2022-2023學年江蘇省鎮(zhèn)江市揚中高級中學高一下學期期中校際聯(lián)考數(shù)學試題 一、單選題1．已知點，則與同向的單位向量為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，然后直接除以模長即可.【詳解】，，故與與同向的單位向量為：.故選：A2．已知，則的值為 （    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別對已知兩個等式兩邊平方相加，化簡后利用兩角差的正弦公式可求得結果.【詳解】因為，所以，所以，，所以，所以，所以，解得，故選：D3．在中，分別是內(nèi)角所對的邊，若，則邊（    ）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】先根據(jù)正弦定理算出，從而得到，繼續(xù)用正弦定理求.【詳解】依題意，由正弦定理：得,解得，故或，經(jīng)檢驗均符合題意.當時，則，由正弦定理，得，解得；當時，則，此時為等腰三角形滿足.綜上，或.故選：D4．已知，則的值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由二倍角的正弦、余弦公式化簡可得，分子分母同時除以，代入即可得出答案.【詳解】故選：C.5．已知，則與的夾角是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知求得，平方可得，繼而求出，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】由可得，則，即得，故，則，故，由于，故，故選：C.6．在中，分別是內(nèi)角所對的邊，且滿足，則的形狀是（    ）A．等腰直角三角形 B．等腰鈍角三角形C．等邊三角形 D．以上結論均不正確【答案】C【分析】利用余弦定理化簡已知條件，由此確定正確答案.【詳解】由于，所以為銳角，由余弦定理得，則為銳角.由以及余弦定理得，，由于，所以，即，所以，所以三角形是等邊三角形.故選：C7．函數(shù)的最大值與最小值的和為（    ）A． B． C． D．3【答案】B【分析】化簡，得，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得最大值和最小值，從而可解.【詳解】因為，所以，所以，即，所以當，即時，，當，即時，，所以.故選：B8．如圖，梯形頂點在以為直徑的半圓上，米，若電熱絲由三條線段這三部分組成，在上每米可輻射單位熱量，在上每米可輻射2單位熱量，當電熱絲輻射的總熱量最大時，的長度為 （    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓的對稱性和余弦定理以及倍角公式化簡即可求解.【詳解】取中點，連接，連接，根據(jù)圓的對稱性知，設，，則有，，由余弦定理得同理所以同理電熱絲輻射的總熱量為，令，所以，即，令，則是關于的二次函數(shù)，當電熱絲輻射的總熱量最大時，，即，此時.故選：B. 二、多選題9．下列等式成立的有（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】對于A，逆用倍角余弦公式即可判斷；對于B，利用輔助角公式即可判斷；對于C，利用輔助角公式即可判斷；對于D，逆用倍角正切公式可得，再用和角正切公式即可判斷.【詳解】對于A，，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，，D錯誤.故選：AC10．設點是所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是（    ）A．若，則點是邊的中點B．若，則點是邊的三等分C．若，則點是邊的重心D．若，且，則的面積是面積的【答案】AC【分析】對A，根據(jù)中點的性質(zhì)即可判斷；對B，根據(jù)向量的運算得到，即可判斷；對C，根據(jù)重心的性質(zhì)即可判斷；對D，根據(jù)三點共線的性質(zhì)即可求解.【詳解】對于A，由，得，即，因此點M是邊BC的中點，故A正確；對于B，，，則點在邊的延長線上，所以B不正確；對于C，設中點，則,，由重心性質(zhì)可知C正確；對于D，且’設，所以，可知三點共線，所以的面積是面積的，故D不正確.故選：AC.11．下列說法正確的有（    ）A．，，使 B．，，有C．，，使 D．，，有【答案】ABC【分析】根據(jù)取特值法，易知A， C正確，D錯誤；根據(jù)兩角和與差的正弦公式展開可知B正確．【詳解】取，易知A正確D錯誤；取，，C正確；因為，故B正確，故選：ABC．【點睛】本題主要考查兩角和與差的正弦公式，余弦公式的理解和應用，屬于基礎題．12．在中，，，，點在線段上，下列結論正確的是（    ）A．若是高，則 B．若是中線，則C．若是角平分線，則 D．若，則是線段的三等分點【答案】BC【分析】分別求CD為高線，中線，角平分線及等分線時CD的長.【詳解】由題，，所以，若CD是高，，得，故A錯誤；若CD是中線，，所以，所以，故B正確；若CD是角平分線，則，即，得，故C正確；若D為線段AB的三等分點，或，，或，所以或，故D錯誤.故選：BC.【點睛】根據(jù)D在AB的位置，可用，表示，用向量方法解決平面幾何問題是常用思路. 三、填空題13．已知，，則_________.【答案】【分析】利用平面向量的坐標運算法則計算即可.【詳解】解：已知，，則，，所以，故答案為：.14．設中，分別是內(nèi)角所對的邊，且，則_______.【答案】【分析】根據(jù)正弦定理，余弦定理和二倍角的正弦公式即可求解.【詳解】由正弦定理得，又，所以，所以，結合得，由余弦定理以及得，所以，整理得，，所以.故答案為：.15．已知，在直角三角形中，，，則實數(shù)的值是________.【答案】或【分析】先求出.然后分為為直角，為直角，為直角，三種情況，分別根據(jù)向量垂直的坐標表示，列出方程，求出的值，舍去不滿足的值，即可得出答案.【詳解】由已知可得，.若為直角，則有，解得，舍去；若為直角，則有，解得；若為直角，則有，解得（舍去負值），所以.綜上所述，或.故答案為：或. 四、雙空題16．已知，且是方程的兩根，則的值是___________；的值是________.【答案】     /     /【分析】根據(jù)韋達定理，兩角和的正切公式、兩角差的余弦公式化簡求解即可.【詳解】由題意，，，又，故，故，.由，，兩式聯(lián)立可得，，，所以.故答案為：； 五、解答題17．已知都是銳角，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先確定的取值范圍，再利用同角三角函數(shù)的平方關系，求得和的值，然后根據(jù)，并結合兩角和的余弦公式，得解；（2）由，結合二倍角的余弦公式，即可得出答案．【詳解】（1）解：因為與都是銳角，所以，，又，所以，，所以，，所以；（2）因為，，，所以，解得：(負值舍去).18．從①；②這兩個條件中任選一個，補充到下面問題中，并解答.在中，分別是內(nèi)角所對的邊且.(1)求角的大小；(2)若，且 ，求的值及的面積.【答案】(1)(2) 【分析】(1) 由已知條件結合正弦定理可得, 再利用余弦定理可求出角 ；(2) 若選①, 則可求出角, 再利用正弦定理求出的值, 然后利用三角形的面積公式求出結果；若選②，則先根據(jù)正弦定理求出的值, 然后利用三角形的面積公式求出結果.【詳解】（1）因為 ,由正弦定理得 , 即 ,得 ,又 ,所以 .（2）選擇①時: , 故, 根據(jù)正弦定理 , 故 , 故 .若選②:由 及正弦定理 ,得 , 解得 ,所以 .根據(jù)正弦定理 , 得 ,故 .19．如圖，在矩形中，點在邊上，且是線段上一動點.(1)若是線段的中點，，求的值；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】(1)由已知, 用 表示 , 然后利用向量的基本定理可求,即可;(2)根據(jù)題意, 由數(shù)量積的計算公式可得 , 變形可得 , 進而計算可得的值, 進而由向量數(shù)量積的計算公式可得, 結合基本不等式的性質(zhì)分析可得答案.【詳解】（1）若是線段的中點，則有，故.（2），又因為是矩形，所以，所以，又，，所以，解得，所以，進而得，因為 , 所以 , 故 , 因此 , 則.當且僅當 為 中點時取等號,即 的最小值為6 .20．已知向量，，.(1)求的值；(2)若，，且，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先求出，求出，結合已知即可得出答案；（2）先求出，然后根據(jù)正余弦關系求得，，進而根據(jù)兩角的正余弦公式，求得以及的值.最后根據(jù)兩角差的正弦公式，展開代入計算，即可得出答案.【詳解】（1）因為，所以.因為，所以，所以.（2）因為，，所以.因為，，所以，，所以，，所以.21．在中，分別是內(nèi)角所對的邊，若.(1)求；(2)若，且的面積，求的值；(3)若，且，求的周長.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由余弦定理統(tǒng)一為邊，再由余弦定理求解即可；（2）由面積公式及余弦定理化簡，解得，由數(shù)量積公式計算即可得解；（3）根據(jù)三角恒等變換求出，再由兩角差的余弦公式求出，再由余弦定理求即可得解.【詳解】（1），，.（2）由，可得，，，，，解得，，，.（3），，，，由知，,，即，由余弦定理，，解得，，即的周長為.22．如圖，四邊形中，，三角形為正三角形.(1)當時，設，求的值；(2)設，則當為多少時.①四邊形的面積最大，最大值是多少？②線段的長最大，最大值是多少？【答案】(1)(2)①；② 3 【分析】（1）過點作交于點,在中，，，，可求出的值；（2）在中，由余弦定理可得，①表示出面積即可求得四邊形的面積最大，②利用正弦定理、余弦定理，三角恒等變換求最值.【詳解】（1）在中，，，，，，過點作交于點,在中，，，，.（2）在中，由余弦定理可得，，，，因為，，此時.②由正弦定理得，即，所以，所以 ，，由余弦定理得，因為，所以當時，取得最大值3. 

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