?2023屆江西省鷹潭市高三二模數(shù)學（文）試題

一、單選題
1．設(shè)集合，集合，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)二次不等式與對數(shù)不等式分別求解集合，再求交集即可.
【詳解】，
，
故.
故選：B
2．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則是直線與直線平行的（????）條件
A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】由復(fù)數(shù)的除法及純虛數(shù)的概念求出，再由直線平行的充要條件判斷即可得解.
【詳解】是純虛數(shù)，
且，
解得，
此時與直線平行，
當時，且，解得.
所以是直線與直線平行的充要條件，
故選：A
3．在區(qū)間上隨機取值作為x，則的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，根據(jù)此函數(shù)在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)大于0，得出此函數(shù)在為增函數(shù)結(jié)論，根據(jù)的條件，可以得到符合條件x的取值范圍為，得到符合條件的區(qū)間長度與給定區(qū)間長度的比值就是所求的概率．
【詳解】令，，
，即函數(shù)在上為增函數(shù)，
題中所給等價于，
又因為，故在上符合要求的x的取值范圍為，
區(qū)間長度為4，區(qū)間長度為3，
故在區(qū)間上隨機取值作為x，
由幾何概型的概率公式得的概率為．
故選：C．
4．下列說法中正確的是（????）
A．“”是“”成立的充分不必要條件
B．命題，，則，
C．在研究成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系時，相關(guān)關(guān)系越強，相關(guān)系數(shù)r越接近于1
D．已知樣本點組成一個樣本，得到回歸直線方程，且，剔除兩個樣本點和得到新的回歸直線的斜率為3，則新的回歸方程為
【答案】D
【分析】對于A，利用特殊值進行排除；對于B，根據(jù)命題的否定定義進行判斷；對于C，相關(guān)關(guān)系越強，相關(guān)系數(shù)越接近于1；對于D，求出剔除兩個樣本點和得到新的樣本的平均數(shù)，再進行求解.
【詳解】對于A，滿足，但，所以“”不是“”成立的充分條件，故A錯誤；
對于B，命題，，則，，故B錯誤；
對于C，相關(guān)關(guān)系越強，相關(guān)系數(shù)越接近于1，當負相關(guān)時，相關(guān)系數(shù)r越接近于，相關(guān)關(guān)系越強，故C錯誤；
對于D，已知回歸直線方程，且，則，剔除兩個樣本點和，得到新的回歸直線的斜率為3，新樣本平均數(shù)，，則新的回歸方程為.故D正確.
故選：D.
5．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，，則（????）
A． B．4 C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意和等差數(shù)列等差中項的應(yīng)用可得、，利用余弦定理化簡計算即可求解.
【詳解】由，得，
由成等差數(shù)列，得，
由余弦定理，得，
即，
整理，得，由得，
由得.
則，，
所以，
故選：B.
6．已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列，若，為數(shù)列的前n項和，則的最小值為（????）
A． B．7 C． D．
【答案】B
【分析】由題意，，，成等比數(shù)列，可得，即可求出，代入，再結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)可求出答案.
【詳解】由于，，成等比數(shù)列，所以，
，
∴，
解得（負值舍去），
∴，∴，
所以，
由對勾函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，
所以當時，在時取得最小值為：，
又，所以在上的最小值為4，
所以的最小值為.
故選：B.
7．已知函數(shù)對任意，都有，以下關(guān)于的命題，正確的是（????）
A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
B．直線是函數(shù)圖像的一條對稱軸
C．點是函數(shù)圖像的一個對稱中心
D．將函數(shù)圖像向右平移個單位，可得到的圖像
【答案】C
【分析】先求，然后結(jié)合選項逐一驗證，對稱軸、對稱中心也可以代入檢驗.
【詳解】因為
可得，
對于選項A，令得，
令，可得在上單調(diào)遞增，
同理可求在上單調(diào)遞減，A不正確；
對于選項B，當時，，所以直線不是函數(shù)圖像的對稱軸，B不正確；
對于選項C，當時，，所以點是函數(shù)圖像的一個對稱中心，C正確；
對于選項D，將函數(shù)圖像向右平移個單位，可得到的圖像，D不正確.
故選：C.
8．已知定義在上的函數(shù)滿足，若，則（????）
A． B． C．3 D．2
【答案】D
【分析】依題意可得，從而得到，即可得到是以為周期的周期函數(shù)，根據(jù)周期性及所給條件計算可得.
【詳解】因為，所以，
所以，即，
所以，即是以為周期的周期函數(shù)，
又，所以.
故選：D
9．已知雙曲線的兩焦點分別是，，雙曲線在第一象限部分有一點P，滿足，若圓與三邊都相切，則圓的標準方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先證明△為直角三角形，，結(jié)合雙曲線的定義即可求出內(nèi)切圓的半徑和圓心，從而可得答案
【詳解】由雙曲線的兩焦點分別是，，雙曲線在第一象限部分有一點，
，，
，
，，
，
，且，
，，
△為直角三角形，，
設(shè)內(nèi)切圓的圓心為的坐標為，半徑為，
，
解得，，

所以，
故圓的標準方程為，
故選：A．

【點睛】本題考查了雙曲線的定義與簡單性質(zhì)和三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，考查的圓的標準方程，考查了運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.
10．已知拋物線，其焦點為F，準線為l，過焦點F的直線交拋物線C于點A，B（其中A在x軸上方），A，B兩點在拋物線的準線上的投影分別為M，N，若，，則（????）
A． B．2 C．3 D．4.
【答案】A
【分析】根據(jù)拋物線的定義可得，利用直角三角形可求出，由面積等積法求出.
【詳解】如圖，

由題意知，，，則,
由軸，可知，則，
，，，
.
故選：A.
11．已知正四棱臺的上下底面邊長分別為4，6，高為，E是的中點，則下列說法正確的個數(shù)是（????）

①正四棱臺的體積為；②平面平面；③平面；④正四棱臺的外接球的表面積為
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】對于①直接用棱臺體積公式計算即可判定；對于②先證BD⊥平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；對于③取的中點F，連接AF，EF，，連接AG，先證四邊形是平行四邊形，易得GA平面，EF平面，根據(jù)面面平行判定定理可證平面平面，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可證明AE平面；對于④：分球心在正四棱臺內(nèi)、外兩種情況討論，且球心必在上或的延長線上，再利用勾股定理列出關(guān)于球半徑的方程即可求解.
【詳解】依題意，
對于①，正四棱臺的體積為，故①錯誤；

對于②，易知BD⊥AC，BD⊥，又，
平面，平面，
則BD⊥平面，又BD平面，
所以平面⊥平面，故②正確；
對于③，取的中點F，連接AF，EF，
，連接AG，

所以EF，又因為E是的中點，
所以，所以G是的中點，
因為,所以，
又，所以，又因為，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，又GA?平面，?平面，
所以GA平面，因為BD，所以EFBD，
EF?平面，BD?平面，所以EF平面，
因為EF∩AG＝G，所以平面平面，
因為AE?平面AEF，所以AE平面，
故③正確；
對于④，連接AC、BD相交于，連接，相交于，

如果外接球的球心O在正四棱臺的內(nèi)部，
則O在上，，
因為上下底面邊長分別為4，6，
所以，，
設(shè)外接球O的半徑為R，
所以，
即，無解，
所以外接球的球心O在正四棱臺的外部，如圖：

則O在延長線上，，
因為上下底面邊長分別為4，6，
所以，，
設(shè)外接球O的半徑為R，所以，
即，解得＝26，
所以正四棱臺的外接球的表面積為4π＝104π，故④正確；
故選：C．
【點睛】方法點睛：證明線面、面面的平行垂直關(guān)系時，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為線與線的平行垂直關(guān)系，常用的方法有：平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線、對角線、勾股定理以及向量法等；外接球問題，根據(jù)幾何圖形的對稱性確定球心是關(guān)鍵，熟悉常見外接球的模型可以提升解題速度.
12．已知f(x)=，若關(guān)于的方程恰好有 4 個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為
A． B．（） C． D．（0，）
【答案】B
【分析】由方程可解得f（x）＝1或f（x）＝-m﹣1；從而可得方程f（x）＝-m﹣1有3個不是0的根；再分析函數(shù)f（x）的單調(diào)性及大致圖像即可．
【詳解】解方程得，
f（x）＝1或f（x）＝-m﹣1；
解f（x）＝1得x＝0，
故方程f（x）＝-m﹣1有3個不是0的根；
當x≥1時，
f（x），f′（x）；
故f（x）在（1，e上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減；
f（1）＝0，f（e），且x>1時，；
當x＜1時，
f（x）＝在（﹣∞，1）上是減函數(shù)；故f（x）的大致圖像如下：

故若使方程f（x）＝-m﹣1有3個不是0的根，
則0＜-m﹣1；
即m＜-1；所以實數(shù)的取值范圍為（），
故選B．
【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，研究函數(shù)零點的分布情況，考查了數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．

二、填空題
13．已知非零向量，滿足，且，則，的夾角為______．
【答案】
【分析】先根據(jù)求出，利用數(shù)量積夾角公式可得答案.
【詳解】設(shè)向量，的夾角為，
∵，且，
∴，∴，又，∴.
故答案為：
14．已知函數(shù)，則在處的切線方程為________.
【答案】
【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后令，求出的值，代入原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)中，再計算出的值，再利用點斜式求出直線方程.
【詳解】解：由，得，
令，則，解得，
所以，，
所以 ，
所以所求的切線方程為，即
故答案為：
【點睛】此題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程，屬于基礎(chǔ)題.
15．斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線．它的畫法是：以斐波那契數(shù)：1，1，2，3，5，…為邊的正方形拼成長方形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為90°的扇形，連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．下圖為該螺旋線的前一部分，如果用接下來的一個扇形做圓錐的側(cè)面，則該圓錐的體積為______．

【答案】
【分析】先判斷接下來扇形的半徑，再求其圍成圓錐的底面半徑和高，最后代入求體積即可.
【詳解】接下來的一個扇形半徑為，故圍成的圓錐母線長為，
因為扇形的圓心角為90°，所以其弧長為，也即底面圓周長，
所以底面圓半徑為，則圓錐的高為，
所以圓錐的體積為

故答案為：+
16．已知等差數(shù)列滿足：，，數(shù)列的前n項和滿足，則數(shù)列的前n項和________.
【答案】
【分析】根據(jù)題意求出，再由與的關(guān)系求通項公式，再由錯位相減法求即可得解.
【詳解】因為，，所以，
所以，
因為，所以，
兩式相減可得，，即，
又，可得，
所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
故，
令，
，
，
兩式相減得：



.
故答案為：

三、解答題
17．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)，.
(1)求；
(2)若D是AC邊上的中點，，求.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，化簡由同角三角函數(shù)基本關(guān)系得解；
（2）由余弦定理求出，再由，利用三角形面積公式得解.
【詳解】（1），，
，
由正弦定理得，
又，，.
A為銳角， .
（2）設(shè)，
在中，，，
，又D為AC的中點，，
在中，，
即
解得??所以 ，
由，得 ，
解得 .
18．某公司為了對某種商品進行合理定價，需了解該商品的月銷售量（單位：萬件）與月銷售單價（單位：元/件）之間的關(guān)系，對近6個月的月銷售量和月銷售單價數(shù)據(jù)進行了統(tǒng)計分析，得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示：
月銷售單價（單位：元/件）
4
5
6
7
8
9
月銷售量（萬件）
89
83
82
79
74
67
(1)若用線性回歸模型擬合與之間的關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位實習員工求得回歸直線方程分別為：，和，其中有且僅有一位實習員工的計算結(jié)果是正確的.請結(jié)合統(tǒng)計學的相關(guān)知識，判斷哪位實習員工的計算結(jié)果是正確的，并說明理由；
(2)已知該商品的月銷售額為（單位：萬元），利用（1）中的計算正確的結(jié)果回答問題：當月銷售單價為何值時，啇品的月銷值額預(yù)報值最大，并求出其最大值.
【答案】(1)甲，理由見解析
(2)時，商品的月銷售額預(yù)報值最大，最大值為萬元

【分析】（1）首先由數(shù)據(jù)可得，負相關(guān)，排除乙，再計算樣本中心點，代入方程檢驗即可；
（2）由題意知，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【詳解】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)知，負相關(guān)，故排除乙，
又，，
由，可得過點，
由，可得不過點，
所以甲滿足，丙不滿足，故甲計算正確.
（2）根據(jù)題意
，
當時有最大值，
故當時，商品的月銷售額預(yù)報值最大，最大值為萬元.
19．如圖（1）所示，已知四邊形SBCD是由和直角梯形ABCD拼接而成的，其中.且點A為線段SD的中點，，.現(xiàn)將沿AB進行翻折，使得二面角的大小為，得到圖形如圖（2）所示，連接SC，點E，F(xiàn)分別在線段SB，SC上.

(1)證明：；
(2)若三棱錐的體積為四棱錐體積的，求點E到平面ABCD的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）根據(jù)二面角的大小為，得到，再由，得到平面ABCD，進而得到，易證，然后利用線面垂直的判定定理證明；
（2）設(shè)點E到平面ABCD的距離為h，由且求解.
【詳解】（1）證明：因為梯形ABCD為直角梯形，且，
所以為二面角的平面角，
又二面角的大小為，
所以，即，
又，且，平面ABCD，平面ABCD，
所以平面ABCD，又平面ABCD，
所以；
在直角梯形ABCD中，，，，
所以，
所以，又，
所以，即；
又，平面SAC，平面SAC，
所以平面SAC， 又平面SAC，
所以；
（2）設(shè)點E到平面ABCD的距離為h，因為且 ，
故，
，
所以E點到平面ABCD的距離為.
20．已知橢圓：（），四點，，，中恰有三點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)直線不經(jīng)過點且與橢圓相交于，兩點，線段的中點為，若，試問直線是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過定點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.
【答案】(1)
(2)直線恒過定點，定點坐標為

【分析】(1)根據(jù)題意橢圓過點P2、、，代入橢圓方程列出方程組，解之即可求解；
(2)根據(jù)角、線段之間的數(shù)量關(guān)系可得，設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理和平面向量的坐標表示可得，求出m的值，即可得出直線恒過的定點.
【詳解】（1）由于，兩點關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過，兩點.
又由知，C不經(jīng)過點P1，所以點P2在C上.
因此解得
故C的方程為.
（2）在中，，，
所以，從而，
又為線段的中點，即，所以，
因此，從而，
根據(jù)題意可知直線的斜率一定存在，設(shè)它的方程為，，，
聯(lián)立消去得①，
，
根據(jù)韋達定理可得，，
所以

所以，
整理得，解得或
又直線不經(jīng)過點，所以舍去，
于是直線的方程為，恒過定點，
該點在橢圓內(nèi)，滿足關(guān)于的方程①有兩個不相等的解，
所以直線恒過定點，定點坐標為.
21．已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)設(shè)函數(shù)有兩個極值點，證明：．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析

【分析】（1）先求出定義域，再求導(dǎo)，根據(jù)確定或，再對進行分類討論，討論求出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）對求導(dǎo)，結(jié)合的極值點個數(shù)得到在上有兩個不等實根，得到，，，表達出，只需證，構(gòu)造，，研究其單調(diào)性，求出，由對勾函數(shù)的單調(diào)性證明出結(jié)論.
【詳解】（1）定義域為，且
，
令得，或，
①當時，與，，單調(diào)遞增，
，，單調(diào)遞減，
②當時，，在單調(diào)遞增，
③當時，與，，單調(diào)遞增，
，，單調(diào)遞減，
綜上，當時，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當時，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減；
（2）由已知，，則，
函數(shù)有兩個極值點，，即在上有兩個不等實根，
令，只需，故，
又，，
所以
，
要證，即證，
只需證，
令，，
則，
令，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，
又，，
由零點存在性定理得，使得，
即，
所以時，，單調(diào)遞增，
時，，單調(diào)遞減，
則，
∵由對勾函數(shù)知在上單調(diào)遞增，
∴，
∴，即，得證．
【點睛】隱零點的處理思路：
第一步：用零點存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點的存在性，其中難點是通過合理賦值，敏銳捕捉零點存在的區(qū)間，有時還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點的個數(shù)；
第二步：虛設(shè)零點并確定取范圍，抓住零點方程實施代換，如指數(shù)與對數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.
22．在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達對祖國的熱愛之情，在數(shù)學中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標系中，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標方程為（），M為該曲線上的任意一點.

（1）當時，求M點的極坐標；
（2）將射線OM繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點N，求的最大值.
【答案】（1）點M的極坐標為或（2）
【解析】（1）令，由此求得的值，進而求得點的極坐標.
（2）設(shè)出兩點的極坐標，利用勾股定理求得的表達式，利用三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.
【詳解】（1）設(shè)點M在極坐標系中的坐標，
由，得，
∵
∴或，
所以點M的極坐標為或
（2）由題意可設(shè)，.
由，得，.



故時，的最大值為.
【點睛】本小題主要考查極坐標的求法，考查極坐標下兩點間距離的計算以及距離最值的求法，屬于中檔題.
23．已知正實數(shù)滿足.
（1）解關(guān)于的不等式；
（2）證明：.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】（1）根據(jù)題意，把，轉(zhuǎn)化為，即可求解；
（2）根據(jù)題意，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】（1）因為，且，由，
可得，即，即，
解得，所以不等式的解集為.
（2）因為，且，
所以
.
當且僅當時，等號成立.
【點睛】本題主要考查了絕對值不等式的求解，以及不等式的證明，其中解答中熟記絕對值不等式的解法，以及合理應(yīng)用基本不等式是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.

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江西省鷹潭市2023屆高三二模數(shù)學試題（文科）

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