? 猜題15 第17-18題 解三角形（上海精選歸納）
一、解答題
1．（2021秋·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，已知，．
(1)若，求的面積．
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根據(jù)余弦定理和面積公式求解；
(2)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，余弦定理和正弦定理即可.
【解析】（1）由余弦定理得，解得，
所以；
（2）因?yàn)?，由正弦定理得，又?br /> 所以，，所以，，為銳角，
所以．
由余弦定理得，又，，
所以，得，解得．
由正弦定理得，所以.
2．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C對(duì)應(yīng)邊為a，b，c，其中．
(1)若，且，求邊長(zhǎng)c；
(2)若，求的面積．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變換的知識(shí)求得.
（2）利用正弦定理、兩角和的正弦公式以及三角形的面積公式求得正確答案.
【解析】（1）依題意，，
由正弦定理得，即，
，
由于，所以，則，
由正弦定理得.
（2）依題意，，
由正弦定理得，
由于，，所以，
由于，所以為銳角，所以，
則，
，
由正弦定理得，
所以.
3．（2022·上海金山·統(tǒng)考一模）在中，設(shè)角所對(duì)的邊分別為，且.
(1)求；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，再由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)即可；
（2）由得，因?yàn)?，兩方程?lián)立結(jié)合均值不等式即可得出答案.
【解析】（1）由，
得
即，
從而，
由，得.
（2）由得，
從而，即
又因?yàn)?，?br /> 所以，即，
從而，
而，故
解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的最大值為.
4．（2022·上海虹口·統(tǒng)考一模）設(shè)的內(nèi)角 所對(duì)的邊分別為 ，已知．
(1)求角A；
(2)若，求證：是直角三角形．
【答案】(1)
(2)證明見解析．

【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，化簡(jiǎn)，即可求得答案；
（2）利用正弦定理邊化角可得，結(jié)合兩角和差的正余弦公式化簡(jiǎn)，求值，可得答案.
【解析】（1）由條件，得，
即，亦即，
故，因?yàn)?，所以?br /> （2）證明：由正弦定理及得，
由（1）知，故，于是，
則，即，
因，故，又，
從而，
所以，則，
因此是直角三角形．
5．（2022·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考一模）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c；
(1)若△ABC的面積，求B；
(2)若，求；
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用三角形面積公式及余弦定理，通過化簡(jiǎn)整理可求出，即可求出角的值；
（2）首先由根據(jù)正弦定理得，利用角的余弦定理得，最后聯(lián)立方程組，解方程組即可求出的值.
【解析】（1）已知，化簡(jiǎn)得，
即得，又，故.
（2）已知，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
由，得，即，
由，解得.
故得.
6．（2023秋·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？计谀┰阡J角中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，且，.
(1)求角的大??；
(2)求面積的取值范圍.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先利用余弦定理求出邊，再利用正弦定理求出，最后結(jié)合銳角三角形求解即可；
（2）先利用三角形的面積公式得到，再利用正弦定理得，最后結(jié)合角的范圍及函數(shù)的值域問題求解即可.
【解析】（1）由,
根據(jù)余弦定理可得，化簡(jiǎn)得，
由正弦定理，可知，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以.
（2）由.
由正弦定理得，
因?yàn)闉殇J角三角形，
所以，解得，
則，，
故，
即面積的取值范圍為.
7．（2022·上海松江·統(tǒng)考一模）在三角形中，內(nèi)角，，所對(duì)邊分別為，，，已知；
(1)求角的大??；
(2)若，三角形的面積為，求三角形的周長(zhǎng)；
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理得，代入化簡(jiǎn)可得.
（2）利用面積公式可得，，再根據(jù)余弦定理求解進(jìn)而可得邊長(zhǎng).
【解析】（1）在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，，可得．又因?yàn)椋傻茫?br /> （2）由題意，，故，即，故，由余弦定理，解得.
故三角形的周長(zhǎng)為
8．（2022秋·上海靜安·高三上海市新中高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎闹荛L(zhǎng)為 且.
(1)求的長(zhǎng);
(2)若的面積為，求角的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化得，又的周長(zhǎng)為，即可求邊的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)的面積為，可得的值，再利用余弦定理即可求.
【解析】（1）解：根據(jù)題意由正弦定理得，
因?yàn)椋?br /> 所以，解得.
（2）解：因?yàn)椋?br /> 所以，又，
由余弦定理得，
又因?yàn)?，所?
9．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，滿足．
(1)當(dāng)A為何值時(shí)，函數(shù)取到最大值，最大值是多少？
(2)若等于邊AC上的高h(yuǎn)，求的值．
【答案】(1)時(shí)，取得最大值，最大值為2；
(2).

【分析】（1）由余弦定理求出，對(duì)恒等變形得到，利用整體法求解出最大值；
（2）先利用三角形面積公式和正弦定理得到，再使用和差化積等得到，解方程求出：或，舍去不合要求的解，求出答案.
【解析】（1）由得：，
因?yàn)?，所以?br />

，
因?yàn)?，所以?br /> 所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為2；
（2）由（1）知：，
由三角形面積公式得：，
從而，由正弦定理得：，
因?yàn)?，所以?br /> 由和差化積得：，
因?yàn)?br /> ，
所以，
故，解得：或，
因?yàn)椋?br /> 所以.
10．（2022秋·上海黃浦·高三上海市光明中學(xué)?？计谥校┰谥?，角的對(duì)邊分別為.
(1)求角；
(2)若的外接圓半徑為2，求面積的最大值.
【答案】(1)
(2)最大值為

【分析】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)求解，
（2）由正余弦定理，面積公式與基本不等式求解
【解析】（1）由正弦定理得，因?yàn)椋?，?
.因?yàn)?所以，
（2）根據(jù)正弦定理得，解得
根據(jù)余弦定理得.
由基本不等式得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)，所以面積的最大值為.
11．（2022秋·上海長(zhǎng)寧·高三上海市延安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知中，，點(diǎn)D滿足.
(1)求與面積之比；
(2)若，，求邊BC長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)3

【分析】（1）由可知，即可求得與面積之比.
（2）由與面積之比可求得，再通過余弦定理即可求得.
【解析】（1）因?yàn)椋?br /> 所以，即，
即，即，
所以.
（2）由，且，
可得，即或（舍），
所以，因?yàn)?，所以?br /> 在中由余弦定理得：，而，
解得：.
所以.
12．（2022秋·上海楊浦·高三同濟(jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，且.
(1)求角A的值；
(2)若，且的面積為，求.
【答案】(1)；
(2)．

【分析】（1）由誘導(dǎo)公式、二倍角公式，變形可求得，從而得角
（2）由三角形面積公式求得，由兩角和余弦公式求得，利用正弦定理求得三角形外接圓半徑，從而再由正弦定理求得．
（1）
，
，，，，，所以；
（2）
由題意，，
由（1）， ，即，又，所以，
由（是外接圓半徑），得，，
所以由，得．
13．（2022秋·上海楊浦·高三同濟(jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知中，三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，外接圓半徑，
(1)求的大??；
(2)求面積的最大值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)正弦定理，進(jìn)行角化邊，整理等式，結(jié)合余弦定理，可得答案；
（2）由（1），根據(jù)正弦定理，可得邊的長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理以及基本不等式，可得的最值，根據(jù)三角形面積公式，可得答案.
（1）
由正弦定理，可得，
代入，可得，
，，
由余弦定理，，由，則.
（2）
由（1）可得，則，
由余弦定理，可得，則，
由基本不等式，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，
的面積，故的面積的最大值為.
14．（2022秋·上海寶山·高三上海交大附中?？奸_學(xué)考試）在中，已知.其中為內(nèi)角，它們的對(duì)邊分別為.
(1)判斷的形狀
(2)若，求的面積.
【答案】(1)等腰三角形
(2)

【分析】（1）由正弦定理與三角恒等變換求解即可；
（2）由余弦定理與三角形面積公式求解即可
（1）
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
所以，
即，
因?yàn)椋?br /> 所以，
即，
所以，
所以，即，
所以是等腰三角形；
（2）
由（1）可知，
又，
所以，
所以，
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以
15．（2022秋·上海嘉定·高三?？计谥校┯浀膬?nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．
(1)求的面積；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【解析】（1）由題意得，則，
即，由余弦定理得，整理得，則，又，
則，，則；
（2）由正弦定理得：，則，則，.

16．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、.已知，且為銳角.
(1)求角的大小；
(2)若，證明：是直角三角形.
【答案】(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）利用正弦定理邊化角可解得，再由為銳角即可求解（2）利用正弦定理邊化角之后再消元，可得，再結(jié)合的范圍即可得證
【解析】（1）由正弦定理可知，，

又在中，，即，
為銳角，.
（2）
所以由正弦定理得：，
又，
即，
，
故可得，
即
為直角三角形.
17．（2022·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考二模）在中，角的對(duì)邊分別為．
(1)若，求
(2)若， 的面積，求外接圓半徑的最小值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)正弦定理與余弦定理化簡(jiǎn)即可
（2）根據(jù)三角形的面積公式可得，再根據(jù)基本不等式可得，再根據(jù)正弦定理求解即可
【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理，，所以，因?yàn)?，所?br /> （2）由已知，，所以，????????????????????????????????
所以????
因?yàn)?br /> 所以（當(dāng)時(shí)取等號(hào)）?????????
所以
所以的最小值為（當(dāng)時(shí)取得）
18．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若，，求a，c．
【答案】(1)；
(2)，.

【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)即得解；
（2）求出再利用正弦定理得解.
（1）
解：因?yàn)?，所以?br /> 由正弦定理得，
所以，
所以，
即．
因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)椋裕?br /> （2）
解：若，，則．
則．
由正弦定理，得，
解得，．
19．（2022春·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？计谥校┰谄矫嫠倪呅沃?，已知，，平分.
(1)若，，求四邊形的面積；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)正弦定理與面積公式求解
（2）根據(jù)正弦定理與三角比有關(guān)知識(shí)求解
【解析】（1），則，
在中，由正弦定理可知，則，
則.

（2）設(shè)，在中，由正弦定理可知，即，即，在中，由正弦定理可知，即，
即，即，則，解得.
20．（2022秋·上海浦東新·高三上海師大附中?？茧A段練習(xí)）已知等腰三角形ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，c(c＋b)＝(a＋b)(a－b)．
(1)求A和b；
(2)若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC(含端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn)，且BF＞BE，在運(yùn)動(dòng)過程中始終有，求△EAF面積的最小值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理結(jié)論，結(jié)合，可求得；利用余弦定理結(jié)合即可求得A,從而求得b.
（2）利用（1）中的結(jié)論，分別在三角形和三角形中利用正弦定理，結(jié)合三角形面積公式，即可解出答案.
（1）
由正弦定理得：即： (R為三角形ABC的外接圓半徑)，
故 ，
由 得： ，
則 ，因?yàn)?，故 ；
由等腰三角形ABC可得 ，故 ；
（2）
由（1）知： ，
由點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC(含端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn)，且BF>BE，在運(yùn)動(dòng)過程中始終有 ，
知點(diǎn)在點(diǎn)的左邊,如圖：

設(shè) ，不變，可知,
在中，由正弦定理可得，
，
在中，由正弦定理可得，
，
故
，，
，
三角形的面積的最小值為，此時(shí)．
21．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）在，角所對(duì)的邊分別為，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
【答案】（I）；（II）；（III）
【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；
（II）由余弦定理即可計(jì)算；
（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.
【解析】（I）因?yàn)?，由正弦定理可得?br /> ，；
（II）由余弦定理可得；
（III），，
，，
所以.
22．（2020秋·上海徐匯·高三位育中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，．
（1）求的值：
（2）若，，求在方向上的投影．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用二倍角的余弦公式以及兩角差的正弦公式將已知式化簡(jiǎn)，即可得到的值；
（2）先利用余弦定理求出，也即是，再根據(jù)投影的定義，求在方向上的投影，其中需要注意的是和的夾角是的補(bǔ)角.
【解析】解：（1）由
可得，
即，
即，
（2）由余弦定理可知，
解得，（舍去）．
向量在方向上的投影：．
23．（2022·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且．
（1）求角C的大?。?br /> （2）若，且邊上的中線，求的面積．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，求得的值，進(jìn)而求得的大小.
（2）利用得到，利用余弦定理求得，由此求得三角形的面積.
【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理，得，所以．所以?br /> 又因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所?br /> （2）因?yàn)椋?，得?br /> 又因?yàn)?，所以，所以?br /> 24．（2022秋·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學(xué)?？奸_學(xué)考試）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)14

【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.
【解析】（1）證明：因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因?yàn)椋?br /> 由（1）得，
由余弦定理可得，
則，
所以，
故，
所以，
所以的周長(zhǎng)為.

25．（2022春·上海虹口·高三上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知以角B為鈍角的的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，，，且.
(1)求角B的大小；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用，結(jié)合正弦定理，求出，為鈍角，所以.
（2）化簡(jiǎn)，由（1）知，，，即可確定的取值范圍，
（1）
因?yàn)?，所以，得：，由正弦定理化?jiǎn)得：，所以，為鈍角，所以.
（2）
因?yàn)椋?br /> 由（1）知，，，，故的取值范圍是.
26．（2022春·上海奉賢·高三上海市奉賢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.
(1)若，，的外接圓半徑為，，求的大??；
(2)若，，，求邊的長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，從而求得的大小.
（2）結(jié)合正弦定理、余弦定理求得邊的長(zhǎng).
（1）
依題意，
由正弦定理得，
，，
，
由于，，
所以.
（2）
由正弦定理得，
，
由余弦定理得，
，解得或.
27．（2021秋·上海浦東新·高三?？奸_學(xué)考試）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.
（Ⅰ）若，的面積為6，求；
（Ⅱ）若，求.
【答案】（1）；（2）
【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理可得，進(jìn)而可求，利用三角形的面積公式即可求得的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，結(jié)合已知由余弦定理可得，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，利用二倍角公式可求，的值，進(jìn)而根據(jù)兩角差的正弦公式即可計(jì)算求解．
【解析】解：（Ⅰ），
，
由正弦定理可得，
又，
，
的面積為，
解得：．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
又，
由余弦定理可得，
，
，，，
．
28．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）在中，已知.
（1）若外接圓的直徑長(zhǎng)為，求的值；
（2）若為銳角三角形，其面積為6，求的取值范圍．
【答案】（1）6；（2）．
【解析】由三角形內(nèi)角求得，
（1）由正弦定理可得；
（2）由三角形面積得，利用正弦定理可把用表示為，這樣只要求得的范圍即可．，展開后應(yīng)用二倍角公式，輔助角公式化為形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得范圍，其中可求得．
【解析】（1）由已知，又，∴，，
由解得，，
由正弦定理得，∴．
（2）由（1），，則，∴．
由正弦定理得，，，，
，其中且為銳角，
，
∴時(shí)，，，
時(shí)，，，
∴的范圍是．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正弦定理，三角形面積公式，考查三角函數(shù)的恒等變換．關(guān)鍵是由正弦定理用角表示出邊，再利用三角函數(shù)性質(zhì)得出邊的范圍．
29．（2022·上海·高三專題練習(xí)）在中，設(shè)角、、所對(duì)應(yīng)的邊分別為、、，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，且．
（1）求的值；
（2）若， ，求的面積．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）根據(jù)題意和正弦定理化簡(jiǎn)得，進(jìn)而得到，即可求解；
（2）由余弦定理列出方程，求得，進(jìn)而求得，再結(jié)合點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，即可求解.
【解析】（1）因?yàn)椋?br /> 由正弦定理得，
又因?yàn)椋?br /> 所以，
因?yàn)?，所以，所以?br /> 又，所以.
（2）由余弦定理得，解得，
所以，
因?yàn)辄c(diǎn)是邊的中點(diǎn)，所以．
【點(diǎn)睛】對(duì)于解三角形問題，通常利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求解，同時(shí)注意利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式在解題中的應(yīng)用.
30．（2021秋·上海長(zhǎng)寧·高三上海市延安中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四邊形中，為的內(nèi)角的對(duì)邊，且滿足

（1）證明：；
（2）若，且，設(shè)，當(dāng)變化時(shí)，求四邊形面積的最大值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】（1）由已知條件化簡(jiǎn)可得，再由正弦定理可得；
（2）由條件和（1）的結(jié)論可得為等邊三角形，利用，結(jié)合輔助角公式，可得平面四邊形OACB面積的最大值．
【解析】（1）因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
所以，即，
由正弦定理得；
（2）因?yàn)?，所以?br /> 所以為等邊三角形，
由余弦定理得，
所以
，
因?yàn)椋裕?br /> 所以當(dāng)即時(shí)，四邊形面積取得最大值.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查正弦定理和余弦定理解三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是由余弦定理得到，從而可得，將四邊形的面積表示成角的三角函數(shù)，屬于中檔題.
31．（2021·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．
（1）求角的大??；
（2）若，，依次成等比數(shù)列，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，再利用兩角差的余弦公式進(jìn)一步化簡(jiǎn)可求得，從而求得角B；（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再利用正弦定理進(jìn)行邊化角，帶入通分后的式子即可得解.
【解析】（1）由正弦定理得，
又中，，故，
即，化簡(jiǎn)得，
又，所以角的大小為．???????
（2）由，，依次成等比數(shù)列得，由正弦定理得，
故．
【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、兩角差的余弦公式，屬于中檔題.
32．（2018春·上海·高三上海市七寶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知的頂點(diǎn)分別為，，．
(1)若，，，求的值；
(2)若虛數(shù)是實(shí)系數(shù)方程的根，且是鈍角，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)且．

【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)，可作圖，利用方格圖，在構(gòu)造的直角三角形中，利用三角函數(shù)定義，可得答案；
（2）根據(jù)一元二次方程的根的性質(zhì)，以及余弦定理，可得答案.
【解析】（1）（1）因?yàn)?，，，所以，，?br /> 所以，，，
如圖，因?yàn)椋裕?br />
（2）將代入得，
展開得，即，
解得（舍去）或（舍去）或，
所以，，，則，．
因?yàn)槭氢g角，所以且，，三點(diǎn)不共線，
即且，
解得且．
33．（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）在中，滿足 ．
（1）求；
（2）設(shè)，求的值.
【答案】（1） （2）1或
【分析】（1）先利用平方關(guān)系將余弦化為正弦，再結(jié)合正余弦定理化簡(jiǎn)可得C.
（2）由（1）結(jié)合兩角和與差的余弦公式及同角基本關(guān)系式將已知化簡(jiǎn)整理成關(guān)于正切的二次方程，解之即可.
【解析】（1）∵，，∴變形為，
即，
利用正弦定理可得：，由余弦定理可得cosC=，即C=.
（2）由（1）可得cos（A+B）=，A+B=，
又cosAcosB=，可得，
同時(shí)cos（）cos（）=，
∴
=
=
=-=，
∴，
∴或4.
【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理的應(yīng)用，考查了兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，考查了利用同角基本關(guān)系式處理齊次式的技巧，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力及邏輯推理能力，屬于難題.
34．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知A、B、C為的三內(nèi)角，且其對(duì)邊分別為a、b、c，若，，且．
（1）求角A的值；
（2）若的周長(zhǎng)為，面積為，求a的值．
【答案】（1）；（2）；
【分析】（1）三角恒等變換、誘導(dǎo)公式可得，，再利用向量數(shù)量積公式運(yùn)算可得，得解；
（2）由三角形周長(zhǎng)及三角形面積可得，，再利用余弦定理運(yùn)算即可得解.
【解析】解：（1）因?yàn)椋?br /> ， ，
則 ，
即 ,又，故；
（2）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，?br /> 又 的周長(zhǎng)為，所以，由三角形面積為，所以 即，所以
故.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換、誘導(dǎo)公式，向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了余弦定理及三角形面積公式，屬中檔題.
35．（2021秋·上海普陀·高三曹楊二中?？计谥校┮阎瘮?shù).
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；
(2)設(shè)方程在上的兩個(gè)解為和（），求的值；
(3)在中，角??的對(duì)邊分別為??.若，，且，求的面積.
【答案】(1)最大值，最小值
(2)
(3)

【分析】（1）利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)即求；
（2）由題得，可解得，，再利用兩角差的余弦公式及二倍角公式即求；
（3）由題可求，再結(jié)合正余弦定理及面積公式即求.
(1)
由題意知，又，
故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值.
(2)
令，化簡(jiǎn)得，
解得或．
由于，故，．
于是．
令，則，
因此．
(3)
由題意知，
由于，解得．
在△中，由正弦定理知，
故，，
代入題目條件得
在△中，由余弦定理知，
將上式代入得，
解得，
因此△的面積．


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