數線;比與除法比較，比的前項相當于除法中的被除數，比的后項相當于除法中的除數，比值相當于商，比號相當于除號。（1）比、分數和除法之間的聯(lián)系與區(qū)別如下表所示:名稱比分數除法聯(lián)系前項分子被除法：（比號）一（分數線）÷（除號）后項分母除數比值分數值商區(qū)別同類量的比表示兩個數的倍比關系；不同類量的比表示一個新的量。分數是一種數除法是一種運算（2）比的基本性質、分數的基本性質及商不變的規(guī)律之間的聯(lián)系。由比與分數、除法各部分間的關系可知，比的基本性質、分數的基本性質以及商不變的規(guī)律三者只是說法不同，其實質是一樣的。6.按比分配:（1）在工農業(yè)生產和日常生活中，常常需要把一個數量按照一定的比來進行分配，這種分配方法通常叫作按比分配。（2）按比分配應用題的特征：已知總數量和部分數量的比，求各部分數量。（3）常用的解題方法有兩種：一種是先求總份數，再求各部分量占總量的幾分之幾，最后求各部分數量；另一種是先求每份是多少，再求幾份是多少。知識點二：比例1.比例的意義：表示兩個比相等的式子叫做比例。2.比例的各部分名稱：組成比例的四個數，叫做比例的項。兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內項。3.比例的基本性質：在比例里，兩個外項的積等于兩個內項的積。這叫做比例的基本性質。4.比和比例的區(qū)別（1）比表示兩個量相除的關系，它有兩項（即前、后項）；比例表示兩個比相等的式子，它有四項（即兩個內項和兩個外項）。（2）比有基本性質，它是化簡比的依據；比例出有基本性質，它是解比例的依據。
5.解比例: 解比例就是求比例中的未知項，也就是已知比例中的任意三項，就可以求出未知項。解比例的依據是比例的基本性質。知識點三：正比例和反比例1.判斷正比例和反比例的方法:（1）分析數量關系，確定哪兩種量是相關聯(lián)的量。（2）分析兩種相關聯(lián)的量，看它們之間是比值一定還是積一定。（3）如果是比值一定，就成正比例；如果是積一定，就成反比例；如果比值和積都不是一定的，就不成比例。2.正比例圖像:正比例圖像是一條直線。3.用比例的知識解決實際問題（1）用比例知識解決的實際問題可分為正比例問題和反比例問題兩類。（2）應用比例知識解決實際問題的一般方法和步驟: ①判斷題中兩種相關聯(lián)的量是成正比例還是成反比例；②設未知量為x；③列出比例，解比例；④檢驗并作答。知識點四：比例尺1.比例尺的意義(1)圖上距離和實際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。即，(2)2.比例尺的分類(1)數值比例尺：1:200000或，比例尺一般寫成前項是1或后項是1的形式(2)線段比例尺：這種用線段表示的比例尺，叫作線段比例尺3求圖上距離或實際距離：圖上距離=實際距離×比例尺   實際距離=圖上距離÷比例尺一、精挑細選(共5題；每題1分，共5分)1．（1分）（2022·開平）下面各組中的兩個比，可以組成比例的是（　?。?/span>  A．：和： B．0.03：0.6和0.4：8   C．5：4和12：15 D．2.5：和：0.24【答案】B【規(guī)范解答】解：A項中，÷=，÷=，≠，故不能組成比例；
B項中，0.03÷0.6=0.05，0.4÷8=0.05，故能組成比例；
C項中，5÷4=，12÷15=，≠，故不能組成比例；
D項中，2.5÷=5，÷0.24=，5≠，故不能組成比例。
故答案為：B。
【思路點撥】能夠組成比例的兩個比的比值相等，據此作答即可。2．（1分）（2022·三水）下面選項中兩種量成正比例關系的是（　?。?。  A．一袋糖果，已經吃了的數量和剩下的數量   B．正方形的邊長和面積   C．百米比賽中運動員的速度和時間   D．圓的直徑和周長【答案】D【規(guī)范解答】解：A項：一袋糖果，已經吃了的數量和剩下的數量，不成比例；
B項：正方形的面積=邊長×邊長，正方形的邊長和面積，不成比例；
C項：速度×時間=路程（一定），百米比賽中運動員的速度和時間成反比例；
D項：圓的周長÷直徑=π（一定），圓的直徑和周長成正比例。
故答案為：D。
【思路點撥】兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量；兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量。3．（1分）（2022·西城）有6個完全相同的小長方形紙片，每個小長方形的長是7cm，寬是2cm。將它們不重疊的放在長方形ABCD中（如圖），圖中的陰影部分是沒有被小長方形覆蓋的部分。長方形ABCD的長和寬的比是（　　）。A．15：11 B．14：11 C．7：5 D．7：2【答案】A【規(guī)范解答】解：長方形的長=7+2×4
=7+8
=15（cm）；
長方形的寬=7+2×2
=7+4
=11（cm），
所以長方形的長和寬的比=15：11。
故答案為：A。
【思路點撥】觀察圖形可得長方形ABCD的長=小長方形的長+小長方形的寬×4，長方形ABCD的寬=小長方形的長+小長方形的寬×2，再進行相比即可得出答案。4．（1分）（2022·黃山）甲數的等于乙的，甲數和乙數的比是（　　）。A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．9：10【答案】D【規(guī)范解答】解：甲數×=乙數×，
甲數：乙數=：；
：=（×15）：（×15）=9：10。
故答案為：D。
【思路點撥】在甲數×=乙數×中，根據比例的外項之積等于比例的內項之積。把甲數×看做比例的外項，乙數×看做比例的內項，據此改寫成比例的形式。再根據比例的基本性質，比的前項和后項同時乘以或除以同一個數，化為最簡整數比。5．（1分）（2022·新榮）下面各組中的兩種量，成正比例的是（　?。?。  A．平行四邊形的面積一定，它的底與高  B．比例尺一定，圖上距離與實際距離  C．小敏做口算題的總數一定，做對的題數與做錯的題數【答案】B【規(guī)范解答】選項A，因為底×高=平行四邊形的面積，所以平行四邊形的面積一定，它的底與高成反比例；
選項B，因為圖上距離：實際距離=比例尺，所以比例尺一定，圖上距離與實際距離成正比例；
選項C，因為做對的題數+做錯的題數=口算題的總數，這里是和一定，所以不成比例。
故答案為：B。【思路點撥】如果用字母x和y表示兩種相關聯(lián)的量，用k表示它們的比值，正比例關系可以用以下關系式表示：y：x=k（一定）；如果用字母x和y表示兩種相關聯(lián)的量，用k表示它們的積，反比例關系可以用下面關系式表示：xy=k（一定），據此判斷。二、判斷正誤(共5題；每題1分，共5分)6．（1分）（2022·安新）60米賽跑，甲用15秒，乙用12秒。甲和乙跑步速度的比是5：4。（　　）【答案】（1）錯誤【規(guī)范解答】解：（60÷15）：（60÷12）=4：5。原題說法錯誤。
故答案為：錯誤。
【思路點撥】用路程除以時間分別求出兩人的速度，然后寫出速度的比并化成最簡整數比即可。7．（1分）（2022·靈武）每袋大米的質量一定，大米的總質量和袋數成正比例。（　?。?/span>【答案】（1）正確【規(guī)范解答】解：每袋大米的質量一定，大米的總質量和袋數成正比例。
故答案為：正確。【思路點撥】若y=kx（k為常數，x，y≠0），那么x和y成正比例。8．（1分）（2022·蘄春）含糖率10%的糖水中，糖和水的比是1：10。（　?。?/span>【答案】（1）錯誤【規(guī)范解答】解：含糖率10%的糖水中，糖和水的比是10%：（1-10%）=10%：90%=1：9。原題說法錯誤。
故答案為：錯誤。【思路點撥】把糖水的重量看作“1”，那么糖的重量是10%，水的重量是（1-10%）。由此寫出糖與糖水的比并化成最簡整數比即可。9．（1分）（2022·平山）如果a×b＝12×7，那么a：b＝12：7。（    ）【答案】（1）錯誤【規(guī)范解答】解：a：b＝（12×7）：b2，原題干說法錯誤。
故答案為：錯誤。【思路點撥】比例的基本性質：在比例里，兩個內項積等于兩個外項積。10．（1分）（2022·寧強）在濃度為10%的1000克鹽水中加入100克鹽，溶解之后，鹽與鹽水的質量比是2：11。（　　）【答案】（1）正確【規(guī)范解答】解：1000×10%=100（克），（100+100）：（1000+100）=2：11，所以鹽與鹽水的質量比是2：11。
故答案為：正確。【思路點撥】原來鹽水中鹽的質量=原來鹽水的質量×濃度，所以溶解之后鹽與鹽水的質量比=（原來鹽水中鹽的質量+加入的鹽的質量）：（鹽水的質量+加入的鹽的質量）。三、仔細想，認真填(共8題；每空1分，共14分)11．（1分）（2022·合陽）在一個比例中，兩個外項互為倒數，其中一個內項是10以內最大的質數，另一個內項是　     　。【答案】【規(guī)范解答】解：在一個比例中，兩個外項互為倒數，其中一個內項是10以內最大的質數，另一個內項是。
故答案為：。【思路點撥】乘積是1的兩個數互為倒數。10以內最大的質數是7。根據比例的基本性質可知，另一個內項就是7的倒數。12．（2分）（2022·安新）觀察如圖數軸上的點，點A到0的距離與點D到0的距離相等，但方向相反。點A是 　     　，點B與點C表示的數的最簡整數比是 　     　。【答案】﹣1；8：21【規(guī)范解答】解：點A是-1；點B與點C表示的數的最簡整數比是：：=8：21。
故答案為：-1；8：21。
【思路點撥】點A在0的左邊，0的左邊都是負數；點B是，點C是，寫出兩個數的比并化成最簡整數比即可。13．（1分）（2022·八步）一本書，已看了，已看的頁數與剩下頁數的比是 　     　。【答案】3：4【規(guī)范解答】解：：（1-）
=：
=3：4。
故答案為：3：4。
【思路點撥】還剩下的分率=單位“1”-已經看的分率；已看的頁數與剩下頁數的比=：=3：4。14．（4分）（2022·羅湖）16：　     　＝＝　     　%＝3.2÷　     　＝　     　（填小數）。【答案】20；80；4；0.8【規(guī)范解答】解：16÷=20，3.2÷=4，所以16：20==80%=3.2÷4=0.8。
故答案為：20；80；4；0.8。
【思路點撥】比的后項=比的前項÷比值；除數=被除數÷商；
分數化小數，用分子除以分母即可；
小數化百分數，先把小數點向右移動兩位，再在后面加上百分號。15．（1分）（2022·海滄）在一幅比例尺為1：9000000的中國地圖上，量得上海到北京的距離為12厘米，則上海到北京的實際距離是 　     　千米。【答案】1080【規(guī)范解答】解：實際距離=12÷（ 1：9000000 ）
=12×9000000
=108000000（厘米）
=1080000米
=1080千米。
故答案為：1080。
【思路點撥】比例尺=圖上距離：實際距離，所以實際距離=圖上距離÷比例尺，據此即可計算出實際距離，再根據1千米=1000米=100000厘米將單位轉化成千米數即可得出答案。16．（1分）（2022·順義）一幅地圖的比例尺如圖：，在這幅地圖上，量得北京到杭州的距離約是20厘米。北京到杭州的實際距離是 　     　千米。【答案】1200【規(guī)范解答】解：20×60=1200（千米）
故答案為：1200。
【思路點撥】1厘米表示的實際距離60千米，20厘米就是20個60千米，是1200千米。17．（2分）（2022·涇縣）一個等腰三角形，它的頂角與一個底角的比是3：1，那么它的頂角是 　     　°，底角是 　     　°。【答案】108；36【規(guī)范解答】解：180°×=180°×=108°；
180°×=180°×=36°。
故答案為：108；36。
【思路點撥】三角形的內角和被平均分成5份，頂角占，底角占；三角形的內角和×=頂角的度數，三角形的內角和×=底角的度數。18．（2分）（2022·黃山）某次抽測調研，紅紅語文、數學、英語三科的成績比是30：29：31，她的語文成績是90分，紅紅數學、英語成績各是 　     　分、　     　分。【答案】87；93【規(guī)范解答】解：90÷30=3（分）
29×3=87（分）
31×3=93（分）
故答案為：87；93。
【思路點撥】語文成績÷對應的份數=1份的分數，1份的分數×29=數學成績，1份的分數×31=英語成績。四、巧妙作圖(共2題；共11分)19．（4分）（2022·陽城）根據笑笑提供的信息，畫出笑笑從家到學校的路線圖。笑笑：我先從家向北偏東40°方面走500米到中國銀行，再向正東方面走1000米到達萬福超市，最后向東偏南30°的方向走500米到學校。【答案】解：500×100×
=50000×
=2（厘米）
1000×100×
=100000×
=4（厘米）
 【思路點撥】圖上距離=實際距離×比例尺，依據計算出的圖上距離和在地圖上的方位是上北，下南，左西，右東；西南和東北相對，西北和東南相對，畫出圖形。20．（7分）（2022·羅源）如圖是按一定比例尺畫出的路線圖，已知小麗家到少年宮的實際距離是1200m。（1）（1分）這幅圖的比例尺是　         　。（2）（1分）學校在小麗家東偏　     　，　     　°，　     　米處。（3）（3分）書店在學校南偏東40°方向，距離學校600m，在圖上畫出書店的位置。【答案】（1）1：40000（2）北；30；800（3）【規(guī)范解答】解：（1）小麗家到少年宮的圖上距離是3cm，比例尺：3cm：1200m=3cm：120000cm=1：40000；
（2）小麗家到學校的圖上距離是2cm，實際距離：2×40000=80000（cm）=800（m），學校在小麗家東偏北30°方向800米處。
故答案為：（1）1：40000；（2）北；30°；800。
【思路點撥】（1）先測量出小麗家到少年宮的圖上距離，然后寫出圖上距離與實際距離的比并化成前項是1的比就是這幅圖的比例尺；
（2）圖上的方向是上北下南、左西右東，先測量出小麗家到學校的圖上距離，然后計算出實際距離，再根據圖上的方向、夾角的度數和實際距離確定方向即可；
（3）先計算出圖上距離，然后根據圖上的方向、夾角的度數和圖上距離確定書店的位置。五、計算能手(共1題；共9分)21．（9分）（2022·武安）解比例。（1）（3分） x（2）（3分）（3）（3分）6.5：x＝3.25：8【答案】（1）解： x x＝ ×
x＝ 
x÷ ＝ ÷                  x＝ （2）解：        1.2x＝0.4×5
        1.2x＝2
1.2x÷1.2＝2÷1.2            x＝ （3）解： 6.5：x＝3.25：8
          3.25x＝6.5×8
          3.25x＝52
3.25x÷3.25＝52÷3.25
                 x＝16【思路點撥】解比例時，根據比例的基本性質把比例化為方程，再根據等式性質解方程；
比例的基本性質：比例的兩個外項之積等于比例的兩個內項之積；
等式性質1：等式兩邊加上或減去同一個數，左右兩邊仍然相等；
等式性質2：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，左右兩邊仍然相等。六、綜合提升(共2題；共11分)22．（4分）（2022·淮上）a的等于b的，求a與b的最簡比。在寫出等式a×＝b×后，小華和小明使用了兩種不同的方法。（1）（1分）小華假設了一個具體的數值。例如，假設等號兩邊的積都等于1，那么，a＝　     　，b＝　     　，a與b的最簡比是 　     　。（2）（1分）小明運用比例的基本性質，根據上面的等式直接寫出比例a：b＝　     　，再化簡成最簡比就可以。【答案】（1）；；6：5（2）【規(guī)范解答】解：（1）小華假設了一個具體的數值。例如，假設等號兩邊的積都等于1，那么，a=，b=，a與b的最簡整數比是：：=6：5；
（2）a：b=：，再化簡成最簡整數比即可。
故答案為：（1）；；6：5；（2）。 【思路點撥】（1）把兩個算式的乘積都看作1，則分別確定a和b的值，寫出a和b的比并化成最簡整數比即可；
（2）根據比例的基本性質，把a和看作兩個外項，b和看作兩個內項，然后寫出比例即可。23．（7分）（2022·磐石）紅星小學四周建筑物如圖所示：（1）（1分）圖書城距紅星小學的圖上距離是　     　厘米，已知實際距離是300米，此圖比例尺是　         　。（2）（5分）少年宮在紅星小學東偏北60°方向，距紅星小學實際距離500米，請在圖中標出少年宮的位置。【答案】（1）1.5；1：20000（2）解：因為500米＝50000厘米，則少年宮到紅星小學的圖上距離是50000×＝2.5（厘米）； 如圖：【規(guī)范解答】解：（1）圖書城距紅星小學的圖上距離是1.5厘米，已知實際距離是300米，300米=3000厘米，此圖比例尺是1.5：30000=1：20000；
故答案為：（1）1.5；1：20000。
【思路點撥】（1）先量出圖書城距紅星小學的圖上距離，那么比例尺=圖上距離：實際距離，據此作答即可；
（2）少年宮到紅星小學的圖上距離=少年宮到紅星小學的圖上距離×比例尺，然后根據方位圖作答即可。七、解答問題(共9題；共45分)24．（4分）（2022·海港）麗麗去動物園游玩，回家后把一張照片（如圖）在電腦上按一定的比例放大，放大后照片的長是14.4cm，放大后照片的寬是多少厘米？【答案】解：6cm：14.4cm＝5：12 4÷ ＝9.6（cm）答：放大后照片的寬是9.6厘米。【思路點撥】圖上距離：實際距離=比例尺，圖上距離÷比例尺=實際距離。25．（5分）（2022·安新）某天下午5時，同學們同時測得校園內兩棵樹的高度和它們的影子長度，還測得學校假山的影子長度。（單位：米）那么這座假山高多少米？（用比例解）【答案】解：設這座假山高x米。 3：4＝x：12   4x＝3×12     x＝36÷4     x＝9答：設這座假山高9米。【思路點撥】同一時間、同一地點，高度與影子長度的比是不變的，設這座假山高x米，然后根據高度與影子長度的比不變列出比例解答即可。26．（5分）（2022·潮安）夏令營組織學生行軍訓練。去時每小時行3.6千米，2小時到達目的地。返程速度減慢一些，每小時行3.2千米，幾小時可回到出發(fā)地？（用比例知識解答）【答案】解：設x小時可回到出發(fā)地， 3.2x＝3.6×23.2x＝7.2
      x＝7.2÷3.2    x＝2.25答：2.25小時可回到出發(fā)地。【思路點撥】依據返回的速度×返回的時間=去時的速度×去時用的時間，列比例，解比例。27．（5分）（2022·順義）甲、乙兩人擁有的圖書本數的比是3：1，如果甲給乙12本，則他們的圖書本數同樣多。甲、乙兩人共有圖書多少本？【答案】解：12÷（ ﹣ ） ＝12÷ ＝48（本）答：甲、乙兩人共有圖書48本。【思路點撥】圖書總數分成4份，甲占3份，乙占1份，甲占總數的，甲給乙12本后，甲占總數的，據此可以看出，12本對應的是總數的（-），12本÷對應的分率=總本數。28．（5分）（2022·即墨）某工廠生產一批零件，原計劃每天生產25件，18天完成任務。實際每天多生產20%，可提前幾天完成任務？（用比例知識解答）【答案】解：設可提前x天完成任務                  25×18＝25×（1+20%）×（18-x）25×1.2×（18-x）＝450       30×（18-x）＝450                    18-x＝15                         x＝3答：可提前3天完成任務。【思路點撥】依據原計劃平均每天生產的件數×計劃的天數=原計劃平均每天生產的件數×（1+增加的百分率）×（計劃的天數-提前的天數），列比例，解比例。29．（5分）（2022·北辰）某超市蔬菜部，把收購的蔬菜20%銷售出去，正好是36噸，把剩下的按3：5儲存在甲、乙兩個冷庫里。甲、乙兩個冷庫各儲存多少噸？【答案】解：36÷20%×（1﹣20%）
＝180×80%
＝128（噸）
128× ＝48（噸）
128﹣48＝80（噸）
答：甲冷庫儲存48噸，乙冷庫儲存80噸。【思路點撥】根據分數除法的意義，用36噸除以占總重量的百分率求出總重量，然后乘（1-20%）求出剩下的重量。甲冷庫占剩下重量的，根據分數乘法的意義求出甲冷庫存的重量，進而求出乙冷庫存的重量即可。30．（5分）（2022·未央）王師傅生產一批零件，初次檢驗，不合格產品數與合格產品數之比是1：19，后來再次檢驗時，從合格產品中又發(fā)現(xiàn)了2個不合格產品，這時產品的合格率是94%，這批零件中合格產品有多少個？【答案】解：2÷[ -94%）]×94%
=2÷[ ﹣94%]×94%
=2÷ ×94%
=200×94%
=188（個）
答：這批零件中合格產品有188個。【思路點撥】初次檢驗，不合格產品數與合格產品數之比是1：19，那么合格產品數就占總數的，所以又檢驗出的2個不合格產品就占總數的（-94%），根據分數除法的意義先求出零件總數。然后用零件總數×94%即可求出合格產品數。31．（5分）（2022·滁州）甲、乙兩人同時從A地騎車到B地，經過10分鐘，乙到達B地，甲距B地還有1200米。已知甲、乙兩人騎車的平均速度比為2：3，A、B兩地相距多遠？【答案】解：1200÷（3-2）×3
=1200÷1×3
=3600（米）
答：A、B兩地相距3600米。【思路點撥】相同時間內兩人騎車行駛的路程比與速度比相同，所以甲、乙10分鐘內行駛的路程比是2：3。甲行了2份，乙行了3份，兩地的距離也就是3份；乙已經到達B地，甲還有1200米，所以甲距離B地還有1份，也就是1200米；用一份的長度乘3即可求出兩地的距離。32．（6分）（2022·勃利）濱海村各種作物種植面積的分布情況如圖所示，請根據統(tǒng)計圖回答以下問題：（1）（1分）花生的種植面積與向日葵種植面積的最簡單的整數比是　     　。（2）（5分）如果花生的種植面積是6.6公頃，那么大豆與芝麻的種植面積一共是多少公頃？（列式解答）【答案】（1）2：1（2）解：6.6÷30%×（35%+20%） ＝6.6÷0.3×0.55＝22×0.55＝12.1（公頃）；答：大豆與芝麻的種植面積一共是12.1公頃。【規(guī)范解答】解：（1）1-35%-30%-20%=15%，
30%：15%=30：15=2：1；
花生的種植面積與向日葵種植面積的最簡單的整數比是2：1。故答案為：（1）2：1。【思路點撥】（1）1-花生、大豆、芝麻占的百分比=向日葵占的百分比；據此先寫出花生的種植面積與向日葵種植面積的比，再化為最簡整數比；
（2）花生的種植面積÷對應的百分比=種植總面積，種植總面積×大豆與芝麻面積對應的百分比之和=大豆與芝麻的種植面積。

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