創(chuàng)設(shè)情境 新課導(dǎo)入
世界上最高的樹 —— 紅杉
世界上最寬的河 ——亞馬遜河
探究1： 如圖，A, B 兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小張想測(cè)量出A, B 間的距離，但由于受條件限制無(wú)法直接測(cè)量，你能幫他想出一個(gè)可行的測(cè)量辦法嗎？
利用相似三角形測(cè)量寬度
如圖，在池塘外取一點(diǎn)C，使它可以直接看到A, B 兩點(diǎn)，連接AC、BC并測(cè)量出AC、BC的長(zhǎng)度，再延長(zhǎng)AC,BC,在AC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，在BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，并使CD與CE的長(zhǎng)度的比等于AC與BC的比。測(cè)量出DE的長(zhǎng)度后，就可以由相似三角形的有關(guān)知識(shí)求出A, B 間的距離了.
例1、如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn) A，再在河的這一邊選點(diǎn) B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再選點(diǎn) E，使 EC ⊥ BC ，用視線確定 BC 和 AE 的交點(diǎn) D．此時(shí)如果測(cè)得 BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求兩岸間的大致距離 AB．?
解：∵ ∠ADB＝∠EDC，
∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴ △ABD∽△ECD.
解得 AB = 100.
因此，兩岸間的大致距離為 100 m.
方法總結(jié)；構(gòu)造相似三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵
如圖，為了測(cè)量水塘邊 A、B 兩點(diǎn)之間的距離，在 可以看到 A、B 的點(diǎn) E 處，取 AE、BE 延長(zhǎng)線上的 C、D 兩點(diǎn)，使得 CD∥AB. 若測(cè)得 CD＝5 m，AD ＝15m，ED=3 m，則 A、B 兩點(diǎn)間的距離為 m.
利用相似三角形測(cè)量高度
據(jù)傳說(shuō)，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽(yáng)光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，來(lái)測(cè)量金字塔的高度.
例2：如圖，木桿 EF 長(zhǎng) 2 m，它的影長(zhǎng) FD 為3m， 測(cè)得 OA 為 201 m，求金字塔的高度 BO.
解：太陽(yáng)光是平行的光線，因此 ∠BAO =∠EDF.
又 ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF.
因此金字塔的高度為134 m.
1、如圖是小明設(shè)計(jì)用手電來(lái)測(cè)量某古城墻高度的示意圖，點(diǎn) P 處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn) A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后，剛好射到古城墻的頂端 C 處，已知 AB = 2 米，且測(cè)得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么該古城墻的高度是 （ ）
2、如圖，九年級(jí)某班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)想利用所學(xué) 數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，當(dāng)身高 1.6 米的楚 陽(yáng)同學(xué)站在 C 處時(shí)，他頭頂端的影子正好與旗桿頂端的影子重合，同一時(shí)刻，其他成員測(cè)得 AC = 2 米，AB = 10 米，則旗桿的高度是_____米
例3、如圖，左、右并排的兩棵大樹的高分別是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，兩樹底部的距離 BD = 5 m，一個(gè)人估計(jì)自己眼睛距離地面 1.6 m，她沿著正對(duì)這兩棵樹的一條水平直路 l 從左向右前進(jìn)，當(dāng)她與左邊較低的樹的距離小于多少時(shí)，就看不到右邊較高的樹的頂端C 了?
分析：如圖，設(shè)觀察者眼睛的位置 (視點(diǎn)) 為點(diǎn) F，畫出觀察者的水平視線 FG，它交 AB，CD 于點(diǎn) H，K.視線 FA，F(xiàn)G 的夾角∠AFH 是觀察點(diǎn)A 的仰角.類似地，∠CFK 是觀察點(diǎn) C 時(shí)的仰角，由于樹的遮擋，區(qū)域Ⅰ和Ⅱ都在觀察者看不到的區(qū)域 (盲區(qū)) 之內(nèi).再往前走就根本看不到 C 點(diǎn)了.
當(dāng)∠AFH =∠CFK時(shí) 即走到E點(diǎn)使C、A、E三點(diǎn)在同一直線
解：如圖，假設(shè)觀察者從左向右走到點(diǎn) E 時(shí)，她的眼 睛的位置 點(diǎn) E 與兩棵樹的頂端點(diǎn) A，C 恰在一條直線上． 由題意可知，HK=BD=5，HB=KD=1.6，AB=10，CD=12 ∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD. ∴△AEH∽△CEK.
由此可知，如果觀察者繼續(xù)前進(jìn)，當(dāng)她與左邊的樹的距離小于 8 m 時(shí)，由于這棵樹的遮擋，就看不到右邊樹的頂端 C .
方法總結(jié)：本題把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形中， 利用相似三角形性質(zhì)列出比例式求解即可.
例4、某同學(xué)想利用樹影測(cè)量樹高.他在某一時(shí)刻測(cè)得小樹高為1.5米時(shí)，其影長(zhǎng)為1.2米，當(dāng)他測(cè)量教學(xué)樓旁的一棵大樹影長(zhǎng)時(shí)，因大樹靠近教學(xué)樓，有一部分影子在墻上.經(jīng)測(cè)量地面部分影長(zhǎng)為6.4米，墻上影長(zhǎng)為1.4米，那么這棵大樹高多少米?
解析： 如圖，BC=6.4m,CD=1.4m,MN=1.5m,NP=1.2m
大樹的影長(zhǎng)不等于地面上部分的加上墻上的
所以要構(gòu)造三角形滿足樹高與影長(zhǎng)關(guān)系，符合相似三角形的條件，即：過(guò)D作DE⊥AB于E，則?AED∽△MNP，可求出AE，再由 AB=AE+BE求樹高
解：過(guò)D作DE⊥AB于E，則BE=CD==1.4 ED=BC=6.4，?AED∽△MNP
∴AB=AE+BE=8+1.4=9.4米.
【類型一】利用影長(zhǎng)測(cè)量高度（長(zhǎng)度）
【類型二】利用標(biāo)桿測(cè)量高度（長(zhǎng)度）
例5、 如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬 紙板 DEF 來(lái)測(cè)量操場(chǎng)旗桿 AB 的高度，他們通過(guò)調(diào)整測(cè)量位置，使斜邊 DF 與地面保持平行，并使邊DE 與旗桿頂點(diǎn) A 在同一直線上，已知 DE = 0.5 米， EF = 0.25 米，目測(cè)點(diǎn) D 到地面的距離 DG = 1.5 米，到旗桿的水平距離 DC = 20 米，求旗桿的高度.
DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米
故 AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 (m).
答：旗桿的高度為 11.5 m
利用相似解決有遮擋物問(wèn)題

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3.5 相似三角形的應(yīng)用

版本： 湘教版

年級(jí)： 九年級(jí)上冊(cè)

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