? 猜題12 第18-19題 分段函數(shù)、數(shù)列及其應(yīng)用（題型歸納）
目錄：一、分段數(shù)列；二、分段函數(shù)；三、分段數(shù)列、函數(shù)的實際應(yīng)用
一、 解答題
一、分段數(shù)列
1．（2021·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）數(shù)列,滿足,且,.
(1)證明:為等比數(shù)列;
(2)求,的通項.
【答案】（1）證明見解析；（2），
【分析】（1）由，可得，，代入，化簡整理可得，即可得證.
（2）由（1）可得：，化為：，利用等比數(shù)列的通項公式可得，進(jìn)而得到.
【解析】（1）證明：由，可得：，
，代入，
可得：，
化為：，
，
為等比數(shù)列，首項為-14，公比為3.
（2）由（1）可得：，
化為：，
數(shù)列是等比數(shù)列，首項為16，公比為2.
，
可得：，
.
【點睛】本題主要考查數(shù)列通項公式的求解根據(jù)數(shù)列的遞推公式，通過構(gòu)造數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵，運算量大，難度較大，是難題.
2．（2022春·上海黃浦·高二上海市大同中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列的遞推公式為.
(1)求證：為等比數(shù)列；
(2)令，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）根據(jù)時，，得到，利用等比數(shù)列的定義證明即可；
（2）由（1）知，先分組求和，利用錯位相減法求的前，再利用公式法求的前項和，即可得解.
【解析】（1）因為當(dāng)時，，
所以，
又，所以
所以數(shù)列是一個首項為2公比為2的等比數(shù)列，
（2）由（1）得，故，
所以，
先求的前，
，
，
所以，
所以，
又的前項和，
所以數(shù)列的前項和為：.
3．（2022秋·上海虹口·高三華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知無窮數(shù)列的每一項均為正整數(shù)，且，記的前項和為．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
(3)證明：數(shù)列中存在某一項（為正整數(shù)）滿足，并由此驗證1或3是數(shù)列中的項．
【答案】(1)41；
(2).
(3)證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，依次計算出數(shù)列的前10項即可計算作答.
（2）根據(jù)給定條件，分別討論是奇數(shù)、偶數(shù)對應(yīng)前3項和求解作答.
（3）根據(jù)給定條件，利用反證法導(dǎo)出矛盾得證，再驗證作答.
（1）
因，，則數(shù)列的前10項依次為：10，5，8，4，2，1，4，2，1，4，
所以.
（2）
若是奇數(shù)，則是偶數(shù)，，，解得，不符合題意，
若是偶數(shù)，不妨令，，當(dāng)為偶數(shù)時，，則，無整數(shù)解，
當(dāng)為奇數(shù)時，，則，解得，，符合題意，
所以.
（3）
假設(shè)數(shù)列中不存在某一項（為正整數(shù)）滿足，即每一個，都有正整數(shù)，
當(dāng)是奇數(shù)時，是偶數(shù)，，
當(dāng)是偶數(shù)時，，有，或者，
因此，若每一個，都有正整數(shù)，則單調(diào)遞減，因為正整數(shù)，則有數(shù)列的項數(shù)有限，
而數(shù)列是無窮數(shù)列，則數(shù)列必為無窮數(shù)列，顯然兩者矛盾，
即假設(shè)是錯的，所以數(shù)列中存在某一項（為正整數(shù)）滿足，
當(dāng)時，，因此當(dāng)或或或時，數(shù)列中出現(xiàn)1，
當(dāng)時，，因此當(dāng)或時，數(shù)列中出現(xiàn)3，
所以1或3是數(shù)列中的項．
【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計算、分析、推理等方法綜合解決.
4．（2016秋·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，數(shù)列的前n項和為.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求的前n項和；
（3）若對恒成立，求的最小值.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式與等比中項性質(zhì)列式可解得等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比，進(jìn)而可得所求通項公式；
（2）對分類討論，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式可得所求和；
（3），討論當(dāng)為奇數(shù)和偶數(shù)時，的單調(diào)性，可得的最值，結(jié)合不等式恒成立可得的范圍，進(jìn)而可得所求最小值.
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，，
因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，
所以，所以，
所以，因為，所以，
又，所以，
所以，數(shù)列的公比，
所以.
（2）由（1）知，，
所以，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以.
（3），
，
令，
當(dāng)為奇數(shù)時，，且遞減，可得的最大值為，
當(dāng)為偶數(shù)時，，且遞增，可得的最小值為，
所以的最小值為，最大值為，
因為對恒成立，所以，
所以，所以的最小值為.
【點睛】易錯點睛：本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合問題，屬于難題.解決該問題應(yīng)該注意的事項：
(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，它的圖象是一群孤立的點；
(2)轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時，應(yīng)該注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是很容易被忽視的問題；
(3)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中的相關(guān)問題時，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.
5．（2021·上海·高三專題練習(xí)）在無窮數(shù)列中，，且，記的前n項和為.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）證明：中必有一項為1或3.
【答案】（1）37（2）5（3）證明見解析
【分析】（1）計算數(shù)列前9項，再計算和得到答案.
（2）討論為偶數(shù)，為偶數(shù)，為偶數(shù)，為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，為奇數(shù)，為奇數(shù)四種情況，計算得到答案.
（2）設(shè)中最小的奇數(shù)為，則，，討論為奇數(shù)，為偶數(shù)兩種情況，計算得到答案.
【解析】（1），故，故.
（2）當(dāng)為偶數(shù)，為偶數(shù)時，，無整數(shù)解；
當(dāng)為偶數(shù)，為奇數(shù)時，，解得，驗證不成立；
當(dāng)為奇數(shù)，為偶數(shù)時，，解得，驗證成立；
當(dāng)為奇數(shù)，為奇數(shù)時，，無整數(shù)解；
綜上所述：.
（3）設(shè)中最小的奇數(shù)為，則，，
若為奇數(shù)，則，解得；
若為偶數(shù)，則，，為奇數(shù)，解得；
又，∴中必有一項為1或3.
綜上所述：，故中必有一項為1或3.
【點睛】本題考查了數(shù)列求和，證明數(shù)列中的項，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.
6．（2016·上海奉賢·統(tǒng)考一模）數(shù)列，滿足，；
（1）求證：是常數(shù)列；
（2）若是遞減數(shù)列，求與的關(guān)系；
（3）設(shè)，求的通項公式.
【答案】（1）證明見解析（2）（3）
【分析】（1）根據(jù)所給表達(dá)式,求得,再計算,即可證明.
（2）根據(jù)數(shù)列是遞減數(shù)列及,即可比較與的大小關(guān)系.
（3）根據(jù)及（1）求得代入即可求得與的關(guān)系,由的表達(dá)式可構(gòu)造,再代入中求得,結(jié)合即可求得的通項公式.
【解析】（1）證明：∵
∴
∴
∴是常數(shù)列
（2）∵是遞減數(shù)列
∴
∴
∴
（3）∵
∴
∴
∴
∴
即
又∵
故數(shù)列是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列
∴
【點睛】本題考查了數(shù)列遞推公式的綜合應(yīng)用,數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用,構(gòu)造數(shù)列法求數(shù)列的通項公式,等比數(shù)列通項公式的求法,屬于中檔題.
7．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知為正整數(shù)，各項均為正整數(shù)的數(shù)列滿足：，記數(shù)列的前項和為．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若為奇數(shù)，求證：“”的充要條件是“為奇數(shù)”．
【答案】（1）；（2）或；（3）見解析.
【分析】（1）利用遞推公式直接代入求值.
（2）分類討論當(dāng)為奇數(shù)和偶數(shù)的情況，再討論為奇數(shù)和偶數(shù)的情況，求得的值.
（3）先證充分性（易證得），再證必要性，用數(shù)學(xué)歸納法證明.
【解析】解：（1），，則前7項為8，4，2，1，3，5，7，故．
（2）由題設(shè)是整數(shù)．
①若為奇數(shù),可設(shè)，,則是偶數(shù)，得，
則，此時，符合題意
②若為偶數(shù),可設(shè)，,則，
當(dāng)是偶數(shù)時，可設(shè)，得，，
則，此時不存在．
當(dāng)是奇數(shù)時，可設(shè)，得，，
，則，得 ，得．
綜合①②可得，或．
（3）充分性：若為奇數(shù)，則；
必要性：先利用數(shù)學(xué)歸納法證：（為奇數(shù)）；（為偶數(shù)）．
①，，成立；
②假設(shè)時，（為奇數(shù)）；（為偶數(shù)）．
③當(dāng)時，當(dāng)是偶數(shù)，；當(dāng)是奇數(shù)，，此時是偶數(shù)．
綜上，由數(shù)學(xué)歸納法得（為奇數(shù)）；（為偶數(shù)）．
從而若時，必有是偶數(shù)．進(jìn)而若是偶數(shù)，則矛盾，故只能為奇數(shù)．
【點睛】本題是遞推關(guān)系為分段函數(shù)類型，注意分析并使用分類討論，還考查了充要條件的證明，復(fù)雜的且關(guān)于自然數(shù)的遞推不等式的證明可用數(shù)學(xué)歸納法證明.
8．（2016·上海奉賢·統(tǒng)考二模）數(shù)列，滿足，，；
（1）求證：是常數(shù)列；
（2）若是遞減數(shù)列，求與的關(guān)系；
（3）設(shè)，，當(dāng)時，求的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）
【分析】（1）由題意可知，故問題得以證明；
（2）根據(jù)是遞減數(shù)列，得到，，得到恒成立，
（3）先判斷，再根據(jù)，得到，是遞減數(shù)列，即可得到，求出的取值范圍．
【解析】解：（1），
，，
，
，
，
是常數(shù)列；
（2）是遞減數(shù)列，，

，
，
，
，
，
猜想，
，
恒成立，
，
時，是遞減數(shù)列．
（3）整理得，，
，
，
當(dāng)時，，
，
，
，
，
是遞減數(shù)列，
，
，
【點睛】本題考查了遞推數(shù)列的，常數(shù)列，數(shù)列的函數(shù)特征，以及的取值范圍，培養(yǎng)了學(xué)生的運算能力，轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．
9．（2016秋·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)校考期中）已知數(shù)列的前n項和為，且，；
（1）若，求證：；
（2）若，求；
（3）若，求的值．
【答案】（1）證明見解析（2）（3）
【分析】（1）分當(dāng)時和當(dāng)時,分別求出的范圍,得到要證的不等式.
（2）根據(jù)遞推公式得到,數(shù)列,從2項起,以3為周期的數(shù)列,即可求出答案.
（3）通過解不等式判斷出項的取值范圍,從而判斷出項之間的關(guān)系,選擇合適的求和方法求出和.
【解析】解：（1）當(dāng)時,則,
當(dāng)時,則,
故,
所以當(dāng)時,總有.
（2）時,,
∴數(shù)列,
∴從2項起,以3為周期的數(shù)列,其和為,

（3）由,可得,故,
當(dāng)時,.
故且.又,
所以.
故

.
【點睛】本題主要考查了數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和.屬于中等題型.
10．（2016·上海奉賢·統(tǒng)考二模）數(shù)列，滿足，，.
（1）求證：是常數(shù)列；
（2）若是遞減數(shù)列，求與的關(guān)系；
（3）設(shè)，，當(dāng)時，求的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.
【分析】（1）由題意可知，故問題得以證明；
（2）根據(jù)數(shù)列是遞減數(shù)列，得到，，得到恒成立；
（3）先判斷，再根據(jù)，得到，數(shù)列是遞減數(shù)列，即可得到，求出的取值范圍．
【解析】（1），，，，
，，因此，數(shù)列是常數(shù)列；
（2）數(shù)列是遞減數(shù)列，，
，，
，，，，
猜想，恒成立，
，
時，數(shù)列是遞減數(shù)列；
（3）整理得，，，
，
當(dāng)時，，，
，
，，數(shù)列單調(diào)遞減，，，
因此，當(dāng)時，的取值范圍是.
【點睛】本題考查了遞推數(shù)列，常數(shù)列，數(shù)列的函數(shù)特征，以及的取值范圍，培養(yǎng)了學(xué)生的運算能力，轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．
11．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S1>1，且(n?N*)．
(1)求{an}的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，求Tn；
(3)設(shè)*(為正整數(shù))，問是否存在正整數(shù)，使得當(dāng)任意正整數(shù)n>N時恒有Cn>2015成立？若存在，請求出正整數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）．（2）（3）不存在見解析
【分析】(1) ，計算得到，，利用公式化簡得到，故數(shù)列為等差數(shù)列，計算得到答案.
(2)討論為偶數(shù)和為奇數(shù)兩種情況，利用分組求和法計算得到答案.
(3) 不存在，當(dāng)為奇數(shù)時，計算得到，數(shù)列單調(diào)性遞減，得到證明.
【解析】（1）時，，且，解得
時，，兩式相減得：
即，，
，為等差數(shù)列，．
（2），．
當(dāng)為偶數(shù)時，Tn=(b1+b3+…+bn–1)+(b2+b4+…+bn) ,
當(dāng)為奇數(shù)時，Tn=(b1+b3+…+bn)+(b2+b4+…+bn–1)


(3),
當(dāng)n為奇數(shù)時，，
∴Cn+2

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