2022-2023學(xué)年江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知向量，且//，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A．或 B． C．或 D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)表示分析運(yùn)算.【詳解】顯然，若//，則，可得，解得.故選：D.2．已知兩平面的法向量分別為，，則兩平面所成的二面角的正弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意求得，設(shè)兩平面所成的二面角為，求得，即可求解.【詳解】由兩平面的法向量分別為，，可得，設(shè)兩平面所成的二面角為，其中，可得.即兩平面所成的二面角的正弦值為.故選：B.3．如圖，用4種不同的顏色給圖中四塊區(qū)域涂色，若相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)區(qū)域同色和不同色分類討論即可得.【詳解】區(qū)域同色的方法數(shù)為區(qū)域不同色的方法數(shù)為，總的方法數(shù)為．故選：C．4．將邊長為的正方形（及其內(nèi)部）繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長為，長為，其中與在平面的同側(cè).則異面直線與所成的角的大小為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可計(jì)算出異面直線與所成的余弦值，即可得解.【詳解】以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、.所以，，則，所以.因此，異面直線與所成的角為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量法求解異面直線所成角的大小，考查計(jì)算能力，屬于中等題.5．2023年五一假期，小明同學(xué)外出去某超市購物，獲得了該超市的一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，小明需從9個(gè)外觀完全相同的盲盒中，隨機(jī)抽取3個(gè)，已知這9個(gè)盲盒中有3個(gè)盲盒各裝有1支完全相同的鋼筆，另外6個(gè)盲盒中各裝有不同的1個(gè)小飾品，則拆開選取的3個(gè)盲盒后，小明收獲獎(jiǎng)品的所有情形的種類有（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)裝有相同鋼筆的3個(gè)盲盒抽取的個(gè)數(shù)分類討論可得.【詳解】由題意裝有相同鋼筆的3個(gè)盲盒抽取的個(gè)數(shù)分別為,因此小明收獲獎(jiǎng)品的所有情形的種類個(gè)數(shù)為.故選：C．6．如圖，在三棱柱中，與相交于點(diǎn)，，，，，，則線段的長度為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用空間向量的數(shù)量積求模即可.【詳解】由圖形易得，所以， 即.故選：A7．已知函數(shù)若方程恰好有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】題意說明直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn)，由時(shí)，它們一定有且只有一個(gè)交點(diǎn)，因此直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，求出它們相切時(shí)的值后可得結(jié)論．【詳解】作出函數(shù)的圖象（示意圖），如圖，作直線，時(shí)，是增函數(shù)，且，由圖可知直線與始終有一個(gè)交點(diǎn)，即對任意值都有一個(gè)負(fù)根，由題意直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，的導(dǎo)函數(shù)為，由得，，所以，由圖形知，即，故選：D．8．已知正方形的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上．若正方形唯一確定，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】法一：設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，討論得到不合要求，即，分別聯(lián)立曲線方程，得到，，再根據(jù)得到，換元后必有有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，由，解得，檢驗(yàn)后得到答案.法二：設(shè)出，表達(dá)出，代入曲線方程，得到，由基本不等式得到的范圍，并結(jié)合題意得到實(shí)數(shù)的值.【詳解】法一：因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，為其中心，所以⊥于點(diǎn)，且，不妨設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，則，當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增，與僅有1個(gè)交點(diǎn)為原點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立直線與曲線方程，得到，解得，聯(lián)立直線與曲線方程，得到，解得，因?yàn)?/span>，所以，整理得，即，設(shè)，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?/span>R，要使符合題意的正方形只有1個(gè)，則必有有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即，解得，正根舍去，此時(shí)，解得，負(fù)根舍去，所以；法二：不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，且四點(diǎn)逆時(shí)針排布，設(shè)，，則，由題意得兩點(diǎn)存在曲線上，所以，由①得，由②得，聯(lián)立兩式得，因?yàn)?/span>，，故，，又，所以只有時(shí)，才能使得兩式恒成立，故，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，由題意，有唯一解，故.故選：C【點(diǎn)睛】正方形唯一性轉(zhuǎn)化為根的個(gè)數(shù)問題，再結(jié)合問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號(hào)，隱零點(diǎn)的探索、參數(shù)的分類討論等）進(jìn)行求解，需要學(xué)生對多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考的地方 二、多選題9．若，則正整數(shù)的值是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由組合數(shù)的性質(zhì)得到，列出方程，求出答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，即或，解得或3，經(jīng)檢驗(yàn)均滿足要求.故選：AC10．有甲、乙、丙等6名同學(xué)，則說法正確的是（    ）A．6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，則不同的排法種數(shù)為480B．6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位，則不同的站法種數(shù)為240C．6名同學(xué)平均分成三組到A、B、C工廠參觀（每個(gè)工廠都有人），則有90種不同的安排方法D．6名同學(xué)分成三組參加不同的活動(dòng)，甲、乙、丙在一起，則不同的分組方法有6種【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，利用插空法求解甲、乙兩人不相鄰的排法；B選項(xiàng)，利用倍縮法求解；C選項(xiàng)，先進(jìn)行平均分組，再進(jìn)行全排列，得到答案；D選項(xiàng)，先將除甲、乙、丙外的剩余3人分組，再進(jìn)行全排列，得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，先將除甲、乙外的4人進(jìn)行全排列，有種排法，再將甲、乙兩人插空，有種排法，則共有種不同的排法，A正確；B選項(xiàng)，6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位，可用倍縮法進(jìn)行求解，即種不同的站法，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，6名同學(xué)平均分成三組到A、B、C工廠參觀（每個(gè)工廠都有人），則有種不同的安排方法，C正確；D選項(xiàng)，6名同學(xué)分成三組參加不同的活動(dòng)，甲、乙、丙在一起，若還有一位同學(xué)與他們一組，共有種分法；若三組同學(xué)分為3人一組，2人一組和1人一組，先將除甲、乙、丙外的剩余3人分為兩組，有種分法；共有種分組方法，D正確.故選：ACD11．初等函數(shù)是由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算及有限次的復(fù)合產(chǎn)生的，且能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)，如函數(shù)，我們可作變形：，所以可看作是由函數(shù)和復(fù)合而成的，即為初等函數(shù)，已知初等函數(shù)，，則（    ）A．極小值點(diǎn)為B．極小值為1C．D．直線是曲線與的一條公切線【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷．【詳解】，設(shè)，即，則，，同理，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，A正確；時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以有極大值為，無極小值，B錯(cuò)誤；，時(shí)，，，，；時(shí)，，即；時(shí)，，， ，所以時(shí)，，所以，C正確；由C知，又，所以直線即直線是曲線的切線也是曲線的切線，即為它們的一條公切線，D正確．故選：ACD．12．如圖①，在矩形中，，為的中點(diǎn)將沿直線翻折至的位置，使得平面平面，如圖②所示，下列說法法正確的有（    ）A．平面平面B．異面直線與所成角的余弦值為C．點(diǎn)到平面的距離為D．二兩角的正弦值為【答案】ABD【分析】對于A項(xiàng)，通過勾股定理證得，再結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，再運(yùn)用面面垂直的判定定理證得平面平面.建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用異面直線所成角公式、點(diǎn)到面的距離公式及二面角公式計(jì)算可分別判定B項(xiàng)、C項(xiàng)、D項(xiàng).【詳解】對于A項(xiàng)，如圖所示，在中，，所以，在中，，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以，又因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)?/span>平面，所以面平面，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，取BE中點(diǎn)M，AB中點(diǎn)N，連接、，則，，由A項(xiàng)知，平面，所以平面，所以以點(diǎn)M為原點(diǎn)，分別以、、為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，所以，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，因?yàn)?/span>，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，，所以，所以點(diǎn)B到平面的距離為，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，由C項(xiàng)知，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面一個(gè)法向量為，又，則，取，則，，所以，所以，所以，所以二面角的正弦值為，故D項(xiàng)正確.故選：ABD. 三、填空題13．回文聯(lián)是我國對聯(lián)中的一種.用回文形式寫成的對聯(lián)，既可順讀，也可倒讀，不僅意思不變，而且頗具趣味.相傳，清代北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯(lián):“客上天然居，居然天上客;人過大佛寺，寺佛大過人.”在數(shù)學(xué)中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個(gè)數(shù)的自然數(shù)，稱之為:“回文數(shù)”.如44，585，2662 等，那么用數(shù)字1，2，3， 4，5，6可以組成4位“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)為_______.【答案】【解析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①4位“回文數(shù)”中數(shù)字全部相同，②4位“回文數(shù)”中有2個(gè)不同的數(shù)字，求出每種情況下4位“回文數(shù)”的數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：①4位“回文數(shù)”中數(shù)字全部相同，有6種情況，即此時(shí)有6個(gè)4位“回文數(shù)”；②4位“回文數(shù)”中有2個(gè)不同的數(shù)字，有種情況，即此時(shí)有30個(gè)4位“回文數(shù)”；則一共有個(gè)4位“回文數(shù)”；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，關(guān)鍵是理解“回文數(shù)”的定義，屬于基礎(chǔ)題．14．有一道路網(wǎng)如圖所示，通過這一路網(wǎng)從A點(diǎn)出發(fā)不經(jīng)過C、D點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的最短路徑有___________種.【答案】24【分析】根據(jù)已知，要想避開C、D點(diǎn)，需分步考慮.得到每一步的方法種類，用分步計(jì)數(shù)原理乘起來即可得出答案.【詳解】如圖，由已知可得，應(yīng)從點(diǎn)，先到點(diǎn)，再到點(diǎn)，最后經(jīng)點(diǎn)到點(diǎn)即可.第一步：由點(diǎn)到點(diǎn)，最短路徑為4步，最短路徑方法種類為；第二步：由點(diǎn)到點(diǎn)，最短路徑為3步，最短路徑方法種類為；第三步：由點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)到點(diǎn)，最短路徑為3步，最短路徑方法種類為.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，最短路徑有種.故答案為：24.15．在正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足//平面，若該正方體的棱長為，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為__________.【答案】【分析】根據(jù)線面平行分析可得：點(diǎn)在線段上，結(jié)合異面直線的距離以及垂直關(guān)系分析運(yùn)算.【詳解】因?yàn)?/span>//，，所以為平行四邊形，則//，平面，平面，可得//平面，故點(diǎn)在線段上（點(diǎn)除外），點(diǎn)到直線的距離的最小值為異面直線之間的距離，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)，可得，則，令，解得，即，此時(shí)，符合題意，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故答案為：.16．若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.【答案】.【分析】令，不等式轉(zhuǎn)化為在恒成立，令，求得，當(dāng)時(shí)，得到單調(diào)遞增，結(jié)合時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，求得函數(shù)單調(diào)性和最小值，得到，即可求解.【詳解】令，由時(shí)，可得，則，則不等式，即為在恒成立，令，可得，當(dāng)時(shí)，可得，可得單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>時(shí)，，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，即為最小值，因?yàn)椴坏仁?/span>恒成立，即為恒成立，則滿足，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：. 四、解答題17．已知數(shù)列滿足，（）.記(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由等比數(shù)列定義證明即可；（2）使用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）由已知，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴易知數(shù)列中任意一項(xiàng)不為，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由第（1）問，，∴，∴設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則①，①得，②，①②得，，∴，∴.∴數(shù)列的前項(xiàng)和為.18．如圖，在四棱錐中，平面，底面是平行四邊形，，，.(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見詳解；(2) 【分析】（1）由線線垂直證線面垂直即，即可證明結(jié)論；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>平面，平面，所以，，又，PA、PD平面PAD，，所以平面，而平面，所以，DC、PD平面PAD，，所以平面；（2）由（1）知PD、DA、DC兩兩垂直，如圖所示以D為中心建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)面PBC的一個(gè)法向量為，則有，即，令，則，即設(shè)直線與平面所成角為，則.19．已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，.(1)求角的大小；(2)若，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理得到，因?yàn)?/span>，求得，進(jìn)而求得，即可求得的大小；（2）在中，由余弦定理求得，再由，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，求得，再在中，求得，得到，進(jìn)而得到，分別在和中，求得，，利用余弦定理求得，進(jìn)而求得的值.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>，可得，由正弦定理得，可得，又因?yàn)?/span>，可得，則，因?yàn)?/span>，所以，可得，所以，又因?yàn)?/span>，可得，所以.（2）解：在中，因?yàn)?/span>且，由余弦定理得，即，即，解得或（舍去），設(shè)，因?yàn)?/span>，可得，所以，所以，即，又因?yàn)?/span>，所以，所以，在中，可得，可得，因?yàn)?/span>，所以，在中，可得，所以，在中，可得，所以，在中，可得，所以20．如圖，已知在三棱柱中，，，，，平面平面.(1)求與所成角的余弦值；(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使得二而角的余弦值為？若存在，求 出的值，若不存在，說明理由．【答案】(1)；(2)存在，且． 【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求異面直線所成的角；（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)（，由空間向量法求二面角得值，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，，，所以，所以，，，以為軸，平面內(nèi)，過與垂直的直線為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以與所成角的余弦值是；（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)（，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取，則，，即，，解得或（舍去），由圖可知當(dāng)，二面角是鈍二面角，滿足題意，此時(shí)．21．已知，為實(shí)數(shù)．(1)若，求的值，并討論的單調(diào)性；(2)若時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，若，且在處取極值，求證：【答案】(1)，的減區(qū)間是，增區(qū)間是；(2)；(3)證明見解析． 【分析】（1）求出，由得，再利用得減區(qū)間，得增區(qū)間，（2）由，在時(shí)恒成立得存在，在上單調(diào)遞增，即恒成立，由此，得必要條件，然后證明其也是充分條件即可得參數(shù)范圍；（3）利用導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性與極值，得，不妨設(shè)有，從而，因此問題轉(zhuǎn)化為只要證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明（需要多次求導(dǎo)），從而得出證明．【詳解】（1）由題意，，，即，顯然時(shí)，，單調(diào)遞減，令（），則，易知時(shí)，，單調(diào)遞增，，所以單調(diào)遞增，所以的減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2），，因此由題意知存在，在上單調(diào)遞增，即恒成立，從而，所以，下證時(shí)，時(shí)，恒成立，由（1）知時(shí)，時(shí)，恒成立，時(shí)，由得，因此恒成立，綜上，的取值范圍是；（3），，，由（1）知在上是增函數(shù)，，，所以存在，使得，在上，單調(diào)遞增，在即在上，，單調(diào)遞增，是的極值點(diǎn)（極小值點(diǎn)），．，則，又，因此在時(shí)存在，值得，所以由，不妨設(shè)，則，要證，即證，因?yàn)?/span>，所以，由在上單調(diào)遞增，且，因此只要證，設(shè)，，，令，則，設(shè)，則，是增函數(shù)，即是增函數(shù)，，所以即是減函數(shù)，，所以是增函數(shù)，從而，所以，即成立，綜上，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明與函數(shù)的極值點(diǎn)、方程的根有關(guān)的不等式的方法，一般利用導(dǎo)數(shù)確定極值點(diǎn)的范圍，確定相應(yīng)方程根的存在性與范圍，同時(shí)不妨設(shè)，本題中得出，這樣要證明的不等式變形為，結(jié)合在的單調(diào)增區(qū)間上，因此不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式，然后由方程根轉(zhuǎn)化為，達(dá)到了消元的目的，然后再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明成立，從而得出結(jié)論． 

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江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）：

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【期中真題】江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題.zip：

這是一份【期中真題】江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題.zip，文件包含期中真題江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題原卷版docx、期中真題江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共22頁， 歡迎下載使用。

江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（Word版附解析）：

這是一份江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（Word版附解析），共26頁。

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