2022-2023學年山西省太原市高一下學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．復數(shù)的共軛復數(shù)為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)共軛復數(shù)的概念，即可得出答案.【詳解】根據(jù)共軛復數(shù)的概念，可知復數(shù)的共軛復數(shù)為.故選：C.2．已知向量滿足，，則（    ）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算，展開即可得出答案.【詳解】.故選：B.3．已知復數(shù)，則下列說法正確的是（    ）A．的虛部為4 B．復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限C． D．【答案】D【分析】求復數(shù)的代數(shù)形式，再由復數(shù)虛部的定義，復數(shù)的幾何意義，復數(shù)的乘法運算，復數(shù)的模的運算公式依次判斷各選項.【詳解】因為，則的虛部為2，A錯誤；復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為，在第二象限，B錯誤；，C錯誤；，D正確.故選：D.4．已知向量，，若，則與夾角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知結(jié)合數(shù)量積的運算律，可求得，代入求出的值，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，即.又，，所以有，解得，所以，所以，，所以，，，所以，.故選：B.5．已知一圓錐的母線長為，側(cè)面積為，則該圓錐的高為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】計算出圓錐的底面半徑，利用勾股定理可求得該圓錐的高.【詳解】設該圓錐的底面半徑為，高為，圓錐的側(cè)面積為，解得，因此，該圓錐的高為.故選：A.6．在四邊形中，若，且，則該四邊形是（    ）A．正方形 B．菱形C．矩形 D．等腰梯形【答案】C【分析】由結(jié)合平面向量數(shù)量積可得出，再結(jié)合可得出結(jié)論.【詳解】因為，則，即，整理可得，易知、均為非零向量，則，因為，則且，所以，四邊形為矩形.故選：C.7．在邊長為2的正方形中，點為邊上的動點，點為邊上的動點，且，則的最小值為（    ）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】建立平面直角坐標系，寫出的坐標，求出數(shù)量積，即可得出答案.【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，則，設，，則，所以，，所以，，，所以，，所以當時，有最小值.故選：D.8．已知的面積為，，，則（    ）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)面積公式可求得.由余弦定理即可求出.根據(jù)正弦定理，即可推得.【詳解】由可得，，所以.由余弦定理可得，，所以.由正弦定理可得，.故選：A.9．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結(jié)論正確的是（    ）A．三角形的直觀圖是三角形B．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形C．正方形的直觀圖是正方形D．菱形的直觀圖是菱形【答案】AB【分析】根據(jù)斜二測直觀圖的畫法規(guī)則，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由斜二測直觀圖的畫法規(guī)則，平行依舊垂改斜，橫等縱半豎不變，可知三角形的直觀圖還是三角形，故A正確；平行四邊形的直觀圖仍然是平行四邊形，故B正確；正方形和菱形的直觀圖是平行四邊形，故CD錯誤；故選：AB. 二、多選題10．已知復數(shù)、，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．B．若，則C．若，則、中至少有個是D．若且，則【答案】ACD【分析】利用復數(shù)的模長公式可判斷A選項；利用虛數(shù)不能比較大小可判斷B選項；利用復數(shù)的三角形式的代數(shù)運算結(jié)合反證法可判斷C選項；利用復數(shù)的運算性質(zhì)結(jié)合C選項可判斷D選項.【詳解】設，，對于A選項，，所以，，因為，則，所以，，A對；對于B選項，若、中至少有一個為虛數(shù)，則、不能比較大小，B錯；對于C選項，若，假設、均不為零，則，，則存在、，使得，，則，因為，則、不可能同時為零，所以，，故假設不成立，所以，、中至少有一個為零，C對；對于D選項，，則，因為，則，由C選項可知，，即，D對.故選：ACD.11．在直角坐標系xOy中，已知點，則（    ）A．若，則B．若點P在BC上，則C．若，則D．若在方向上的投影向量是，則【答案】AC【分析】根據(jù)向量共線的坐標表示計算可判斷AB；由向量相等建立方程組求得，可判斷C；先求得投影和與同向的單位向量，然后由投影向量列方程，變形可判斷D.【詳解】由題知，所以A中，因為，所以，即，A正確；B中，，因為點P在BC上，所以，所以，即，B錯誤；C中，因為所以即，解得，所以，C正確；D中，與同向的單位向量為在上的投影所以所以，即，D錯誤.故選：AC12．半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.如圖，二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體截去八個一樣的四面體得到的，若它的所有棱長都為，則（    ）A．被截正方體的棱長為2B．被截去的一個四面體的體積為C．該二十四等邊體的體積為D．該二十四等邊體外接球的表面積為【答案】ACD【分析】由已知可推得，二十四等邊體的各個頂點均為正方體各個棱的中點，即可得出A項；根據(jù)A項，可知四面體是三條側(cè)棱兩兩垂直，即可得出三棱錐的體積，判斷B項；根據(jù)B項的結(jié)果，以及正方體的體積公式，即可得出C項；設球心為，連結(jié)，取中點為，連結(jié)，構造，根據(jù)勾股定理，即可求出，即外接球的半徑為，即可求出表面積得出D項.【詳解】對于A項，由已知可推得，二十四等邊體的各個頂點均為正方體各個棱的中點，如圖1，則，所以，故A項正確；對于B項，如圖1，由A知，四面體是三條側(cè)棱兩兩垂直，且長度為的三棱錐，所以，故B項錯誤；對于C項，正方體的體積為，所以該二十四等邊體的體積為，故C項正確；對于D項，如圖2，設球心為，顯然是正方體的中心，連結(jié)，取中點為，連結(jié)，因為分別是的中點，所以.又，，所以，在中，有，所以，所以，該二十四等邊體外接球的半徑，表面積為，故D項正確.故選：ACD. 三、填空題13．設復數(shù)滿足，則__________.【答案】/【分析】利用復數(shù)的除法化簡可得復數(shù).【詳解】因為，則.故答案為：.14．如圖所示的圖案，是由圓柱、球和圓錐組成，已知球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面，則圖案中圓錐、球、圓柱的體積__________.【答案】【分析】由已知可設底面圓的半徑為，進而由已知得出圓錐、球、圓柱的體積，即可得出答案.【詳解】設底面圓的半徑為，則圓柱的高為，球的半徑為，所以，圓錐的體積，，，所以，圖案中圓錐、球、圓柱的體積.故答案為：.15．如圖，從氣球上測得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高是，則河流的寬度等于______.【答案】【分析】由題意畫出圖形，由兩角差的正切求出15°的正切值，然后通過求解兩個直角三角形得到DC和DB的長度，作差后可得答案．【詳解】由圖可知，在中，在中，河流的寬度BC等于故答案為： .【點睛】本題給出實際應用問題，求河流在B,C兩地的寬度，著重考查了三角函數(shù)的定義、正余弦定理解三角形的知識，屬于中檔題．16．已知向量，，且，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】由題意設，，，由把用表示，由得出滿足的關系式，用換元法，設，，這樣可得用表示，從而可得其范圍．【詳解】設，，，則，由得，，，由得，設，，由，因為，所以．故答案為：． 四、解答題17．已知復數(shù)，且為純虛數(shù).(1)求實數(shù)的值；(2)設復數(shù)，且復數(shù)對應的點在第二象限，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求得的共軛復數(shù)，代入中，化簡求得對應的實部與虛部，再由純虛數(shù)的定義即可求得實數(shù)的值；（2）將代入中化簡，求得復數(shù)的標準形式，及對應的點，再由第二象限點的特點，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因為，，又為純虛數(shù)，，解得.（2），因為復數(shù)所對應的點在第二象限，所以，解得，所以的取值范圍是.18．如圖，在中，已知，BC，AC邊上的中線AM，BN相交于點P．設．(1)用表示；(2)求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)向量代數(shù)運算即可求解；（2）先證明點P為的重心，則，根據(jù)向量模求解公式即可求解．【詳解】（1）；（2）因為AM，BN分別為BC，AC邊上的中線所以點P為的重心，則由于所以，．19．如圖，矩形是用斜二測畫法畫出的水平放置的一個平面四邊形的直觀圖，其中，.(1)畫出平面四邊形的平面圖，并計算其面積；(2)若該四邊形以為軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積和表面積.【答案】(1)平面圖見解析，面積為(2)幾何體的體積為，表面積為 【分析】（1）設與交點為，在中，求出，，即可得出答案；（2）先求出，.然后根據(jù)題意可推得旋轉(zhuǎn)形成的幾何體為圓柱挖去一個同底的圓錐，與一個同底的圓錐構成的組合體.進而根據(jù)組合體的構成，結(jié)合圓柱、圓錐的體積公式、表面積公式，即可得出答案.【詳解】（1）如圖1，設與交點為，因為，，所以，.的平面圖如圖2所示：則，.（2）由（1）可得，在中，有，所以，，所以.如圖3，分別過點作及其延長線的垂線，垂足為.矩形繞及其延長線，旋轉(zhuǎn)一周得到一個底面半徑，母線的圓柱；繞，旋轉(zhuǎn)一周得到一個底面半徑，母線，高的圓錐；繞及其延長線，旋轉(zhuǎn)一周得到一個底面半徑，母線，高的圓錐.所以，旋轉(zhuǎn)形成的幾何體為圓柱挖去一個同底的圓錐，與一個同底的圓錐構成的組合體.則旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積即等于圓柱的體積，減去挖去的圓錐體積，加上組合的圓錐的體積，所以，旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積.旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的表面積即等于圓柱的側(cè)面積，加上兩個圓錐的側(cè)面積之和，所以.20．的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知向量與向量共線.(1)求；(2)若的面積為，，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用向量共線的坐標表示以及正弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）由三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，再利用正弦定可求得的值.【詳解】（1）解：在中，，向量與向量共線，，由正弦定理可得，，、，則，，.（2）解：由三角形的面積公式可得，得，由余弦定理，故，由正弦定理，得，所以.21．的內(nèi)角的對邊分別為，已知向量與向量共線.(1)求；(2)若的面積為，求周長的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由向量共線的坐標運算可得，再根據(jù)正弦定理化簡即可得出答案；（2）根據(jù)的面積公式可得，再根據(jù)余弦定理以及基本不等式化簡即可得出結(jié)論.【詳解】（1）在中，，向量與向量共線，，由正弦定理可得，，又，所以（2）因為，所以，由余弦定理得：，所以，所以.所以周長的取值范圍是.22．如圖所示，是一塊三角形空地，其中，，.當?shù)卣媱潓⑦@塊空地改造成一個休閑娛樂場所，擬在中間挖一個人工湖，其中、在邊上，且，挖出的泥土堆放在地帶形成假山，剩下的地帶建成活動場所.(1)當時，求的長度；(2)若要求挖人工湖用地的面積是堆假山用地面積的倍，試確定的大小.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出，然后在中利用余弦定理可求得的長；（2）設，由可求出，然后在中，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換求出的值，求出的取值范圍，可求得的值，即為所求.【詳解】（1）解：在中，因為，，，則，所以，在中，，，，由余弦定理得.（2）解：設，因為，所以，即，在中，由正弦定理，得，所以，即，由，得，所以，即.23．如圖所示，是一塊三角形空地，其中，，.當?shù)卣?guī)劃將這塊空地改造成一個休閑娛樂場所，擬在中間挖一個人工湖，其中在邊上，且，挖出的泥土堆放在地帶上形成假山，剩下的地帶建成活動場所.(1)若要求挖人工湖用地的面積是堆假山用地面積的倍，試確定的大??；(2)為節(jié)省投入資金，人工湖的面積要盡可能小，問如何設計施工方案，可使的面積最??？最小面積是多少？【答案】(1)(2)時，的面積取得最小值，最小值為 【分析】（1）由已知可推得.設，根據(jù)已知，推得.在中，由正弦定理得，即可得出，根據(jù)的范圍，即可得出答案；（2）在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得.即可得出，根據(jù)的范圍，即可得出答案.【詳解】（1）在中，因為，，，所以.因為，所以.設，因為，所以，即.又，所以.在中，由正弦定理可得，，即.所以，整理可得.由，得，所以，即.（2）由（1）知，所以，則.在中，由正弦定理可得，即，所以.在中，有，，，所以.由正弦定理可得，，整理可得，.因為，所以.因為，所以，所以當，即時，的面積取得最小值，此時最小值為. 

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