2022-2023學年江西省南昌市第二中學高一下學情期中考試數(shù)學試題 一、單選題1．下列說法錯誤的是（    ）A．向量與向量長度相等 B．任一非零向量都可以平行移動C．單位向量都相等 D．向量的?？梢员容^大小【答案】C【分析】利用向量的模的定義判斷選項AD；利用向量的性質判斷選項B；利用向量相等的定義判斷選項C.【詳解】選項A：向量與向量長度均為線段的長度，故相等.判斷正確；選項B：因為同方向且模長相等的向量相等，與位置無關，故任一非零向量都可以平行移動.判斷正確；選項C：雖然單位向量的模長相等，但方向不一定相同，故單位向量不一定相等.判斷錯誤；選項D：向量的模是實數(shù)，因而可以比較大小.判斷正確.故選：C2．若，則，，的大小順序是（    ）A．  B． C．  D． 【答案】C【分析】利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質分別求得在的取值范圍，進而得到的大小順序.【詳解】當時，，，則，則 故選：C3．在四邊形中，，則一定有（    ）A．四邊形是矩形 B．四邊形是菱形C．四邊形是正方形 D．四邊形是平行四邊形【答案】D【分析】根據(jù)向量的線性運算可得，進而可得且即可求解.【詳解】因為，所以，即且，所以四邊形的一組對邊平行且相等，所以四邊形是平行四邊形，故選：D.4．的值為A． B． C． D．【答案】B【分析】原題并不符合兩角和差的正余弦展開式，所以先探究下面的公式： 即，；同理，．【詳解】.故選B.【點睛】化簡求值時要看角的形式，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，通過“湊角法”對“已知角”與“未知角”建立聯(lián)系，合理選擇和、差角，輔助角，倍角（降冪）等方法進行．5．已知，是方程的兩根，且，，則的值為（    ）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】由韋達定理得，即，得，再根據(jù)兩角和的正切公式解決即可.【詳解】由題知，，是方程的兩根，所以，即，因為，，所以，，所以， 因為，所以，故選：B6．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，將的圖像向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖像，則在上的值域為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖像可知，，，求出周期，從而可求出，再由圖像過點，可求出的值，則可得的解析式，再由三角函數(shù)圖像變換規(guī)律可求得的解析式，由，得，然后利用正弦函數(shù)的性質可求出其值域【詳解】解：由圖可得，，，則因為，所以．由，可得，，即，因為，所以，故，所以將的圖像向右平移個單位長度后，得所以．因為，所以，所以，所以故．故選：A7．已知函數(shù)（，）為偶函數(shù)，且，當取最小值時，的一個單調遞減區(qū)間是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由偶函數(shù)結合誘導公式求出，再由知其圖象關于點對稱，則可求出，最后利用整體代入的方法求出函數(shù)的單調遞減區(qū)間.【詳解】為偶函數(shù)，則，，又，，，又，函數(shù)圖象關于點對稱，，，其中最小的正數(shù)是，即，，由，得，，即減區(qū)間為，，是其中一個.故選：B.8．已知函數(shù)的圖象關于對稱，且，則的值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先對函數(shù)化簡變形，然后由題意可得，求得，再由可得，再利用誘導公式和二倍角公式可求得結果【詳解】因為，其中，，由于函數(shù)的圖象關于對稱，所以，即，化簡得，所以，即，所以，故選：C. 二、多選題9．將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度后，得到一個奇函數(shù)的圖象，則的可能取值為（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】求出平移后的函數(shù)解析式，再利用正余弦函數(shù)的奇偶性計算判斷作答.【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象對應解析式為，因函數(shù)是奇函數(shù)，則，即，當時，，當時，，選項B，D滿足，A，C不滿足.故選：BD10．設函數(shù)，若在上有且僅有3條對稱軸，則（    ）A．在上有且僅有2個最大值點B．在上有且僅有2個零點C．的取值范圍是D．在上單調遞增【答案】ACD【分析】由換元法結合正弦函數(shù)的圖象以及性質逐一判斷即可.【詳解】∵，，∴，∴，令，∴，畫出圖象進行分析：對于A選項：由圖象可知：在上有且僅有，對應的這2個最大值點，故A選項正確；對于B選項：當，即時，在有且僅有2個零點；當，即時，在有且僅有3個零點，故B選項不正確；對于C選項：∵在有且僅有3條對稱軸，∴，∴，∴的取值范圍是，故C選項正確；對于D選項：∵，，∴，∴，由C選項可知，，∴，即在上單調遞增，故D選項正確.故選：ACD.11．已知函數(shù)，，則（    ）A．直線只是圖象的一條對稱軸B．將圖象上所有的點向右平移個單位長度即可得到的圖象C．在區(qū)間上單調遞減D．函數(shù)的最大值為【答案】ABD【解析】將代入可判斷A；利用三角函數(shù)圖象的平移變換原則以及誘導公式可判斷B；將代入，結合余弦函數(shù)的遞減區(qū)間可判斷C；根據(jù)兩角和的正弦、余弦公式以及三角函數(shù)的性質可判斷D.【詳解】對于A，當時，可得，顯然是正弦函數(shù)的對稱軸，故A正確；對于B，將圖象上所有的點向右平移個單位長度，可得，故B正確.對于C，，則，又余弦函數(shù)在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，故C錯誤；對于D，，所以函數(shù)的最大值為，故D正確.故選：ABD12．下列說法中，正確的是（    ）A．存在，的值，使B．不存在無窮多個，的值，使C．對于任意的，，都有D．不存在，的值，使【答案】AD【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式，結合特值法判斷即可.【詳解】令，則，，此時，故A正確；令，，，此時，故B錯誤；由兩角和的余弦公式可知，對于任意的和，，故C錯誤；不存在，的值，使，若存在和，則與兩角和的余弦公式矛盾，故D正確.故選：AD. 三、填空題13．在矩形中，，，則____．【答案】5【分析】利用向量數(shù)量積的性質即可求得的值.【詳解】矩形中，，則又，，則故答案為：514．____．【答案】/【分析】利用二倍角的正弦公式即可求得該式的值.【詳解】故答案為：15．的值為______.【答案】【分析】將已知條件中的，分別用，代替，然后利用兩角和差的余弦公式進行化簡即可.【詳解】原式故答案為：.【點睛】本題考查三角函數(shù)的求值，考查兩角和差的余弦公式的應用，考查運算能力，屬于基礎題.16．已知函數(shù)，既有最小值也有最大值，則實數(shù)的取值范圍是_______.【答案】或【解析】由誘導公式可知,令,結合函數(shù)圖像,討論最大值為和1兩種情況,進而求出 的取值范圍.【詳解】解: 令.則由可得 則.要使其既有最小值又有最大值若最大值為 則,解得 若最大值為,則,解得.綜上所述: 或.故答案為: 或.【點睛】本題考查了誘導公式,考查了三角函數(shù)最值問題.本題的易錯點是漏解,只考慮了最大值為1的情況.本題的難點是分界點能否取得的判斷. 四、解答題17．求值：（1）；（2）．【答案】（1）1；        （2）2【分析】（1）將按兩角和的正切公式展開，整理即可得出答案；（2）切化弦后通分，根據(jù)輔助角公式化簡得到，根據(jù)誘導公式化簡，即可得出答案.【詳解】（1）因為，所以，整理可得，.（2）.18．已知．（1）求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根據(jù)化簡原式的分子分母，然后分式上下同除，將原式變形為的表示形式，由此計算出原式的值；（2）先根據(jù)正切的二倍角公式計算出的值，然后根據(jù)角的關系：，結合兩角和的正切公式求解出的值.【詳解】（1）因為，所以且，所以；（2）因為，所以，.【點睛】關鍵點點睛：解答本題的第二問的關鍵是找到與的之間的關系，從而借助正切的兩角和公式、二倍角公式完成求解.19．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)在中，若，，求的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）化簡可得，然后即可得出周期；（2）由（1）結合已知即可推出，根據(jù)的范圍，可得，進而得出.代入化簡可得，然后根據(jù)的范圍，即可得出答案.【詳解】（1）由已知可得，，所以函數(shù)的最小正周期.（2）由（1）知，，所以.因為，所以，所以，所以，所以，則，所以，.因為，，所以，所以，，所以，的取值范圍為.20．已知函數(shù)，其中，．(1)若，求函數(shù)的單調區(qū)間以及函數(shù)圖象的對稱中心；(2)將函數(shù)圖象縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的一半，再向右平移個單位得到的圖象，且滿足方程在上恰有20個根，求正實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)的單調增區(qū)間是，無單調遞減區(qū)間；對稱中心為，(2) 【分析】（1）由正切函數(shù)的單調區(qū)間和對稱中心可得結果；（2）換元轉化為在上恰有20個根，根據(jù)正切函數(shù)的圖象列式可得結果.【詳解】（1）由于，，，∴，由，解得，所以的單調增區(qū)間是．無單調遞減區(qū)間，令，求得，，故的圖象的對稱中心為，．（2）由題意可知，當時，即在上恰有20個根，所以，解得．綜上，的取值范圍是21．如圖，扇形鋼板的半徑為，圓心角為，現(xiàn)要從中截取一塊四邊形鋼板，其中頂點在扇形的弧上，分別在半徑上，且 ．(1)設，試用表示截取的四邊形鋼板的面積，并指出的取值范圍；(2)求當為何值時，截取的四邊形鋼板的面積最大，并求出最大值．【答案】(1)詳見解析；(2)時四邊形鋼板的面積最大，最大值為． 【分析】（1）利用割補法和三角函數(shù)即可求得四邊形鋼板的面積的解析式，進而得到的取值范圍；（2）先化簡的解析式，利用三角函數(shù)的性質即可求得最大值及對應的值.【詳解】（1）扇形鋼板的半徑為，圓心角為，，則，，則四邊形鋼板的面積其中的取值范圍為；（2）又，則，則，則，則當，即時四邊形鋼板的面積最大，最大值為．22．已知函數(shù)，其中，若實數(shù)滿足時，的最小值為.(1)求的值及的單調遞減區(qū)間；(2)若不等式對任意時恒成立，求實數(shù)應滿足的條件；【答案】(1)，(2) 【分析】（1）化簡，結合最小正周期求得，得到，結合三角函數(shù)的性質，即可求解函數(shù)的單調遞減區(qū)間；（2）化簡，令，得到，結合函數(shù)的性質，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，函數(shù)，因為的最小值為，所以的最小正周期，解得，所以，由，解得，所以的單調遞減區(qū)間為.（2）解：由，因為，可得令，則，所以，，即，即令，可得，又由函數(shù)在為遞減函數(shù)，所以，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是. 

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