2022-2023學(xué)年山東省棗莊市滕州市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩角差的余弦公式即可求解.【詳解】．故選：A.2．已知是平面內(nèi)兩單位向量，則（    ）A． B．C． D．與都是單位向量【答案】C【分析】利用向量相等概念即可判斷A，利用數(shù)量積定義計(jì)算數(shù)量積即可判斷B，利用數(shù)量積及模的運(yùn)算即可判斷C，根據(jù)向量模長判斷D.【詳解】因?yàn)?/span>是平面內(nèi)兩單位向量，所以兩向量模長相等，但是方向不一定一樣，故不一定成立，A錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有，B錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>是平面內(nèi)兩單位向量，所以，所以，C正確；因?yàn)?/span>，，所以與不一定是單位向量，故D錯(cuò)誤；故選：C.3．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】 ,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 , 位于第二象限,選B.4．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A＝60°，a，則等于（　?。?/span>A． B． C． D．2【答案】D【解析】由已知結(jié)合正弦定理即可直接求解．【詳解】A＝60°，a，由正弦定理可得，2，∴b＝2sinB，c＝2sinC，則2．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．5．已知，則（    ）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線【答案】C【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合平面向量共線的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?/span>，且，所以與不共線，所以A，B，C三點(diǎn)不共線，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?/span>，且，所以與不共線，所以三點(diǎn)不共線，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?/span>，所以三點(diǎn)共線，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?/span>，且，所以與不共線，所以三點(diǎn)不共線，所以D錯(cuò)誤，故選：C.6．已知函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，則，令，根據(jù)的取值范圍求出的值域，依題意與在上有交點(diǎn)，即可求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：令，即，令，因?yàn)?/span>，所以，所以，即，依題意與在上有交點(diǎn)，則，所以，即；故選：D7．如圖，在中，D是BC邊上一點(diǎn).Р是線段AD的中點(diǎn)，且.則（    ）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)和可得，結(jié)合B、D、C三點(diǎn)共線可得，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>是線段AD的中點(diǎn)，且，所以，得，又B、D、C三點(diǎn)共線，所以，得.故選：A.8．已知函數(shù)（，，均為正的常數(shù)）的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則下列結(jié)論正確的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【分析】依題意可求ω＝2，又當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，可解得φ，從而可求解析式f（x）＝Asin（2x），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)及誘導(dǎo)公式即可比較大?。?/span>【詳解】解：依題意得，函數(shù)f（x）的周期為π，∵ω＞0，∴ω2．又∵當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，∴2φ＝2kπ，k∈Z，可解得：φ＝2kπ，k∈Z，∴f（x）＝Asin（2x+2kπ）＝Asin（2x）．∴f（﹣2）＝Asin（﹣4）＝Asin（4+2π）＞0．f（2）＝Asin（4）＜0，f（0）＝AsinAsin0，又∵4+2π，而f（x）＝Asinx在區(qū)間（，）是單調(diào)遞減的，∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）．故選A．【解析】1.三角函數(shù)的圖象與應(yīng)用；2.函數(shù)值的大小比較.  二、多選題9．設(shè)是復(fù)數(shù)，則（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于A：若，則，所以，故A正確；對(duì)于B：若，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得，故B正確；對(duì)于C：∵，若，即，可得，故C正確；對(duì)于D：例如，顯然成立，但，即，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.10．計(jì)算下列各式，結(jié)果為的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】運(yùn)用誘導(dǎo)公式、輔助角公式、二倍角公式、和差角公式及切化弦化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，，故A項(xiàng)成立；對(duì)于B項(xiàng)，，故B項(xiàng)不成立；對(duì)于C項(xiàng)，，故C項(xiàng)不成立；對(duì)于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)成立.故選：AD.11．在銳角三角形ABC中，A，B，C為三個(gè)內(nèi)角，a，b，c分別為A，B，C所對(duì)的三邊，則下列結(jié)論成立的是（    ）A．若，則 B．若，則B的取值范圍是C． D．【答案】ACD【分析】由正弦定理判斷A；由角形為銳角三角形，，所以，即有，根據(jù)可得的范圍，從而判斷B；由，可得，進(jìn)而得，從而判斷C；由，可得，從而判斷D.【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?/span>A>B，所以有,所以，故正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?/span>，則，所以，由可得的取值范圍是，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C ，銳角三角形ABC中，，，∴，同理，，所以故正確；對(duì)于選項(xiàng)D，銳角三角形ABC中，因?yàn)?/span>，即，，又∵，∴，故正確．故選：ACD．12．如圖，已知的內(nèi)接四邊形中，，則（    ）A．四邊形的面積為12B．該外接圓的半徑為C．D．過作交于點(diǎn)，則【答案】BCD【分析】對(duì)于A：在中，利用余弦定理結(jié)合圓的性質(zhì)可得，進(jìn)而可求得，，再利用面積公式運(yùn)算求解；對(duì)于B：可知四邊形的外接圓為即為的外接圓，利用正弦定理求外接圓半徑；對(duì)于C：根據(jù)幾何性質(zhì)分析可得在方向上的投影向量為，進(jìn)而可得結(jié)果；對(duì)于D：根據(jù)幾何性質(zhì)分析可得在方向上的投影向量為，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于A：連接，由題意可知，則，在中，由余弦定理可得，即，解得，所以，且，則，即，所以四邊形的面積，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：該四邊形的外接圓為即為的外接圓，設(shè)外接圓的半徑為，在中，由正弦定理可得，即，故B正確；對(duì)于C：過作，垂足，則為的中點(diǎn)，可得，過作，垂足，可得，故，即在方向上的投影向量為，所以，故C正確；對(duì)于D：由題意可得：，過作，垂足，則為的中點(diǎn)，可得，可得，連接，則，可得，過作，垂足，則為矩形，可得，所以，故在方向上的投影向量為，所以，故D正確；故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法定睛：在處理選項(xiàng)C、D時(shí)，根據(jù)圓的性質(zhì)可以將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為投影向量的問題，進(jìn)而分析運(yùn)算. 三、填空題13．若平面向量和的夾角為，且，則在的方向上的投影向量的模長為_______．【答案】【分析】根據(jù)投影向量的模長的概念運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：在的方向上的投影向量的模長為.故答案為：.14．如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高，選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)和，現(xiàn)測(cè)得米，則塔高________米．【答案】20【分析】設(shè)塔高為，利用和分別表示出、，然后在中利用余弦定理，求出即可.【詳解】設(shè)塔高為，在中，在中， 在中，由余弦定理得： 即： 解得 .故答案為：20.15．在中，已知，記外接圓的圓心為，則_______．【答案】6【分析】運(yùn)用向量減法法則、數(shù)量積的定義及運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意知，O為三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，如圖所示，OF垂直平分線段AB，OE垂直平分線段AC，∴，，∴.故答案為：6.16．費(fèi)馬點(diǎn)是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角都小于時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成的三個(gè)角都為.已知點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，且，則的值為__________.【答案】6【分析】化簡(jiǎn)求得，結(jié)合余弦定理以及求得，利用三角形的面積列方程，化簡(jiǎn)求得【詳解】∵，∴，即，∵，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，由余弦定理知，，∵，∴，∴，∴.故答案為：6【點(diǎn)睛】三角恒等變換是化簡(jiǎn)已知條件常用的方法，在解決與三角形有關(guān)的問題時(shí)，要注意結(jié)合余弦定理、正弦定理、三角形的面積公式. 四、解答題17．設(shè)實(shí)部為正數(shù)的復(fù)數(shù)z，滿足，且復(fù)數(shù)為純虛數(shù)．(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程（m，的根，求實(shí)數(shù)m和n的值．【答案】(1)(2)， 【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式，結(jié)合復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則和純虛數(shù)的概念即可得出答案.（2）復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程（m，的根，代入方程可得，解方程即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)，（a，，），則因?yàn)?/span>為純虛數(shù)，所以，            又，所以，聯(lián)立方程得，，故.（2）因?yàn)?/span>是關(guān)于的方程（m，）的根，所以，即，所以解得，．18．已知函數(shù)．(1)用“五點(diǎn)法”畫出在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；(2)說明此函數(shù)圖象可由的圖象經(jīng)怎樣的變換得到．【答案】(1)作圖見解析(2)答案見解析 【分析】（1）根據(jù)五點(diǎn)作圖法畫出圖象.（2）利用三角函數(shù)圖象變換的知識(shí)求得正確答案.【詳解】（1）列表如下：00100在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示：（2）方法一：函數(shù)先向左平移個(gè)單位得到函數(shù)；再將函數(shù)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，即可得函數(shù)；方法二：先將函數(shù)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)；再向左平移個(gè)單位，即可得函數(shù)．19．已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中．(1)若，且∥，求的坐標(biāo)；(2)若，且與垂直，求與的夾角．【答案】(1)或(2) 【分析】（1）設(shè)，由題意可得且，求解即可；（2）由題意可得，，再根據(jù)求解即可.【詳解】（1）解：設(shè)，因?yàn)?/span>，∴，即，①由∥，得，②由①②，得或，故或；（2）解：因?yàn)?/span>與垂直，所以，即，又，，所以，整理得，故，又，所以．20．設(shè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，．(1)求角的大小(2)若，求的面積．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；（2）由正弦定理求出，即可得到，再由兩角和的正弦公式求出，最后由面積公式計(jì)算可得.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>，由正弦定理可得，即，則，又，所以．（2）解：因?yàn)?/span>，，，由，得，即，又，所以，則，所以，所以．21．某居民小區(qū)為緩解業(yè)主停車難的問題，擬對(duì)小區(qū)內(nèi)一塊扇形空地進(jìn)行改造．如圖所示，平行四邊形區(qū)域?yàn)橥＼噲?chǎng)，其余部分建成綠地，點(diǎn)在圍墻弧上，點(diǎn)和點(diǎn)分別在道路和道路上，設(shè)，設(shè)．(1)寫出停車場(chǎng)面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)求停車場(chǎng)面積的最大值．【答案】(1)，其中(2) 【分析】（1）在中運(yùn)用正弦定理得，再結(jié)合可得結(jié)果.（2）運(yùn)用差角公式、降次公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)S為，轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【詳解】（1）在中，，，，由正弦定理得，即，所以．則停車場(chǎng)面積，其中．（2），（），因?yàn)?/span>，所以，則當(dāng)，即時(shí)，停車場(chǎng)面積S取得最大值為．22．如圖，在邊長為4的正△ABC中，E為AB的中點(diǎn)，D為BC中點(diǎn)，，令，，(1)試用、表示向量；(2)延長線段EF交AC于P，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用三角形法則及向量的線性運(yùn)算即可求解；（2）利用向量的線性運(yùn)算可知，再利用向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】（1）（2）設(shè)，由于與共線，則，即，即，則，解得，即， 所以 

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