?猜題20 空間向量與立體幾何（拓展）
一、解答題
1．如圖，在斜三棱柱中，，，側(cè)面為菱形，且，點(diǎn)D為棱的中點(diǎn)，，平面平面．設(shè)平面與平面ABC的交線為l．

(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）分別延長交于E，連接，則即為平面與平面的交線，取中點(diǎn)，連接，證得平面，又可證得從而有平面；
（2）以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出面與面的法向量，用空間向量求二面角的余弦值．
【解析】（1）
證明:分別延長，設(shè)，連接，
則即為平面與平面的交線，
因?yàn)椋≈悬c(diǎn)，連接，
所以平面，
因?yàn)槠矫嫫矫?，且交線為，
所以平面.
因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn),，
所以為的中點(diǎn)，所以，
所以平面；
（2）由（1）知，因?yàn)?所以，
取的中點(diǎn),因?yàn)閭?cè)面為菱形，且，所以BC，
由（1）知平面，所以，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，因?yàn)閭?cè)面為菱形，且，
所以，
則,
設(shè)平面的法向量為，
則，所以，取，
設(shè)平面的法向量為，
則，所以，取，
所以，
由圖知二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.
2．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，分別是的中點(diǎn)，平面，，且．

(1)證明：平面．
(2)求四棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）由，結(jié)合面面平行的判定可得平面平面，由面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論；
（2）由等腰三角形三線合一性質(zhì)可說明四邊形是邊長為，且一個(gè)內(nèi)角為的菱形，由此可得菱形的面積；作，可證得平面，由角度關(guān)系可求得，代入棱錐體積公式即可.
【解析】（1）分別是的中點(diǎn)，四邊形為菱形，，，
四邊形為平行四邊形，，
又平面，平面，平面；
分別為的中點(diǎn)，，
又平面，平面，平面，
又，平面，平面平面，
平面，平面.
（2）連接，
平面，平面，，又，．
為的中點(diǎn)，，又，為等邊三角形，
，；
延長至點(diǎn)，使得，

由（1）知：平面，又平面，，
又，平面，平面，
，，，
，
.
3．如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，底面是棱長為2的菱形，平面 平面，是的中點(diǎn)，.

(1)證明：平面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】(1)連結(jié)，判斷 為等邊三角形，證明，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)判斷得到平面.
(2)等體積法轉(zhuǎn)化求解.
【解析】（1）
證明：連結(jié)，
∵底面是菱形，，∴為等邊三角形，
又是的中點(diǎn)，∴，
∵平面 平面，平面 平面，平面，
∴平面.
（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，易知，
在中，，，∴，
由，得，解得,
點(diǎn)到平面的距離為.
【點(diǎn)睛】.
4．如圖所示，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，．平面平面，為的中點(diǎn)，，，E，F(xiàn)，G分別為，，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面所成銳二面角的正切值．
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）根據(jù)線面垂直判定定理以及性質(zhì)定理，結(jié)合面面垂直判定定理，可得答案；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的空間向量計(jì)算公式，可得答案.
【解析】（1）如圖所示，取AO的中點(diǎn)H，連接HD，HP，

在等腰梯形中，，，，．
∵O為AB的中點(diǎn)，即有四邊形是平行四邊形，
∴，．
∴為正三角形，∴，．
在中，，，
∴為邊長為2的正三角形，∴，．
∴，又F為FD的中點(diǎn)，∴．
∵，，，平面，
∴平面，即平面．∵平面，∴．
而G為PC中點(diǎn)，則，又∵，平面，∴平面．
∵平面PCD，∴平面平面．
（2）∵，平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
∴由（1）知，PH，HD，AB兩兩垂直，
以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HD，HB，HP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
于是，，．
設(shè)平面的法向量為，
則即取，則，
設(shè)平面與平面所成銳二面角為，
∵為平面的一個(gè)法向量，
∴．
∴，．
∴平面與平面所成銳二面角的正切值為．
5．如圖，在四棱錐中，為棱上一點(diǎn)，，四邊形為矩形，且平面.

(1)求證：平面；
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，利用線面平行的性質(zhì)得，利用平行線分線段成比例可得線段長度，從而由勾股定理得線線垂直，再利用線面垂直的判定定理證明線面垂直；
（2）利用線面關(guān)系，證明線線垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別確定平面與平面的法向量，根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算得二面角的余弦值，即可確定二面角大小.
【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，

因?yàn)槠矫?，平面平面，平面，所以?br /> 又，所以，
又，所以.
因?yàn)?，所以?br /> 所以，所以，
又平面，所以平面.
（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以?br /> 又，平面，所以平面，
又平面，所以，又，平面
所以平面.
如圖建系，

則，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，得，
又平面的一個(gè)法向量為，
所以，且二面角為銳角，
故二面角的大小為.
6．如圖所示的多面體是由一個(gè)直三棱柱與一個(gè)四棱錐拼接而成的，四邊形為直角梯形，，，，，分別為的中點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）由三角形中位線性質(zhì)可得，根據(jù)線面平行的判定定理可證得結(jié)論；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用線面角的向量求法可構(gòu)造方程求得，再利用二面角的向量求法求得結(jié)果.
【解析】（1）由直三棱柱的性質(zhì)知：，
分別為的中點(diǎn)，，，
平面，平面，平面.
（2）由直棱柱的性質(zhì)得：平面，
平面，，；
則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)，則，，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，解得：，，；
設(shè)直線與平面所成角為，
則，解得：，
平面的一個(gè)法向量，
又，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，解得：，，；
，
由圖可知：二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.
7．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，，，E為棱AB的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面ABCD；
(2)若，，求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）根據(jù)線面、面面垂直的判定定理分析證明；
（2）建系，利用空間向量求二面角.
【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，
∵底面ABCD為菱形，則，
又∵分別為的中點(diǎn)，則，
故，
注意到，平面，
則平面，
∵平面，則，
又∵，E為棱AB的中點(diǎn)，則，
平面，
∴平面，
且平面，故平面平面ABCD.
（2）若，，則為等邊三角形，且為的中點(diǎn)，
故，
由（1）得，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
可得，
設(shè)平面的法向量，則，
取，則，，
所以，
取平面的法向量，
則，
設(shè)二面角為，
則，可得，
所以二面角的正弦值為.

8．如圖，已知矩形是圓柱的軸截面，是的中點(diǎn)，直線與下底面所成角的正切值為，矩形的面積為12，為圓柱的一條母線（不與重合）．

(1)證明：；
(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求M到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）證明平面即可證明結(jié)論；
（2）設(shè)，進(jìn)而結(jié)合題意得，進(jìn)而得，再結(jié)合基本不等式得時(shí)，三棱錐的體積最大，最后根據(jù)等體積法求解即可.
【解析】（1）證明：連接，因?yàn)槭堑酌鎴A的直徑，
所以，即，
又，且，平面，
所以平面，
又平面，
所以．

（2）解：根據(jù)題意，，設(shè)，則，，
又因?yàn)椋?，得?br /> 所以，，
設(shè)，則，
由（1）可知平面，又到的距離為，
所以．
當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．
所以，當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積最大．
設(shè)M到平面的距離為h，則，即，
又，
所以由得．
所以，M到平面的距離為
9．如圖，球O是正三棱錐和的外接球，M為的外心，直線AM與線段BC交于點(diǎn)D，D為BC的中點(diǎn)，兩三棱錐的高之比為，E為PA上一點(diǎn)，且．

(1)證明：；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見詳解
(2)

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)證明；
（2）由線面垂直判定定理證明平面BCE，求平面和平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式求二面角的正弦值．
【解析】（1）過M作，交AB于，易證MA，MP，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，球O的半徑為R，
則在中，有，解得．
則，，，
∵，
∴，
，所以
∴，
∴．
（2）因?yàn)椋?br /> 平面，
所以平面PAD，又平面PAD，
∴．
由（1）得，又，平面，
∴平面，
所以平面的一個(gè)法向量為．
又∵，，，
∴，．
設(shè)平面的法向量為，
則
令，則，，
∴為平面的一個(gè)法向量．
設(shè)二面角的平面角為，
∴，又，
∴．
故二面角的正弦值為．
10．如圖甲，在四邊形PBCD中，PD//BC，．現(xiàn)將△ABP沿AB折起得圖乙，點(diǎn)M是PD的中點(diǎn)．證明：

(1)；
(2)PC⊥平面ABM．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析

【分析】（1）如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接PE，CE，AC，由題意可證△PBA、△ABC是正三角形，則PE⊥AB、EC⊥AB．根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)即可證明；
（2）如圖，取PC的中點(diǎn)N，連接MN，BN，則MN//AB，即A，B，N，M四點(diǎn)共面，得BN⊥PC．由（1），結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明.
【解析】（1）如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接PE，CE，AC，
∵AD＝BC且AD//BC，故四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD且AB//CD．
又PB＝PA＝CD，
∴PA＝PB＝AB，即△PBA是正三角形，
∴PE⊥AB，在圖甲中，，則，
由，知△ABC是正三角形，故EC⊥AB．
又，平面PEC，
∴AB⊥平面PEC，又平面PEC，
∴AB⊥PC．
（2）如圖，取PC的中點(diǎn)N，連接MN，BN，
∵M(jìn)是PD的中點(diǎn)，∴MN//CD．由（1）知AB∥CD，
∴MN//AB，∴A，B，N，M四點(diǎn)共面．
∵PB＝BC，∴BN⊥PC．
由（1）AB⊥PC，又，平面ABNM，
∴PC⊥平面ABNM，即PC⊥平面ABM．

11．如圖1，在中，，，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且．現(xiàn)將沿翻折到，如圖2．

(1)證明：．
(2)已知，求四棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）根據(jù)條件，證明平面，再由線面垂直的性質(zhì)得到線線垂直即可；
（2）根據(jù)條件，求出四棱錐的底面面積和高，再求出四棱錐的體積即可.
【解析】（1）證明：在中，，
∴，，
∵，平面,平面,
∴平面,又平面，
∴.
（2）作交于,


∵平面，平面，∴，
又,平面，平面，
∴平面.
在中，，，
，，又為的中點(diǎn)，，
，又， .
四邊形的面積,
四棱錐的體積.
12．如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，，，E為線段上一點(diǎn)．

(1)當(dāng)∥平面，求證：為的中點(diǎn)；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)見解析；
(2)存在，當(dāng)時(shí)，平面平面.

【分析】（1）由題意可知為的中點(diǎn)，由線面平行的性質(zhì)定理可得∥，即可得證；
（2）由面面垂直的性質(zhì)定理可得，只需滿足，即可得平面，從而有平面平面，故只需找出成立時(shí)，的長度即可.
【解析】（1）證明：因?yàn)闉檎叫?，?br /> 所以為的中點(diǎn)，
又因?yàn)椤纹矫妫矫嫫矫?，平面?br /> 所以∥，
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)；
（2）存在，當(dāng)時(shí)，平面平面，理由如下：
設(shè)，

因?yàn)闉檎叫?，所以?br /> 又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br /> 所以平面，
又因?yàn)槠矫?，所以?br /> 又因?yàn)樵诰匦沃?，?br /> 當(dāng)時(shí)，在中，，
在中，，
所以，
又因?yàn)椋?br /> 所以，則，
所以，
又因?yàn)?，平面?br /> 所以平面，
又因?yàn)槠矫?，所以平面平?
13．如圖，在四棱柱中，已知底面是菱形，是側(cè)棱上一點(diǎn).

(1)若，證明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）由平面得，進(jìn)而證明，再結(jié)合已知和判定定理即可證明；
（2）過作，垂足為，進(jìn)而證明平面，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.
【解析】（1）證明：如圖，設(shè)，交于點(diǎn)，連接，，
因?yàn)樗倪呅问橇庑?，，?br /> 所以，.
因?yàn)?，，平面，?br /> 所以平面，

因?yàn)槠矫?，所以?br /> 連接，，所以，
因?yàn)椋裕?br /> 所以.
因?yàn)?，所以，所?
因?yàn)椋矫?，?br /> 所以平面.
（2）解：過作，垂足為，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br /> 又，，平面，，所以平面.
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
所以，，
因?yàn)?，所以?br />
則，所以.
易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，，所以.
設(shè)二面角的大小為，
所以，
所以，即二面角的正弦值為.
14．如圖，在三棱臺(tái)ABC－DEF中，平面DEBA⊥平面ABC，平面DFCA⊥平面ABC，AB：BE：DE=4：5：1.

(1)求證：AD⊥BC；
(2)若△ABC是等邊三角形，試問：棱BE上是否存在一點(diǎn)H，使得二面角H－AC－B的平面角為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，

【分析】（1）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作直線，過點(diǎn)作直線，由面面垂直的性質(zhì)得出，，結(jié)合線面垂直的判定以及定義得出；
（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【解析】（1）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作直線，過點(diǎn)作直線，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面?br /> 所以平面.
因?yàn)槠矫?，所以，同理可證.
因?yàn)閘，m為相交直線，l，平面，所以平面
又平面，所以.

（2）設(shè)，則，，
易得四邊形為直角梯形，所以，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，和平面的一個(gè)法向量的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，，，
則，，，
則，
設(shè)，則，
易知是平面的一個(gè)法向量.
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
取，則，，
因此是平面的一個(gè)法向量.
假設(shè)存在點(diǎn)，使得二面角的平面角為，
則
化簡得，解得或（舍去），
因此棱上存在一點(diǎn)，使得二面角的平面角為，此時(shí).
15．如圖，點(diǎn)C在直徑為的半圓O上，垂直于半圓O所在的平面，平面．且．

(1)證明：平面平面
(2)若，，異面直線與所成的角是，求三棱錐的外接球的表面積
【答案】(1)證明見解析；
(2).

【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明平面，再借助線面平行可得，然后利用線面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.
（2）取的中點(diǎn)M，連接，確定球心為M，再計(jì)算球半徑及表面積作答.
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)C在半圓O上，為直徑，則，而平面，平面，于是，
又平面，則有平面，由知點(diǎn)共面，
又平面，平面平面，平面，
因此，即有平面，又DE在平面ADE內(nèi)，
所以平面平面
（2）由（1）知，，因?yàn)?，則為與所成的角，即，
則，平行四邊形中，，因?yàn)槠矫?，則有平面，
平面，則，又，平面，
于是平面，而平面，從而，取的中點(diǎn)M，連接，如圖，

因此，則點(diǎn)M是三棱錐的外接球球心，而，
所以三棱錐的外接球表面積.
16．正四棱錐中，，，其中為底面中心，為上靠近的三等分點(diǎn).

(1)求四面體的體積；
(2)是否存在側(cè)棱上一點(diǎn)，使面與面所成角的正切值為？若存在，請(qǐng)描述點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)
(2)存在側(cè)棱上一點(diǎn)，使面與面所成角的正切值為，此時(shí)或

【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，根據(jù)位置可得，以為底，為高可得四面體體積；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法，結(jié)合二面角確定點(diǎn)位置.
【解析】（1）
如圖所示，連接，交于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，
由四棱錐為正四棱錐，且為底面中心，
得，，平面，，
，
又，，平面，
平面，
又，則，
因?yàn)闉樯峡拷娜确贮c(diǎn)，
則，且平面，
所以；
（2）
設(shè)平面與平面所成角為，則，，
如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
因?yàn)闉樯峡拷娜确贮c(diǎn)，
則，且，，，
設(shè)，，
則，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，
又由（1）得平面，
則平面的法向量為，
所以，
解得或，
所以存在側(cè)棱上一點(diǎn)，使面與面所成角的正切值為，此時(shí)或.
17．如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，是線段的中點(diǎn)，設(shè)平面與平面的交線為.

(1)證明∥平面BCM
(2)已知，為上的點(diǎn)，若與平面所成角的正弦值為是，求線段的長.
(3)在（2）的條件下，求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)

【分析】(1)先證明 ∥平面，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理可證∥平面；
(2) 建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè),計(jì)算出平面的一個(gè)法向量為，結(jié)合與平面所成角的正弦值為是解出，進(jìn)而可得的長；
(3)分別計(jì)算二面角兩個(gè)半平面的法向量，結(jié)合空間角的向量求法即可求解.
【解析】（1）在正方形中，，
因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平面?br /> 又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以?br /> 因?yàn)槠矫?br /> ，平面，所以∥平面
（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?，則有，，，，，
設(shè)，則有，，，
設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則
因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為是，
所以，
解得.所以.
（3）由（2）可知平面的一個(gè)法向量為
因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以
于是，，設(shè)平面的法向量
則，即.令，得，，
，所以二面角的正弦值為.
18．如圖，四面體的棱平面，．

(1)證明：平面平面；
(2)若平面與平面所成銳二面角的正切值為，線段與平面相交，求平面與平面所成銳二面角的正切值．
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）作于M，通過余弦定理解三角形得到，即可證得平面，即可證得平面平面；
（2）作于G，于H，求出，，延長交于點(diǎn)N，連接，作于K，平面與平面所成銳二面角即，通過解三角形計(jì)算出即可.
【解析】（1）
作于M，連接，則，，則，
則，故．又，則，又，平面，故平面，
又平面，則平面平面．
（2）
作于G，于H，由（1）知，又，平面，則平面，
又平面，則，又，同理可得平面，，則三點(diǎn)共線．
由平面與平面所成銳二面角的正切值為，則，又，則．又，
則，，則．延長交于點(diǎn)N，連接，作于K，
易得，又，平面，則平面，又平面，則，
則平面與平面所成銳二面角即．又，則，又，則，
故，故．
19．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是菱形，，，三棱錐是正三棱錐，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn).

(1)求證：直線平面SAC；
(2)求二面角的余弦值；
(3)判斷直線SA與平面BDF的位置關(guān)系.如果平行，求出直線SA與平面BDF的距離；如果不平行，說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)平行，距離為

【分析】(1)要證線面平行，先證線線平行，只需證，，即可.
(2) 建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，再利用平面的法向量，即可求解.
(3)利用向量在平面BDF的法向量上的投影，即可求解.
【解析】（1）證明：連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接SO，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以O(shè)為AC，BD的中點(diǎn)，且，
因?yàn)槿忮F是正三棱錐，，O為BD的中點(diǎn)，所以，
又，所以平面SAC.
（2）作平面BCD于H，則H為正三角形BCD的中點(diǎn)，H在線段OC上，且，，，.
如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，C.，D.，，，，
所以，，，
設(shè)是平面EBF的法向量，
則，
則，
設(shè)是平面DBF的法向量，
則，取，
所以，
又因?yàn)槎娼鞘卿J二面角，所以二面角的余弦值為.

（3）直線SA與平面BDF平行.
理由如下：
連接OF，由（1）知O為AC的中點(diǎn)，又F為SC的中點(diǎn)，所以，
又因?yàn)槠矫鍮DF，平面BDF，所以直線平面BDF.
（或者用向量法證明直線SA與平面BDF平行：
由（2）知是平面BDF的一個(gè)法向量，
又，，所以，
所以，
所以，
又因?yàn)槠矫鍮DF，所以直線平面BDF.
設(shè)點(diǎn)A與平面BDF的距離為h，則h即為直線SA與平面BDF的距離，
因?yàn)?，是平面DBF的一個(gè)法向量，
所以，
所以點(diǎn)A與平面BDF的距離為，
所以直線SA與平面BDF的距離為.
20．棱柱的所有棱長都等于2，，平面平面，．

（1）證明：；
（2）求二面角的平面角的余弦值；
（3）在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出點(diǎn)的位置．
【答案】(1)證明見解析；(2) 二面角D－A1A－C的平面角的余弦值是．(3)存在，點(diǎn)P在C1C的延長線上且使C1C＝CP．
【解析】解：連接BD交AC于O，則BD⊥AC，連接A1O

在△AA1O中，AA1=2，AO=1，∠A1AO=60°
∴A1O2=AA12+AO2－2AA1·Aocos60°=3
∴AO2+A1O2=A12
∴A1O⊥AO，由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，
所以A1O⊥底面ABCD
∴以O(shè)B、OC、OA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，， 　…………2分
（Ⅰ）由于，
則
∴BD⊥AA1……………………4分
（Ⅱ）由于OB⊥平面AA1C1C，∴平面AA1C1CK*s^5#u的法向量
設(shè)⊥平面AA1D則
得到……………………6分

所以二面角D—A1A—CK*s^5#u的平面角K*s^5#u的余弦值是……………………8分
（Ⅲ）假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P，使BP//平面DA1C1
設(shè)，則
得……………………9分
設(shè)，則設(shè)
得到……………………10分
又因?yàn)槠矫鍰A1C1
則·
即點(diǎn)P在C1CK*s^5#u的延長線上且使C1C=CP……………………12分
法二：在A1作A1O⊥AC于點(diǎn)O，由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，由面面垂直K*s^5#u的性質(zhì)定理知，A1O⊥平面ABCD，
又底面為菱形，所以AC⊥BD

（Ⅱ）在△AA1O中，A1A=2，∠A1AO=60°
∴AO=AA1·cos60°=1
所以O(shè)是ACK*s^5#u的中點(diǎn)，由于底面ABCD為菱形，所以
O也是BD中點(diǎn)
由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA1C
過O作OE⊥AA1于E點(diǎn)，連接OE，則AA1⊥DE
則∠DEO為二面角D—AA1—CK*s^5#u的平面角 ……………………6分
在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°
∴AC=AB=BC=2，∴AO=1，DO=
在Rt△AEO中，OE=OA·sin∠EAO=，DE=
∴cos∠DEO=
∴二面角D—A1A—CK*s^5#u的平面角K*s^5#u的余弦值是……………………8分
（Ⅲ）存在這樣K*s^5#u的點(diǎn)P
連接B1C，因?yàn)锳1B1ABDC
∴四邊形A1B1CD為平行四邊形．
∴A1D//B1C
在C1CK*s^5#u的延長線上取點(diǎn)P，使C1C=CP，連接BP……………………10分
因B1BCC1，∴BB1CP
∴四邊形BB1CP為平行四邊形
則BP//B1C，∴BP//A1D
∴BP//平面DA1C1　　　　　……………………12分
21．如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是平行四邊形，，且點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn).

(1)證明：平面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）先利用長度關(guān)系得出，再根據(jù)面面垂直得出線面垂直；
（2）利用等體積法由可得答案.
【解析】（1）因?yàn)椋?br /> 所以是正三角形，所以；

又，由余弦定理得，
則，所以，即；
因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，
所以；
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?br /> 因?yàn)槠矫妫?br /> 所以平面.
（2）由（1）得平面，
在直角中，，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，
即，
解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.
22．如圖，在三棱柱中，平面ABC⊥平面，側(cè)面為菱形，，底面ABC為等腰三角形，，O是AC的中點(diǎn)．

(1)證明：；
(2)若二面角的余弦值為，求三棱柱的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）由平面ABC⊥平面，通過面面垂直的性質(zhì)證明線面垂直，再證得線線垂直；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法解決二面角的余弦值，解得，可得三棱柱的體積.
【解析】（1）平面ABC⊥平面，平面平面，
菱形中，，為等邊三角形，O是AC的中點(diǎn)，，
平面，平面，平面，.
（2）平面，，，
以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，

則，，，，， ， ·
， ， ，
設(shè)平面的法向量是，
由，令，，得
設(shè)平面的法向量是 ，
由，令，，可得 ，
所以，由，解得，
，，
三棱柱的體積為.
23．某種“籠具”由上、下兩層組成，上層和下層分別是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱，其中圓柱與圓錐的底面半徑相等，如圖所示：圓錐無底面，圓柱無上底面有下底面，內(nèi)部鏤空，已知圓錐的母線長為20cm，圓柱高為30cm，底面的周長為.

(1)求這種“籠具”的體積（結(jié)果精確到）；
(2)現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作這樣“籠具”的保護(hù)罩（包括底面）50個(gè)，該保護(hù)罩緊貼包裹“籠具”，紗網(wǎng)材料（按實(shí)測面積計(jì)算）的造價(jià)為每平方米8元，共需多少元？（結(jié)果精確到0.1元）
【答案】(1)
(2)138.7元

【分析】（1）先通過底面周長求出底面圓的半徑，然后根據(jù)圓錐母線及底面圓半徑求出圓錐的高，最后利用圓錐的體積加上圓柱的體積即可求解；
（2）求出圓錐的側(cè)面積，圓柱側(cè)面積及一個(gè)底面積，即可得到“籠具”的表面積，然后求出總的造價(jià)即可.
【解析】（1）設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為，圓柱高為，
則由題意有，得，圓錐高，
所以“籠具”的體積.
（2）圓柱的側(cè)面積，圓柱的底面積，
圓錐的側(cè)面積，
所以“籠具”的側(cè)面積.
故造50個(gè)“籠具”的最低總造價(jià)為元.
答：這種“籠具”的體積約為；生產(chǎn)50個(gè)籠具需要138.7元.
24．如圖，在兩塊鋼板上打孔，用釘帽呈半球形、釘身為圓柱形的鉚釘（圖1）穿在一起，在沒有帽的一端錘打出一個(gè)帽，使得與釘帽的大小相等，鉚合的兩塊鋼板，成為某種鋼結(jié)構(gòu)的配件，其截面圖如圖2.（單位：mm）.（加工中不計(jì)損失）.



(1)若釘身長度是釘帽高度的3倍，求鉚釘?shù)谋砻娣e；
(2)若每塊鋼板的厚度為mm，求釘身的長度（結(jié)果精確到mm）.
【答案】(1)；
(2)55mm.

【分析】（1）由圖可知，鉚釘?shù)谋砻娣e等于半球的表面積加上圓柱的側(cè)面積加上以為半徑的圓的面積.根據(jù)已知條件，分別求出各部分的面積即可得出答案；
（2）設(shè)釘身的長度為，表示出釘身的體積.根據(jù)已知求出釘身加工后的體積，列出方程，求解即可得出答案.
【解析】（1）解：由已知可得，鉚釘為以為半徑的半球與圓柱的組合體.
由釘身長度是釘帽高度的3倍，可知圓柱的高為，圓柱底面半徑為.
由圖可知，鉚釘?shù)谋砻娣e等于半球的表面積加上圓柱的側(cè)面積加上以為半徑的圓的面積.
半球的表面積為，圓柱的側(cè)面積為，圓的面積.
所以，鉚釘?shù)谋砻娣e.
（2）解：設(shè)釘身的長度為，，則釘身的體積.
由已知加工前后體積不變，加工后體積為釘身與釘帽體積之和，其中釘身長度為20，底面圓半徑為，釘帽是以半徑的半球.
所以.
所以，解得，滿足條件.
所以釘身的長度為.
25．如圖，在三棱柱中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面為菱形，點(diǎn)在底面上的投影為AC的中點(diǎn)D，且.

(1)若M、N分別為棱AB、的中點(diǎn)，求證：；
(2)求點(diǎn)C到側(cè)面的距離；
(3)在線段上是否存在點(diǎn)E，使得直線DE與側(cè)面所成角的正弦值為？若存在，請(qǐng)求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在，且

【分析】（1）由已知利用中位線性質(zhì)分別得出且，與且，證明四邊形為平行四邊形，即，即可證明結(jié)論；
（2）由已知結(jié)合投影性質(zhì)與等腰直角三角形性質(zhì)，證明直線DB，DC，兩兩垂直，并得出需要線段長，再建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量與，即可代入公式求解答案；
（3）假設(shè)存在，并設(shè)出關(guān)系，得到，再由向量運(yùn)算得到，即可由線面角公式結(jié)合已知列式求解.
【解析】（1）證明：連接MD，

為AB的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)，
且，
為的中點(diǎn)，
則在三棱柱中，且，
且，
四邊形為平行四邊形，
，
平面CDN，且平面CDN，
；
（2）點(diǎn)在底面上的投影為AC的中點(diǎn)D，
平面ABC，
且，
底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，
，
側(cè)面為菱形，且，
，
，
，且，
直線DB，DC，兩兩垂直，
故以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DB，DC，分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，
則，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，
取，則，
則點(diǎn)C到側(cè)面的距離為：
，
（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E，并設(shè)，，
則，
直線DE與側(cè)面所成角的正弦值為，
，
解得，，則，
故存在滿足條件的點(diǎn)E，且，
26．如圖所示，已知球的半徑為，在球的表面上有三點(diǎn)、、，且、、、四點(diǎn)不共面，．

(1)若⊥平面，求球心到平面的距離；
(2)若CO⊥平面，一個(gè)經(jīng)過點(diǎn)、、的球也經(jīng)過點(diǎn)，求球的表面積；
(3)若線段上存在一點(diǎn)，使得，求三棱錐體積的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）用等體積法即可求解（2）確定球心的位置之后，運(yùn)用解三角形的知識(shí)即可求解（3），要求三棱錐體積的最大值，需求的最大值，設(shè)，用表示出，即可求解
【解析】（1）（1）設(shè)球心到平面的距離為，
在中
因?yàn)椤推矫?，所以⊥，⊥?br /> 所以，

如圖，取中點(diǎn)，連接，則
在中
所以；
因?yàn)?，所以，解得?br /> （2）（2）
設(shè)在平面的投影為，則為的外心，設(shè)的外接圓半徑為
由正弦定理得，所以
所以，
又因?yàn)椋试谏系耐队盀橹悬c(diǎn)，，
所以，
球的表面積為．
（3）（3），，，．
設(shè)，，
記到的距離為，則，
，
令，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，且平面⊥平面時(shí)等號(hào)成立．
27．如圖1，在梯形中，，，，，，線段的垂直平分線與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形沿折起，使，分別到點(diǎn)，的位置，得到幾何體，如圖2所示．

(1)判斷線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面，若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．
(2)若，求平面與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)存在，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)
(2)．

【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，先證明平面，再證平面，由面面平行判定定理證明；
（2）先證明，再以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.
【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面平面．
證明如下：由題易知，，，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，
因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面?br /> 連接，因?yàn)?，，所以四邊形是平行四邊形?br /> 所以，且，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，
因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br /> 因?yàn)槠矫?，平面，?br /> 所以平面平面．
（2）因?yàn)?，?br /> 所以，所以，
又，，所以，，兩兩垂直．
故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
所以，，．
設(shè)平面的法向量為，
則，即，得，取，得．
設(shè)平面的法向量為，則，即，
取，得．
設(shè)平面與平面所成角為，
則，
所以，
所以平面與平面所成角的正弦值為．
28．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)M是正方體的中心，將四棱錐繞直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到四棱錐．

(1)若，求證：平面平面；
(2)是否存在，使得直線平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)不存在，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)面面平行的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）假設(shè)存在，使得直線平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面平面的法向量，則求出的坐標(biāo)，由可得，此方程組無解，即可得出結(jié)論.
【解析】（1）證明：若，則平面、平面為同一個(gè)平面，
連接，則M是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，

故是的中位線，所以．
因?yàn)?，所以平面四邊形是平行四邊形，所以?br /> 又平面平面，所以平面
同理平面，且平面平面，
所以，平面平面．
（2）假設(shè)存在，使得直線平面．
以C為原點(diǎn)，分別以為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，故．
設(shè)是平面的法向量，則，
所以，取，得是平面的一個(gè)法向量，

取中點(diǎn)P，中點(diǎn)Q，連接，
則．
于是是二面角的平面角，是二面角的平面角，
是二面角的平面角，于是，
所以，且平面，
故，同理，
所以，
因?yàn)椋?br /> ，
所以．
若直線平面，是平面的一個(gè)法向量，則．
即存在，使得，則，此方程組無解，
所以，不存在，使得直線平面．
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答第二問是否存在，使得直線平面，要發(fā)揮空間想象，明確點(diǎn)線面的位置關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系后，難點(diǎn)在于確定，并結(jié)合三角恒等變換化簡，從而結(jié)合向量的共線的坐標(biāo)表示，判斷結(jié)論.
29．《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，且，過棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接

(1)證明：．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由；
(2)記陽馬的體積為，四面體的體積為，求的值；
(3)若面與面所成二面角的大小為，求的值．
【答案】(1)證明見解析，是鱉臑，四個(gè)面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB
(2)4
(3)

【分析】（1）由直線與直線，直線與平面的垂直的轉(zhuǎn)化證明得出PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF，即可判斷DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，確定直角即可；
（2）PD是陽馬P?ABCD的高，DE是鱉臑D?BCE的高，BC⊥CE，，由此能求出的值．
（3）根據(jù)公理2得出DG是平面DEF與平面ACBD的交線．利用直線與平面的垂直判斷出DG⊥DF，DG⊥DB，根據(jù)平面角的定義得出∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，轉(zhuǎn)化到直角三角形求解即可．
【詳解】(1)因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
由底面ABCD為長方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，
所以BC⊥平面PCD．而DE?平面PDC，所以BC⊥DE．
又因?yàn)镻D＝CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DE⊥PC．
而PC∩CB＝C，所以DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，所以PB⊥DE．
又PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF．
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，
即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑，
其四個(gè)面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB；
(2)由已知，PD是陽馬P?ABCD的高，
∴，
由（Ⅰ）知，，
在Rt△PDC中，∵PD＝CD，
點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，
∴，
∴．
(3)如圖所示，

在面BPC內(nèi)，延長BC與FE交于點(diǎn)G，則DG是平面DEF與平面ABCD的交線．
由（1）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．
又因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB＝P，所以DG⊥平面PBD．
所以DG⊥DF，DG⊥DB
故∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，
設(shè)PD＝DC＝1，BC＝λ，有，
在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得，
則，解得．
所以
故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為時(shí)，


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