2022-2023學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市揚中市第二高級中學(xué)高一下學(xué)期期中模擬數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知，，則（    ）A．共線 B．共線 C．共線 D．共線【答案】C【分析】根據(jù)向量共線定理可構(gòu)造方程組求滿足題意的實數(shù)，由是否有解可得結(jié)論.【詳解】對于A，若共線，則，即，方程組無解，則A錯誤；對于B，若共線，則，即，方程組無解，則B錯誤；對于C，若共線，則，即，解得：，共線，C正確；對于D，若共線，則，即，方程組無解，則D錯誤.故選：C.2．已知復(fù)數(shù)z1＝，z2＝，則z1z2的代數(shù)形式是（    ）A． B．C．－i D．＋i【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則，計算即可得解.【詳解】故選:D.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則，意在考查學(xué)生的計算能力，是基礎(chǔ)題.3．已知向量、的夾角為，，，則（    ）A．4 B．5 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式可得，再根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以.故選：B4．若向量，，，且，則在上的投影向量為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由得，進而根投影向量的概念求解即可.【詳解】解：因為，，且，所以，解得.所以，所以在上的投影向量為.故選：C5．如圖，已知，，，，，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖所示，以為負半軸，為正半軸建立直角坐標系，根據(jù)題意得到，解得答案.【詳解】如圖所示：以為負半軸，為正半軸建立直角坐標系，則，，，，即，解得，故.故選：C.6．設(shè)，，，則有（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用余弦的差角和倍角公式，正弦的二倍角公式以及商數(shù)關(guān)系，對進行化簡，再利用的性質(zhì)即可得到結(jié)果.【詳解】因為，，，由的性質(zhì)可知，，故選：A.7．如圖，已知等腰中，，，點是邊上的動點，則（    ）A．為定值10 B．為定值6C．最大值為18 D．與P的位置有關(guān)【答案】A【解析】設(shè)，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，結(jié)合平面向量的加法的幾何意義、余弦定理、平面向量的數(shù)量積的定義進行求解即可.【詳解】設(shè).，因為，，所以.故選：A【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，考查了平面向量數(shù)量積的定義，考查了平面向量的加法的幾何意義，考查了數(shù)學(xué)運算能力.8．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，且，則△ABC面積的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意結(jié)合余弦定理可知，可得，由正弦定理可得，所以，利用三角恒等變換化簡，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果.【詳解】由，且，得，即，由余弦定理可知，所以，可得，由，可得，由正弦定理，可得，所以，當(dāng)，即時等號成立，可得面積的最大值是．故選：C． 二、多選題9．在復(fù)平面內(nèi)，下列說法正確的是(    )A．若復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則B．若復(fù)數(shù)z滿足，則C．若復(fù)數(shù)，則z為純虛數(shù)的充要條件是D．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)點的集合是以原點O為圓心，以1為半徑的圓【答案】AD【分析】A：根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算法則計算即可；B：設(shè)，根據(jù)求出a、b的值即可判斷；C：根據(jù)純虛數(shù)的概念即可判斷；D：設(shè)，求出z對應(yīng)的點(a，b)的軌跡方程即可判斷．【詳解】對于A，，故A正確；對于B，設(shè)z=a+bi，a、bR，則，；當(dāng)a=0，b≠0時，z=biR，故B錯誤；對于C，，則z為純虛數(shù)的充要條件是a=0且b≠0，故C錯誤；對于D，設(shè)，則，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)點的集合是以原點O為圓心，以1為半徑的圓，故D正確．故選：AD．10．在平面直角坐標系中，已知，，O為坐標原點，下列說法正確的是（    ）A．是與平行的一個單位向量 B．是與垂直的一個單位向量C．A到OB的距離為 D．在上的投影向量為【答案】ACD【詳解】對于A，，且，所以是與平行的一個單位向量，故A正確，對于B，記，且，所以與不垂直，故B錯誤，對于C，因為，，所以，所以，所以A到OB的距離為，故C正確，對于D，因為，所以在上的投影向量為，故D正確.故選：ACD.11．已知，下列說法正確的有（    ）A．的最小正周期是B．最大值為2C．的圖象關(guān)于對稱D．的圖象關(guān)于對稱【答案】BD【分析】利用二倍角公式以及輔助角公式對化簡整理，對于選項A：利用最小正周期公式即可求出周期；對于選項B：根據(jù)解析式即可求解；對于選項CD：根據(jù)正弦型三角函數(shù)的對稱軸和對稱點的特性即可求解.【詳解】因為，所以的最小正周期為，故A錯誤；由的解析式可知，最大值為2，故B正確；因為，故C錯誤；因為 ，所以的圖象關(guān)于對稱，故D正確.故選：BD．12．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為，，，且．設(shè)O是銳角△ABC內(nèi)的一點，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是的△ABC三個內(nèi)角，以下命題正確的有（    ）A．若，則B．若，，，則C．若O為△ABC的內(nèi)心，，則D．若O為△ABC的垂心，，則【答案】ACD【分析】對A，由奔馳定理即可判斷；對B，由面積公式求出，結(jié)合奔馳定理即可求；對C，由奔馳定理，結(jié)合內(nèi)心性質(zhì)可得，即可得；對D，由垂心性質(zhì)及向量數(shù)量積的垂直表示可得，結(jié)合奔馳定理結(jié)合三角形面積公式，可得，如圖所示分別為垂足，可設(shè)，，即可由幾何關(guān)系列式解出，最后由正切求出余弦值，則由可求【詳解】對A，由奔馳定理可得，，又不共線，故，A對；對B，，由得，故，B錯；對C，若O為△ABC的內(nèi)心，，則，又（為內(nèi)切圓半徑），三邊滿足勾股定律，故，C對；對D，若O為△ABC的垂心，則，，又，同理，∴，∵，則，且如圖，分別為垂足，設(shè)，，則，又，故，由，解得，由，故，D對故選：ACD    三、填空題13．若滿足的恰有一個，則實數(shù)的取值范圍是_________ .【答案】或【分析】根據(jù)正弦定理分析解的個數(shù)問題.【詳解】由正弦定理，，當(dāng)，即時，，只有一解，當(dāng)時，，若，則，可為銳角也可為鈍角，有兩解，當(dāng)時，，只能為銳角，只有一解.∴的范圍是或.故答案為：或.【點睛】本題考查正弦定理解三角形，在用正弦定理解三角形時，由于求出的是角的正弦值，因此可能出現(xiàn)兩解的情形.像本題，如果，則有兩解，主要原因是，可為銳角也可為鈍角.14．化簡_______________.【答案】/0.5【分析】利用三角恒等變換，先化切為弦，把轉(zhuǎn)化為，利用差角公式化簡可得答案.【詳解】.故答案為: .15．已知函數(shù)，若是銳角，且，則________.【答案】【分析】先由條件推出，結(jié)合是銳角可以推出，從而得到，最后利用進行求解.【詳解】由題意，即，而，注意到是銳角，則，而，故或（后者情況不符合，舍去).于是，即.于是.故答案為： 四、雙空題16．如圖，在四邊形中，，，且，則實數(shù)的值為_________，若是線段上的動點，且，則的最小值為_________．【答案】          【分析】可得，利用平面向量數(shù)量積的定義求得的值，然后以點為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，設(shè)點，則點（其中），得出關(guān)于的函數(shù)表達式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得的最小值.【詳解】，，，，解得，以點為坐標原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，,∵，∴的坐標為,∵又∵,則，設(shè)，則（其中），，，，所以，當(dāng)時，取得最小值.故答案為：；.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標運算，考查計算能力，屬于中等題. 五、解答題17．已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．(1)若∥，求 的值；(2)若⊥（＋2），求實數(shù)k的值；(3)若與的夾角是鈍角，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)3；(2)k＝；(3)k＜且k≠－6. 【分析】（1）解方程1×k－2×＝0即得解；（2）解方程1×＋2×＝0即得解；（3）解不等式1×＋2×k＜0且k≠－6，即得解.【詳解】（1）解：因為向量＝（1，2），＝（－3，k），且∥，所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，所以＝＝3．（2）解：因為＋2＝，且⊥，所以1×＋2×＝0，解得k＝．（3）解：因為與的夾角是鈍角，則＜0且與不共線．即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6．18．已知是復(fù)數(shù)，和都是實數(shù)，（1）求復(fù)數(shù)；（2）設(shè)關(guān)于的方程有實根，求純虛數(shù).【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法、加法運算法則化簡和，若為實數(shù)，則虛部為零，即可得到方程組，解得即可；（2）設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則化簡方程，即可得到方程組，解得即可.【詳解】（1）設(shè)，則，因為和都是實數(shù)，則，解得，，所以.（2）設(shè)，則方程為，即，若方程有實數(shù)根，則，解得，，所以純虛數(shù).19．如圖，在中，已知，，點為的中點，點，在邊，上，且，，交于點．（1）若，求與所成角的余弦值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）建立合適平面直角坐標系，表示出的坐標，由此可求與的坐標表示，結(jié)合夾角余弦值的計算公式可求解出結(jié)果；（2）根據(jù)得到關(guān)于的一個線性表示，再根據(jù)三點共線得到關(guān)于的另一個線性表示，由平面向量的基本定理求解出參數(shù)值，由此可求的值.【詳解】（1）法一（坐標法）：以所在直線為軸，過且垂直于的直線為軸建立平面直角坐標系，如圖，∵，，∴，，則，，，，∴，．設(shè)與所成角為，∴，法二（基底法）：，，∵，∴；∵，∴，∴；（2）∵，，三點共線，可設(shè)，由三點共線，可設(shè)，∴，∴，由平面向量基本定理可得，解得，∴，∴，故的值為．20．已知向量（cosx，sinx），=（cosx，-sinx），函數(shù)．（1）若，，求的值∶（2）若，，，，求2a+β的值．．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示求解出的解析式，再運用三角函數(shù)的關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)三角函數(shù)和差公式，由已知的三角函數(shù)值求解角度即可.【詳解】解:（1）由，可得，由，得，，則；（2）由可得，由可得，則，由，，可得cosβ>0，由，可得．21．的內(nèi)角的對邊分別為，若.(1)求；(2)若，的面積為.（i）求；（ii）邊上一點，記面積為，面積為，當(dāng)達到最小值時，求的長.【答案】(1)(2)（i）；（ii） 【分析】（1）由正弦定理可得，進而得出，即可得出答案；（2）根據(jù)面積公式可推得，然后根據(jù)余弦定理可求得；設(shè)，，推得，.代入，根據(jù)“1”的代換，即可根據(jù)基本不等式得出取最小值時的值，進而得出.根據(jù)余弦定理，在中，求出.然后在中，根據(jù)余弦定理，即可求出的長.【詳解】（1）由正弦定理以及可得，.因為，所以.又，所以.（2）（i）由已知可得，，所以.由余弦定理可知，，所以，.（ii）設(shè)，，則.所以，則，所以.同理可得，.所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號.所以，.又在中，有，在中，有，所以，.22．在直角中，，，為的中點，，分別為線段，上異于，的動點，且.(1)當(dāng)時，求的長度；(2)若為的中點，設(shè)，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)正弦定理求出，再利用余弦定理可求；（2）設(shè)，由正弦定理用表示出，把轉(zhuǎn)化為，結(jié)合三角恒等變換的知識可求范圍.【詳解】（1）在直角中，，，為的中點，所以，.在中，，，，根據(jù)正弦定理，得.在中，，同理，由正弦定理可得.在中，，，，根據(jù)余弦定理，得，所以.（2）在中，，，，根據(jù)正弦定理，得.同理，在中，.因為，所以，?（用積化和差化簡不扣分）因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以的取值范圍為. 

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