2023年高考數(shù)學(xué)題型猜想預(yù)測卷導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用壓軸題含解析

這是一份2023年高考數(shù)學(xué)題型猜想預(yù)測卷導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用壓軸題含解析，共44頁。試卷主要包含了填空題，單選題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
? 猜題22 第12、16題 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用壓軸題（上海精選歸納）
一、填空題
1．（2022秋·上海寶山·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，數(shù)列是公差為4的等差數(shù)列，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和_____．
【答案】
【分析】設(shè)，根據(jù)的奇偶性和單調(diào)性可得的奇偶性和單調(diào)性，然后結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式即得.
【解析】因?yàn)?，?br /> 則，
所以為R上的偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
設(shè)，則為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，
因此在R上單調(diào)遞增，
由題知，
又?jǐn)?shù)列是公差為4的等差數(shù)列，可得，
若，則，
∴，即，
同理可得，
∴，與矛盾，舍去；
同理若，則，與矛盾，舍去；
∴，又的公差，
∴，解得，
∴＝2n2﹣8n，
故答案為：．
2．（2022·上海寶山·統(tǒng)考一模）對于正整數(shù)n，設(shè)是關(guān)于x的方程的實(shí)數(shù)根，記，其中表示不超過x的最大整數(shù)，則______.
【答案】2021
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得為單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理找到的取值范圍，代入即可得出通項(xiàng)公式，求出答案.
【解析】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，因此為單調(diào)遞增函數(shù)，
又因當(dāng)時(shí)，
且，所以當(dāng)時(shí)，方程有唯一的實(shí)數(shù)根，且，所以，，
因此
故答案為：2021
3．（2022·上海普陀·統(tǒng)考一模）設(shè)、、均為正數(shù)且，則使得不等式總成立的的取值范圍為______．
【答案】
【分析】由已知可得出，不妨設(shè)，，其中，可得出，令，可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】因?yàn)椤?、均為正?shù)且，則，
不妨設(shè)，，其中，
所以，


，
因?yàn)?，則，令，
則，所以，，
所以，，
令，其中，則，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，
所以，.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
4．（2022春·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列前項(xiàng)和，數(shù)列滿足為數(shù)列的前項(xiàng)和．若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
【答案】
【分析】利用與的關(guān)系，求得，由題意，求得并裂項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消，求得，分為奇數(shù)或偶數(shù)兩種情況，利用函數(shù)求最值研究不等式恒成立問題，可得答案.
【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，將代入上式，可得，則；
，
，
代入不等式，可得，整理可得，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，不等式為，
令，，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
由于，故，此時(shí)；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，不等式為，
令，（為奇數(shù)且），易知在單調(diào)遞增，則，此時(shí)，
綜上所述，.
故答案為：.
5．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，且恒成立，則不等式的解集為______.
【答案】
【分析】由題意可得出，可知方程與方程同解，可解得，則不等式為，利用函數(shù)的單調(diào)性即可解出不等式.
【解析】由于函數(shù)定義在上的偶函數(shù),在是增函數(shù),
由得,
所以,
解方程得,
令,則,
所以是方程的兩根,
由韋達(dá)定理得,解得,
則不等式即,
設(shè)，，，故，
所以單調(diào)遞增，且，故解集為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于求值或求解函數(shù)不等式問題, 一般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號“”，轉(zhuǎn)化為解不等式（組）的問題，若為偶函數(shù),則.
6．（2022秋·上海長寧·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)；若存在相異的實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【分析】去掉絕對值得到分段函數(shù)，分別討論、，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，再通過存在性進(jìn)行求解.
【解析】
①當(dāng)，時(shí)，，，
則在單調(diào)遞減，不滿足題意（舍）；
②當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，
且,；
當(dāng)時(shí)，由，得，
當(dāng)，即時(shí)，，則恒成立，
則，不滿足題意（舍）；
當(dāng)，即時(shí)，，則在單調(diào)遞增，
在單調(diào)遞減，且對于任意，，
則滿足存在相異的實(shí)數(shù)，使得成立，
所以.
故答案為：.
7．（2022秋·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)有三個零點(diǎn)，且有，則的值為________.
【答案】12
【分析】由得出，令，得出，利用導(dǎo)數(shù)得出的圖象，由零點(diǎn)的個數(shù)，結(jié)合圖象求解即可.
【解析】若，則，即
當(dāng)時(shí)，可得，不成立，故
等式兩邊同除以，得
即
令，則

方程有兩個不等的實(shí)根，，
令，則，令，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
如下圖所示
函數(shù)有三個零點(diǎn)，

由圖可知，
故答案為：

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)的范圍一般思路：利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的簡圖，由交點(diǎn)的個數(shù)結(jié)合圖象得出參數(shù)的范圍.
8．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，，下列四個結(jié)論中正確的為__________．
①在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；????
②有兩個零點(diǎn)；
③存在唯一極小值點(diǎn)，且；????
④有兩個極值點(diǎn)．
【答案】②③
【分析】利用導(dǎo)數(shù)可判斷①，利用指數(shù)函數(shù)及正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷②，利用零點(diǎn)存在定理可知存在，使得，進(jìn)而可知函數(shù)的單調(diào)性及極值情況，再結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及三角函數(shù)的圖像性質(zhì)可判斷③④.
【解析】∵，，
因?yàn)闀r(shí)，，，
所以，所以在上單調(diào)遞增，故①錯誤；
有兩個零點(diǎn)等價(jià)于有兩個根，即函數(shù)與有兩個交點(diǎn)，根據(jù)與的圖象，可知在上有兩個交點(diǎn)，故②正確；

，
，
，，
存在，使得且
在上，，在上，，
在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，
在上存在唯一極小值點(diǎn)，

，則，
，故③正確．
令，則，
當(dāng)時(shí)，，，，
當(dāng)時(shí)，，．
在恒成立，
單調(diào)遞增且，，
存在唯一零點(diǎn)，使得
，，即，，，即，
在處取得極小值故有唯一極小值點(diǎn)，故④錯誤．
故答案為：②③.
9．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，三元二次方程所對應(yīng)的曲面統(tǒng)稱為二次曲面．比如方程表示球面，就是一種常見的二次曲面．二次曲面在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、建筑等眾多領(lǐng)域應(yīng)用廣泛．已知點(diǎn)是二次曲面上的任意一點(diǎn)，且，，，則當(dāng)取得最小值時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．
【答案】
【分析】先通過取得最小值這個條件找出當(dāng)?shù)年P(guān)系，帶入后一個不等式，利用對數(shù)恒等式變型，此后分離參數(shù)求最值即可.
【解析】根據(jù)題意，帶入可得：，而，，利用基本不等式，當(dāng)，即取得等號，此時(shí)，即，綜上可知，當(dāng)取得最小值時(shí)，，帶入第二個式子可得，，即，于是，設(shè)，，故當(dāng)時(shí)，遞增，時(shí)，遞減，；于是原不等式轉(zhuǎn)化為時(shí)，恒成立，即在時(shí)恒成立，設(shè)，于是，故在時(shí)單調(diào)遞增，，故，即可.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題恒成立的處理用到了對數(shù)恒等式，若直接分離參數(shù)求最值，會造成很大的計(jì)算量.
10．（2022秋·上海浦東新·高三上海市進(jìn)才中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，是函數(shù)，的兩個極值點(diǎn)，若，則的取值范圍為______．
【答案】
【分析】先由題得所以，.化簡得=，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域即得解.
【解析】由題得函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> ，
所以是方程的兩個實(shí)數(shù)根，
所以，
因?yàn)?，?br /> 所以，
所以.
所以
=
記，
所以
由，
所以在單調(diào)遞減，
又由洛必達(dá)法則得當(dāng)時(shí)，，即，
所以函數(shù)g(x)的值域?yàn)?
即的取值范圍為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和取值范圍，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.
11．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：
①若，恰 有2個零點(diǎn)；
②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個零點(diǎn)；
③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個零點(diǎn)；
④存在正數(shù)，使得恰有3個零點(diǎn)．
其中所有正確結(jié)論的序號是_______．
【答案】①②④
【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.
【解析】對于①，當(dāng)時(shí)，由，可得或，①正確；
對于②，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，
對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，
所以，存在，使得只有一個零點(diǎn)，②正確；
對于③，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，解得，
所以，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個交點(diǎn)，
若函數(shù)有三個零點(diǎn)，則直線與曲線有兩個交點(diǎn)，
直線與曲線有一個交點(diǎn)，所以，，此不等式無解，
因此，不存在，使得函數(shù)有三個零點(diǎn)，③錯誤；
對于④，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，
對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個零點(diǎn)，④正確.

故答案為：①②④.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：
（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；
（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；
（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．

12．（2020·上?！そy(tǒng)考一模）若定義在N上的函數(shù)滿足：存在，使得成立，則稱與在N上具有性質(zhì)，設(shè)函數(shù)與，其中，，已知與在N上不具有性質(zhì)，將a的最小值記為．設(shè)有窮數(shù)列滿足，這里表示不超過的最大整數(shù)．若去掉中的一項(xiàng)后，剩下的所有項(xiàng)之和恰可表為，則的值為_________．
【答案】2626
【解析】問題可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令在上恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出，從而求出，再求出答案即可.
【解析】因?yàn)榕c在N上不具有性質(zhì)，
所以在N上恒成立，
令在N上恒成立，
當(dāng)時(shí)，最小，
所以聯(lián)立，得到，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，遞減，
當(dāng)時(shí)，，遞增，
所以，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，
而，
取，則，所以，
故答案為：2626.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)恒成立問題，數(shù)列的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，解題方法如下：
（1）根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化，將其轉(zhuǎn)化為在N上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，得到最值，求得相應(yīng)的參數(shù)值；
（2）根據(jù)數(shù)列相關(guān)公式求得的；
（3）根據(jù)題意，建立相應(yīng)的等量關(guān)系式求得結(jié)果.
13．（2020·上海·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù) 滿足,且當(dāng)時(shí),又函數(shù),則函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)為___________.
【答案】6
【解析】判斷函數(shù)為偶函數(shù)，周期為2，判斷為偶函數(shù)，計(jì)算，，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像到答案.
【解析】知，函數(shù)為偶函數(shù)，，函數(shù)關(guān)于對稱。
，故函數(shù)為周期為2的周期函數(shù)，且。
為偶函數(shù)，，，
當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)先增后減。
當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)先增后減。
在同一坐標(biāo)系下作出兩函數(shù)在上的圖像，發(fā)現(xiàn)在內(nèi)圖像共有6個公共點(diǎn)，
則函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)為6．
故答案為：.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問題，確定函數(shù)的奇偶性，對稱性，周期性，畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.
14．（2022秋·上海浦東新·高三上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)f(x)＝ax2－ex＋1在x＝x1和x＝x2兩處取到極值，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
【答案】
【解析】對求導(dǎo)后令,再根據(jù)是導(dǎo)函數(shù)的兩根數(shù)形結(jié)合分析兩根的關(guān)系求解.
【解析】函數(shù),所以,
若函數(shù)在 和兩處取到極值,則和是函數(shù)的兩個零點(diǎn),
即是方程,即的兩個根,
所以函數(shù)的圖象與直線有兩個不同的交點(diǎn),且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為,
由于,所以當(dāng) 或時(shí), ；
當(dāng)時(shí), ；故的減區(qū)間有 和 ,增區(qū)間有,
且當(dāng)時(shí),,作出的草圖：

由圖可知：,且,
因?yàn)?即,取,并令,則
所以,解得,此時(shí) ,
故,即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的極值問題,包括數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)與范圍分析的問題,需要根據(jù)題意參變分離畫出圖像分析極值點(diǎn)之間的關(guān)系,并找到臨界條件進(jìn)行分析.屬于中等題型.
15．（2015秋·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）對于具有相同定義域D的函數(shù)和，若存在函數(shù)(k，b為常數(shù))，對任給的正數(shù)m，存在相應(yīng)的，使得當(dāng)且時(shí)，總有，則稱直線為曲線和的“分漸近線”．給出定義域均為的四組函數(shù)如下：
①，；
②，；
③,；
④,
其中，曲線和存在“分漸近線”的是________．
【答案】②④
【分析】根據(jù)分漸近線的定義，對四組函數(shù)逐一分析，由此確定存在“分漸近線”的函數(shù).
【解析】和存在分漸近線的充要條件是時(shí)，．
對于①，，當(dāng)時(shí)，令
由于，所以為增函數(shù)，不符合時(shí)，，所以①不存在；
對于②，
，
因?yàn)楫?dāng)且時(shí)，，所以存在分漸近線；
對于③，，

當(dāng)且時(shí)，與均單調(diào)遞減，但的遞減速度比快，
所以當(dāng)時(shí)會越來越小，不會趨近于0，
所以不存在分漸近線；
對于④，，當(dāng)時(shí)，


，且
因此存在分漸近線．
故存在分漸近線的是②④．
故答案為②④．
【點(diǎn)睛】本小題主要考查新定義概念的理解和運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.
16．（2014·上海閔行·統(tǒng)考二模）對于函數(shù)，有下列4個命題：①任取，都有恒成立；②，對于一切恒成立；③函數(shù)有3個零點(diǎn)；④對任意，不等式恒成立.則其中所有真命題的序號是______.
【答案】①③④
【分析】因?yàn)?定義域?yàn)?以長度為變化區(qū)間的正弦類型的曲線,且當(dāng)時(shí),后面每個周期都是前一個周期振幅的,根據(jù)相應(yīng)性質(zhì)判斷命題即可求得答案.
【解析】對于①,如圖:

任取
當(dāng),
當(dāng),,
,,恒成立
故①正確.
對于②,

,
故②錯誤.
對于③,的零點(diǎn)的個數(shù)問題,分別畫出和的圖像
如圖:

和圖像由三個交點(diǎn).
的零點(diǎn)的個數(shù)為:.
故③正確.
對于④,設(shè),
????
,
令 在,
可得:
當(dāng)時(shí),,,,

若任意,不等式恒成立,
即,可得
求證:當(dāng),,化簡可得:
設(shè)函數(shù),則
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,可得

即:
綜上所述,對任意,不等式恒成立.
故④正確.
故答案為:①③④.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),分段函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點(diǎn).對于含參數(shù)不等式恒成立問題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,然后再構(gòu)造輔助函數(shù),利用函數(shù)的最值即可求出結(jié)果,考查了推理能力與計(jì)算能力.
17．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù),若關(guān)于的方程恰好有個不相等的實(shí)根,則的取值范圍是__________．
【答案】
【分析】由題設(shè)或，這兩個方程的解的個數(shù)可看作函數(shù)的圖象與直線或的交點(diǎn)個數(shù)，首先研究函數(shù)的性質(zhì)并作出簡圖且有三個解，進(jìn)而求參數(shù)范圍．
【解析】當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，
當(dāng)時(shí)，，則，即遞減，
注意趨向時(shí)，趨向于且，，有極大值，
函數(shù)的圖象如下，

由得：或，
由圖知：有三個不同的根，因此或無實(shí)根，即，
所以或．
故答案為：
18．（2017春·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)校考期中）已知函數(shù)f（x）＝2x，g（x）＝x2＋ax（其中a∈R）.對于不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，設(shè)m＝，n＝，現(xiàn)有如下命題：
①對于任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有m＞0；
②對于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有n＞0；
③對于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，使得m＝n；
④對于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，使得m＝－n.
其中真命題有___________________（寫出所有真命題的序號）.
【答案】①④
【解析】對于①，因?yàn)閒 '（x）＝2xln2＞0恒成立，故①正確
對于②，取a＝－8，即g'（x）＝2x－8，當(dāng)x1，x2＜4時(shí)n＜0，②錯誤
對于③，令f '（x）＝g'（x），即2xln2＝2x＋a
記h（x）＝2xln2－2x，則h'（x）＝2x（ln2）2－2
存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，可知函數(shù)h（x）先減后增，有最小值.
因此，對任意的a，m＝n不一定成立.③錯誤
對于④，由f '（x）＝－g'（x），即2xln2＝－2x－a
令h（x）＝2xln2＋2x，則h'（x）＝2x（ln2）2＋2＞0恒成立，
即h（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)x→＋∞時(shí)，h（x）→＋∞
當(dāng)x→－∞時(shí)，h（x）→－∞
因此對任意的a，存在y＝a與函數(shù)h（x）有交點(diǎn).④正確
考點(diǎn)：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，考查函數(shù)與方程的思想和數(shù)形結(jié)合的思想，考查分析問題和解決能提的能力.

19．（2022秋·上海黃浦·高三上海市向明中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)滿足，函數(shù)恰有5個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________．
【答案】
【分析】把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)問題，再結(jié)合函數(shù)圖像，利用導(dǎo)數(shù)求切線進(jìn)行求解.
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，
所以，，
因?yàn)楹瘮?shù)恰有5個零點(diǎn)，
所以函數(shù)與恰有5個交點(diǎn)，如圖，

因?yàn)榕c交于原點(diǎn)，要恰有5個交點(diǎn)，
與必有2個交點(diǎn)，
設(shè)與相切，切點(diǎn)為，
此時(shí)切線斜率為，解得，
解得，所以切點(diǎn)為，所以，解得，
所以要使函數(shù)恰有5個零點(diǎn)，則.
故答案為：.
20．（2022秋·上海黃浦·高三格致中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)a，b是兩個實(shí)數(shù)，，直線和圓交于兩點(diǎn)A，B，若對于任意的，均存在正數(shù)m，使得的面積均不小于，則的最大值為__________．


【答案】
【分析】設(shè)O到直線l的距離為d，利用三角形的面積均不小于列不等式，由此求得的取值范圍，再利用點(diǎn)到直線的距離公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式.根據(jù)的取值范圍，求得的取值范圍，由此求得關(guān)于的不等式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的最大值.
【解析】設(shè)O到直線l的距離為d，則，
解得，即，
所以，
因?yàn)?，時(shí)，
，，
所以，
因?yàn)榇嬖跐M足條件，
所以，
化簡得，且，
由得，
所以，
因?yàn)椋獠坏仁綗o解，
所以在上單調(diào)遞減，
所以．
故的最大值為．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于難題.
21．（2019春·上海普陀·高三曹楊二中校考階段練習(xí)）若存在實(shí)數(shù)，對任意實(shí)數(shù)，使不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.
【答案】
【分析】不等式可化為不等式，等價(jià)于存在實(shí)數(shù)a，b，對任意，不等式成立，等價(jià)于存在實(shí)數(shù)a，b，不等式成立，分別討論，，的情況，注意由任意性和存在性可知需先求出，再求即可解決.
【解析】不等式可化為不等式，
原題等價(jià)于存在實(shí)數(shù)a，b，對任意，不等式成立，
等價(jià)于存在實(shí)數(shù)a，b，不等式成立，
令，則，
（1）在上，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，且，則，
當(dāng)時(shí)，，且，則，
從而當(dāng)時(shí)，設(shè)，
則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以時(shí)，取最小值，最小值為；
（2）當(dāng)時(shí)，由可得，y在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，?
①在時(shí)，，則，
同理可得，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為；
②在時(shí)，，則，
同理可得，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，
根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可得，.
綜上所述，，即，
.
故答案為.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)綜合，考查了函數(shù)任意性和存在性問題的綜合，難度較大，關(guān)鍵在于根據(jù)任意性先對a進(jìn)行討論求出，再對b進(jìn)行分段得到分段函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性和存在性的特點(diǎn)求出的最小值，屬難題.

二、單選題
22．（2023春·上海楊浦·高三復(fù)旦附中?？奸_學(xué)考試）無窮數(shù)列滿足：，且對任意的正整數(shù)n，均有，則下列說法正確的是（????）
A．?dāng)?shù)列為嚴(yán)格減數(shù)列 B．存在正整數(shù)n，使得
C．?dāng)?shù)列中存在某一項(xiàng)為最大項(xiàng) D．存在正整數(shù)n，使得
【答案】D
【分析】由已知可變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)分析單調(diào)性以及最值即可一一判斷求解.
【解析】因?yàn)?，所以，所以?br /> 由可得，則，
則有，
設(shè)函數(shù)，
，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
所以，
因?yàn)?，所?br /> 以此類推，對任意，故B錯誤；
所以，故A錯誤；
因?yàn)?，所以?shù)列中不存在某一項(xiàng)為最大項(xiàng)，C錯誤；
因?yàn)?，所以?br /> ，
所以存在正整數(shù)n，使得，D正確.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題關(guān)鍵在于據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性以及最值分析求解.
23．（2022春·上海寶山·高二上海市行知中學(xué)?？计谀╆P(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（????）
①是的極大值點(diǎn)
②函數(shù)有且只有1個零點(diǎn)????
③存在正實(shí)數(shù)，使得成立????
④對任意兩個正實(shí)數(shù)，且，若，則
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
【答案】C
【分析】對于①，根據(jù)極大值點(diǎn)的定義，求導(dǎo)，研究導(dǎo)數(shù)與零的大小關(guān)系，可得答案；
對于②，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)研究其單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，可得答案；
對于③，采用變量分離，構(gòu)造函數(shù)，研究單調(diào)性與最值，可得答案；
對于④，以直線為對稱軸，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)研究其單調(diào)性和最值，可得答案.
【解析】解：對于①，由，求導(dǎo)得，
令，解得，可得下表：










極小值


則為函數(shù)的極小值點(diǎn)，故①錯誤；
對于②，由，
求導(dǎo)得：，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
由，故函數(shù)有且只有1個零點(diǎn)，故②正確；
對于③，由題意，等價(jià)于存在正實(shí)數(shù)，使得，
令，求導(dǎo)得，
令，則，
在上，，函數(shù)單調(diào)遞增；
在上，，函數(shù)單調(diào)遞減，
，，
在上單調(diào)遞減，無最小值，
不存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立，故③錯誤；
對于④，令，則，，
令，
則，
在上單調(diào)遞減，則，即，
令，由，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，
則，當(dāng)時(shí)，顯然成立，故④正確.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)得應(yīng)用，涉及函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷，以及構(gòu)造法證明不等式，運(yùn)算量較大，有一定的難度.
24．（2022秋·上海浦東新·高三華師大二附中?？奸_學(xué)考試）已知為6個不同的正實(shí)數(shù)，滿足：①，②，③，則下列選項(xiàng)中恒成立的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用不等式的性質(zhì)，得到與，由此排除A、B選項(xiàng)，再得到與，由此得到，即D選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯誤.
【解析】不妨設(shè)，則由得，故，，
則，即，即，
故，
所以，即（1），
又因?yàn)椋?br /> 所以（2），
由（1）（2）可知或皆有可能，故A、B錯誤；
由得，
所以，
所以，
不妨設(shè)，則，所以，
所以，所以，
又，所以，所以，
所以，
同理當(dāng)時(shí)，，
所以，故D正確，C錯誤；
故選：D.
25．（2023·上海·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若在區(qū)間上存在個不同的數(shù)，使得成立，則的取值集合是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意，可知為方程的解的個數(shù)，判斷的單調(diào)性，作出與的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象交點(diǎn)個數(shù)即可求解．
【解析】解：設(shè)，則方程有個根，即有個根，
，
所以在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，且，
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，令得，
所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，
作出與的大致函數(shù)圖象，如圖所示：

由圖象可知的交點(diǎn)個數(shù)可能為1，2，3，4，
又，所以的值為2，3，4．
故選：D．
26．（2022春·上海浦東新·高二華師大二附中?？茧A段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（??）
①是極大值點(diǎn)；
②函數(shù)有且僅有個零點(diǎn)；
③存在正實(shí)數(shù)，使得成立；
④對任意兩個正實(shí)數(shù)、且，若，則.
A．①④ B．②③ C．②③④ D．②④
【答案】D
【分析】利用極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷①的正誤；利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的極值與單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷②的正誤；利用參變量分離法結(jié)合導(dǎo)數(shù)可判斷③的正誤；利用對數(shù)平均不等式結(jié)合基本不等式可判斷④的正誤.
【解析】對于①，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，是極小值點(diǎn)，①錯；
對于②，令，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> ，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，，所以，函?shù)有且僅有個零點(diǎn)，②對；
對于③，若存在正實(shí)數(shù)，使得成立，則，
令，其中，則，
令，其中，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則，
所以，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，則無最小值，
故不存在正實(shí)數(shù)，使得成立，③錯；
對于④，先證明，其中，即證，
令，即證，
令，其中，則，
所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
所以，當(dāng)時(shí)，，
由，得可得，
所以，，所以，，因此，，④對.
故選：D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：
（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；
（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.
27．（2022秋·上海黃浦·高三上海市光明中學(xué)?？计谥校┮阎簦瑒t的最大值是(????)
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用數(shù)形結(jié)合，畫出的圖像可得為定值，再將轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)，最后利用求導(dǎo)求出的最大值.
【解析】如圖作出的圖象，

依題意，，注意到，且，
因此，其中，
設(shè)，當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，
因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，
即的最大值為
故選：C.
【點(diǎn)睛】此題為函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)問題，通常需要先畫出函數(shù)圖像，再結(jié)合函數(shù)圖像得到某一部分為定值，再求出剩余部分的取值范圍即可.
28．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用為奇函數(shù)及已知區(qū)間解析式求出在上分段函數(shù)的表示形式，由有解，即使即可，結(jié)合函數(shù)圖象分析即可得的取值范圍；
【解析】若，即，則；
∵是奇函數(shù)，
∴，則，；
同理，若，即，則，有，；
綜上，有
作出函數(shù)的圖象如圖：
1、當(dāng)時(shí)，是的圖象向左平移個單位，即如下圖

此時(shí)有解，滿足條件.
2、當(dāng)時(shí)，是的圖象向右平移個單位，即如下圖
??
當(dāng)?shù)膱D象與在相切時(shí)，，此時(shí)對應(yīng)直線斜率，由，得，此時(shí)，即切點(diǎn)坐標(biāo)為；
設(shè)切線方程為，此時(shí)，得；
∴當(dāng)時(shí)，滿足題設(shè)條件，解之得：；
綜上，有或，即的取值范圍是；
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式，并利用函數(shù)不等式能成立，結(jié)合函數(shù)圖象分析邊界情況，利用導(dǎo)數(shù)求邊界值，進(jìn)而得到參數(shù)范圍；
29．（2017秋·上?！じ呷虾Ｊ薪ㄆ街袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，有下列四個結(jié)論：
①對任意，恒成立；
②存在，使得方程有兩個不等實(shí)根；
③對任意，若，則一定有；
④對任意，函數(shù)有三個零點(diǎn)．
上述結(jié)論正確的個數(shù)為（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】通過函數(shù)的基本性質(zhì)﹣﹣奇偶性和單調(diào)性,對選項(xiàng)進(jìn)行逐一驗(yàn)證即可.
【解析】∵函數(shù)是奇函數(shù)，
∴任意,等式恒成立,故①正確；
令,,可解得,或,故②正確；
當(dāng)時(shí),,，
故原函數(shù)在單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí),,,
故原函數(shù)在單調(diào)遞增.
函數(shù)在是連續(xù)的,
故函數(shù)在上單調(diào)遞增,對任意，
若，則一定有；故③錯誤；
由③中分析可得：，故對任意,
函數(shù)的圖象與只有原點(diǎn)一個交點(diǎn)，
即函數(shù)有一個零點(diǎn)，故④錯誤．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體,考查了函數(shù)的圖像和性質(zhì),屬于中檔題.
30．（2022·上海普陀·曹楊二中?？寄M預(yù)測）若存在實(shí)數(shù)和，使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)都滿足：恒成立，則稱此直線為和的“隔離直線”.有下列命題：①和之間存在唯一的“隔離直線”；②和之間存在“隔離直線”，且的最小值為，則（????）
A．①?②都是真命題 B．①?②都是假命題
C．①是假命題，②是真命題 D．①是真命題，②是假命題
【答案】D
【分析】命題①，和有公共點(diǎn)，故隔離直線過該點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)斜式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)對參數(shù)分類討論，即可求解；
命題②，設(shè)隔離直線為，則對任意恒成立，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)對參數(shù)分類討論，即可求解；
【解析】對于命題①，函數(shù)和的圖像在處有公共點(diǎn)，
若存在和的隔離直線，那么該直線過這個公共點(diǎn)，
設(shè)隔離直線的斜率為，則隔離直線方程為，即
由恒成立，即恒成立，
（i）當(dāng)時(shí)，則不恒成立，不符合題意；
（ii）當(dāng)時(shí)，令，對稱軸，
在上單調(diào)遞增，且，故不恒成立，不符合題意；
（iii）當(dāng)時(shí)，令，對稱軸，
則，只有，即直線
下面證明，令,
求導(dǎo)，令，得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，也是最小值，故，即
所以和之間存在唯一的隔離直線.
對于命題②，設(shè)和的隔離直線為，
則對任意恒成立，即對任意恒成立，
由恒成立，得
（i）當(dāng)時(shí)，則符合題意；
（ii）當(dāng)時(shí)，則對任意恒成立，令，
對稱軸，需，即，故
令，對稱軸，需，
即，所以，故
同理可得，即，故
故命題①正確，命題②錯誤；
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的新定義“隔離直線”，解題中理解“隔離直線”的定義，注意利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值時(shí)解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于難題.
31．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)，（）的三個零點(diǎn)分別為，，，其中，的取值范圍為（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】構(gòu)造，結(jié)合零點(diǎn)個數(shù)及單調(diào)性求出，求出且，利用基本不等式得到，從而得到答案.
【解析】∵，令，即，（）
令，（），則，
則，（），
令，（），
要想除1外再有兩個零點(diǎn)，則在上不單調(diào)，
則，
解得：或，
當(dāng)時(shí)，在恒成立，
則在單調(diào)遞增，不可能有兩個零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，設(shè)，即的兩根為，且，
則有，故，
令，解得：或，令，解得：，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以?br /> 又因?yàn)椋?br /> 若，則，
因?yàn)?，所以?br /> 所以
，
因?yàn)椋?
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，（），，
此時(shí)在上單調(diào)遞增，
又，即，此時(shí)為臨界情況，；
綜上：的取值范圍為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題：
（1）確定零點(diǎn)的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；
（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問題；
（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.