2022-2023學(xué)年山東省棗莊市滕州市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（    ）A．2 B．3 C．5 D．4【答案】C【分析】根據(jù)平均變化率的知識求得正確答案.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為.故選：C2．某小組有8名男生，6名女生，要求從中選1名當(dāng)組長，不同的選法共有（    ）A．12種 B．14種 C．24種 D．48種【答案】B【分析】根據(jù)組合性質(zhì)即可求解.【詳解】依題意，小組有8名男生，6名女生，要求從中選1名當(dāng)組長，則有種選法.故選：B.3．下列求導(dǎo)運算正確的是（   ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的計算逐一判斷即可.【詳解】對于A，，故A不正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C不正確；對于D，，故D不正確.故選：B4．已知函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)為12，則（    ）A．-4 B．4 C．-36 D．36【答案】A【分析】根據(jù)題意，由極限的性質(zhì)可得則，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為12，則；故選：A．【點睛】本題考查極限的計算以及導(dǎo)數(shù)的定義，屬于容易題．5．已知函數(shù)，則下列選項正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求導(dǎo)得到，函數(shù)單調(diào)遞增，得到大小關(guān)系.【詳解】，故，所以在上遞增，，所以，故選：D6．將標(biāo)號為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個不同的信封中，若每個信封放2張，其中標(biāo)號為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有A．12種 B．18種 C．36種 D．54種【答案】B【詳解】試題分析：由題意知，完成這一件事可分為兩步：先將標(biāo)號1,2的卡片放入同一封信有種方法；再將其他四封信放入兩個信封，每個信封兩個有種方法，共有種，故選B.【解析】排列與組合 7．定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，，則不等式的解集為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意分析可得，構(gòu)建，求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性解不等式.【詳解】∵，且，可得，故原不等式等價于，構(gòu)建，則，∵，則恒成立，∴在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，且，則對于，解得，故不等式的解集為.故選：B.8．設(shè)，，，則（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)字特征、對數(shù)的運算性質(zhì)、同角的三角函數(shù)關(guān)系式、二倍角正弦公式，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，所以有，因為，所以，所以此時函數(shù)單調(diào)遞增，故有，顯然，所以有，即；，，構(gòu)造函數(shù)，則有，因為，所以，因此，所以函數(shù)是增函數(shù)，于是有，而，所以，即，于是有，故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)代數(shù)式的特征構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵. 二、多選題9．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，對于下列四個判斷，其中正確的是（    ）A．在上是增函數(shù)B．在上是減函數(shù)C．當(dāng)時，取得極小值D．當(dāng)時，取得極大值【答案】BC【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)關(guān)系解決.【詳解】從導(dǎo)函數(shù)圖像可以看出函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)；在上為增函數(shù)，故A錯B對，C對D錯.故選：BC10．某高一學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這六門課程中選三門作為選科科目，則（    ）A．若不選擇政治，選法總數(shù)為種B．若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為種C．若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為種D．若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不同時選，選法總數(shù)為12種【答案】ACD【分析】對于A：原題意等價于六門課程中選三門不作選修科目，結(jié)合組合數(shù)運算求解；對于B、C、D：根據(jù)題意利用間接法，結(jié)合組合數(shù)運算求解.【詳解】對于A：原題意等價于六門課程中選三門不作選修科目，已知不選擇政治，則再從剩余的五門課程中選擇兩門不作為選修科目，可得選法總數(shù)為種，故A正確；對于B：六門課程中選三門，選法總數(shù)為種，若物理和化學(xué)均不選，選法總數(shù)為種，若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為種，但，故B錯誤；對于C：若物理和歷史同時選，選法總數(shù)為種，若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為種，故C正確；對D：在物理和歷史不同時選的前提下，排除物理和化學(xué)均不選，結(jié)合選項B、C可知：選法總數(shù)為種，故D正確；故選：ACD.11．下列等式中，正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】A. 利用排列數(shù)公式求解判斷； B.利用組合數(shù)公式求解判斷； C.利用組合數(shù)性質(zhì)求解判斷；D.利用組合數(shù)公式求解判斷.【詳解】A. ，故正確；B.因為 ，所以，故錯誤；C. ，故錯誤；D. ，故正確；故選：AD12．已知，函數(shù)，則（    ）A．對任意，，存在唯一極值點B．對任意，，曲線過原點的切線有兩條C．當(dāng)時，存在零點D．當(dāng)時，的最小值為1【答案】ABD【分析】對于A，求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，數(shù)形結(jié)合，判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，從而判斷函數(shù)單調(diào)性，確定函數(shù)極值點；對于B，設(shè)切點為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得方程，結(jié)合方程的根的個數(shù)，判斷切線的條數(shù)；對于C，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)最值，根據(jù)最值情況判斷函數(shù)的零點情況；對于D，由于為偶函數(shù)，故先判斷時函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)，即可判斷的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)最值.【詳解】對于A，由已知，函數(shù)，可得，令，則即在R上單調(diào)遞增，令，則，當(dāng)時，作出函數(shù)的大致圖象如圖：當(dāng)時，作出函數(shù)的大致圖象如圖：可知的圖象總有一個交點，即總有一個根，當(dāng)時，；當(dāng)時，，此時存在唯一極小值點，A正確；對于B，由于，故原點不在曲線上，且，設(shè)切點為，則，即，即，令，， 當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，故，當(dāng)時，的值趨近于0，趨近于無窮大，故趨近于正無窮大，當(dāng)時，的值趨近于正無窮大，趨近于無窮大，故趨近于正無窮大，故在和上各有一個零點，即有兩個解，故對任意，，曲線過原點的切線有兩條，B正確；對于C，當(dāng)時，，，故，該函數(shù)為R上單調(diào)增函數(shù)，，故，使得，即，結(jié)合A的分析可知，的極小值也即最小值為，令，則，且為增函數(shù)，當(dāng)時， ，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，故，令，則，此時的最小值為，無零點，C錯誤；對于D，當(dāng)時，為偶函數(shù)，考慮視情況；此時，，結(jié)合A的分析可知在R上單調(diào)遞增，，故時，，則在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞減，為偶函數(shù)，故，D正確，故選：ABD【點睛】難點點睛：本題綜合新較強，綜合考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及極值點、零點、最值問題，計算量較大；難點在于利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點問題時，要能構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，結(jié)合零點存在定理判斷導(dǎo)數(shù)值的情況，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，解決零點問題. 三、填空題13．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則________．【答案】【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，然后令，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，則，令，可得，解得.故答案為:14．從A，B等5名學(xué)生中隨機(jī)選3名參加數(shù)學(xué)競賽，則A和B至多有一個入選的方法有______種．【答案】7【分析】間接法：求出任選3人的方法數(shù)，以及A和B都入選的方法數(shù)，相減即可得出答案.【詳解】從5名學(xué)生中任選3名參加數(shù)學(xué)競賽，方法有種，A和B都入選的方法有種，所以，A和B至多有一個入選的方法有種.故答案為：7.15．已知函數(shù)，若有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】先對求導(dǎo)，根據(jù)的范圍研究的符號，判斷的單調(diào)性，結(jié)合有兩個零點，求出的取值范圍．【詳解】解：由題知：，．①當(dāng)時，，單調(diào)遞增，至多有一個零點，不合題意；②當(dāng)時，令，易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的最小值為．有兩個零點，當(dāng)時，，，解得故答案為：．【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，屬于基礎(chǔ)題.16．直線與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右三個交點的橫坐標(biāo)依次是，則滿足的一個等式為__________.【答案】【分析】令，則，令，求導(dǎo)得到單調(diào)性從而畫出的圖象，判斷曲線和曲線只有一個交點.再分別對，求導(dǎo)得到單調(diào)性后畫出圖象，從而確定當(dāng)直線經(jīng)過曲線曲線和曲線的唯一公共點時，直線與兩條曲線恰好有三個不同的交點，進(jìn)而得到，且利用同構(gòu)化為再借助的單調(diào)性得到，，借助，最終可得.【詳解】令，即，則，令，則所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，，又，所以的圖象如圖所示：由圖可知，的圖象只有一個交點，因此曲線和曲線只有一個交點.對求導(dǎo)，可得所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以.對求導(dǎo)，可得所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，所以圖象如圖所示：由圖知，當(dāng)直線經(jīng)過曲線曲線和曲線的唯一公共點時，直線與兩條曲線恰好有三個不同的交點，則有，且則且在上單調(diào)遞減，，又且在上單調(diào)遞增，，而即，，所以.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：先判斷曲線和曲線只有一個交點，可以令，即，則，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到單調(diào)性畫出圖象判斷. 四、解答題17．有2名男生和3名女生，按下列要求各有多少種排法，依題意列式作答：(1)若2名男同學(xué)不相鄰，共有多少種不同的排法；(2)若2名男同學(xué)中間必須有1人，共有多少種不同的排法．【答案】(1)72(2)36 【分析】（1）先排女同學(xué)，再將男同學(xué)插空，得到答案；（2）先將兩名男生進(jìn)行排列，再選出1名女生放在男同學(xué)中間，利用捆綁法進(jìn)行求解.【詳解】（1）先將3名女生進(jìn)行排列，有種情況，再將2名男生插空，有種情況，故2名男同學(xué)不相鄰，共有種排法；（2）先將兩名男生進(jìn)行排列，有種情況，再選出1名女生放在男同學(xué)中間，有種選擇，將兩名男同學(xué)和這名女同學(xué)看成一個整體和剩余的2名女同學(xué)進(jìn)行全排列，共有種選擇，故若2名男同學(xué)中間必須有1人，共有種排法.18．(1)若，求正整數(shù)；(2)已知，求.【答案】(1)8(2) 【分析】（1）利用排列數(shù)公式可得，即求；（2）利用組合數(shù)公式可得，即求.【詳解】（1）由得，，又，∴，即，∴正整數(shù)為8.（2）由得，，∴即，解得或，又，∴，∴.19．已知，兩地的距離是.根據(jù)交通法規(guī)，，兩地之間的公路車速（單位：）應(yīng)滿足.假設(shè)油價是7元/，以的速度行駛時，汽車的耗油率為，當(dāng)車速為時，汽車每小時耗油，司機(jī)每小時的工資是91元.(1)求的值；(2)如果不考慮其他費用，當(dāng)車速是多少時，這次行車的總費用最低？【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)題中給出的車速和油耗之間的關(guān)系式，結(jié)合已知條件，待定系數(shù)即可；（2）根據(jù)題意求得以行駛所用時間，構(gòu)造費用關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）因為汽車以的速度行駛時，汽車的耗油率為，又當(dāng)時，，解得.（2）若汽車的行駛速度為，則從地到地所需用時，則這次行車的總費用，則，令，解得，則當(dāng)，，單調(diào)遞減，即.故時，該次行車總費用最低.20．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)畫出函數(shù)的大致圖像．【答案】(1)極小值為，無極大值．(2)圖像見解析 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)區(qū)間以及極值；（2）由單調(diào)性結(jié)合極值和零點畫出函數(shù)的大致圖像.【詳解】（1），函數(shù)定義域為R，，，解得；，解得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極小值為，無極大值．（2）當(dāng)時，﹔，，，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，可畫出函數(shù)的大致圖像，如下圖所示︰21．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)(2)答案見解析 【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.（2）求出導(dǎo)函數(shù)，分情況求解不等式和即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時，，，，所以，又，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2），當(dāng)，令得，由得，由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)，令得，當(dāng)時，由得或，由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，，所以的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時，由得或，由得，所以的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.22．已知函數(shù)．(1)證明：函數(shù)只有一個零點；(2)在區(qū)間上函數(shù)恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由題意可判斷，然后說明當(dāng)時無零點；當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而說明函數(shù)零點只有一個；（2）將變?yōu)?/span>，從而構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，分時和時兩種情況討論不等式是否恒成立，結(jié)合，即可求得答案.【詳解】（1）證明：由可得，當(dāng)時，，，所以，故，故在區(qū)間上無零點．當(dāng)時，，而，，且等號不會同時取到，所以，所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，故函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點0，綜上，函數(shù)在定義域上有唯一零點.（2）由在區(qū)間上恒成立，得，即在區(qū)間上恒成立．設(shè)，則在區(qū)間上恒成立，而，，則．設(shè)，則，當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上，， 即在區(qū)間上，設(shè)函數(shù)，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上，即在區(qū)間上，，所以在區(qū)間上，，即，所以在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增．當(dāng)時，，故在區(qū)間上函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．又，故，即函數(shù)在區(qū)間上恒成立．當(dāng)時，，，故在區(qū)間上函數(shù)存在零點，即，又在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增，故在區(qū)間上函數(shù)，所以在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞減，又，所以在區(qū)間上函數(shù)，與題設(shè)矛盾．綜上，a的取值范圍為.【點睛】方法點睛：解答函數(shù)不等式恒成立問題的方法：（1）分離參數(shù)，即將不等式中所含參數(shù)分離出來，然后構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題；（2）將不等式變形為不等式一側(cè)為0，直接構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷該函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解決恒成立問題；（3）將不等式變形，再利用放縮法轉(zhuǎn)化為較常見形式的不等式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)解決問題. 

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