濮陽市一高2022級高一上學期期末考試數(shù)學試題一、單選題（每小題5分，共40分，每小題給出的選項中只有一項是符合要求的）1. 若集合，集合，則圖中陰影部分表示（）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】，陰影部分表示，計算得到答案.【詳解】，或.陰影部分表示.故選：A2（）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先算出的值，然后利用對數(shù)運算進行化簡即可【詳解】因為，所以故選：A3. 設(shè)，，，則（）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】因為，，.故.故選：A.4. 若（且）在R上為增函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定單調(diào)性求出a的取值范圍，再求出函數(shù)的定義域，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解作答.【詳解】且，函數(shù)與在R上有相同的單調(diào)性，即函數(shù)與函數(shù)在R上有相同的單調(diào)性，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，在中，，解得或，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B5. 函數(shù)在的最大值為7，最小值為3，則ab為（）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)區(qū)間的定義以及的有界性確定的范圍，然后再利用正切函數(shù)的單調(diào)性得到的單調(diào)性，再代入相應(yīng)端點值及對應(yīng)的最值得到相應(yīng)的方程，解出即可.【詳解】，，，根據(jù)函數(shù)在的最大值為7,最小值為3，所以，即，根據(jù)正切函數(shù)在為單調(diào)增函數(shù)，則，在上單調(diào)減函數(shù)，，，則，，，，，故選：B.6. 已知，則（）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先將已知等式整理化簡成一個三角函數(shù)形式，再利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為余弦二倍角公式求解.【詳解】∵，∴.故選：B．7. 已知實數(shù)，且，則的最小值是（）A. 21 B. 25 C. 29 D. 33【答案】A【解析】【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】∵，等式恒成立，∴，由于，所以∵，當且僅當時，即時取等號．∴，∴，故的最小值為21．故選：A8. 形如的函數(shù)，因其圖象類似于漢字“囧”，故被稱為“囧函數(shù)”，則下列說法中正確的個數(shù)為（）①函數(shù)的定義域為；②；③函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；④當時，；⑤方程有四個不同的根（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】A【解析】【分析】由求定義域、將自變量代入求值判斷①②，應(yīng)用特殊值得，，即可判斷③，寫出分段函數(shù)形式研究其單調(diào)性，進而求值域即可判斷④，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合判斷與在上交點個數(shù)即可判斷⑤.【詳解】①由解析式知：，所以，故定義域為，錯誤；②，所以，正確；③由解析式知：，，即，故的圖象不關(guān)于對稱，錯誤；④由，所以有，在上遞增，上遞減，則上，上，故值域為，所以，正確；⑤有兩個根，即與在上有四個交點，在上遞增且值域為；在上遞增且值域為；在上遞減且值域為；在上遞減且值域為；而在上遞減，上遞增且值域為，所以它們的函數(shù)圖象如下圖示：由圖知：與在上有四個交點，正確.正確的命題有②④⑤.故選：A二、多選題（每小題5分，共20分，每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部都選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）9. 在下列命題中，真命題有（）A. ，使為約數(shù)B. ，C. 存在銳角，使D. 已知，，則對于，都有【答案】AB【解析】【分析】對于A，根據(jù)約數(shù)定義即可判斷；對于B，利用函數(shù)開口方向，結(jié)合符號即可判斷；對于C，利用正弦函數(shù)的值域即可判斷；對于D，為偶數(shù)，為3的倍數(shù)，結(jié)合交集的定義即可判斷【詳解】對于A，的約數(shù)有：、，故A為真命題；對于B，函數(shù)開口向上，且，所以函數(shù)圖像在x軸上方，故B為真命題；對于C，因為，故C為假命題；對與D，當，為偶數(shù)，為3的倍數(shù)，故存在使，故D為假命題.故選：AB10. 下列說法中正確的是（）A. 若是第二象限角，則點在第三象限B. 圓心角為，半徑為2的扇形面積為2C. 利用二分法求方程的近似解，可以取的一個區(qū)間是D. 若，且，則【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)任意角的定義、扇形面積的計算公式、二分法以及之間的關(guān)系，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：若是第二象限角，則，故點在第三象限，則正確；對：根據(jù)題意，扇形面積，故正確；對：對，當時，，當時，，故可以取的一個區(qū)間是，則正確；對D：，且，則，解得，則，故D錯誤；故選：ABC.11. 已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且對：有.當時，.則下列說法正確的是（）A.  B. 的最大值為1C.  D. 為偶函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，判斷函數(shù)的周期性、對稱性、奇偶性，利用函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)值.【詳解】解：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，，即，對有，函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱，所以，，所以，所以，，即，的周期，選項A正確；因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)是偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，所以選項D正確；當時，，，當時，，，即，又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，在一個周期上，，在上的最大值為2，選項B不正確；，選項C正確.故選：ACD.12. 在數(shù)學史上，為了三角計算的簡便并且更加追求計算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過下列兩種三角函數(shù):定義為角的正矢，記作，定義為角的余矢，記作，則下列命題中正確的是（）A. 函數(shù)在上是減函數(shù)B. 函數(shù)的最小正周期為C. D. 【答案】AC【解析】【分析】由余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷A選項；驗證得，可判斷B選項；由定義的誘導(dǎo)公式可判斷C選項；取，代入驗證可判斷D選項.【詳解】因為，而在上是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，故A正確；函數(shù)，所以，所以B錯誤；，故C正確；取，，，所以，故D錯誤,故選：AC.【點睛】本題考查函數(shù)的新定義，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)間的關(guān)系，余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.三、填空題（每小題5分，共20分）13. 已知，則__________．【答案】【解析】【分析】將已知條件兩邊平方，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可求值.【詳解】由，所以.故答案為：14. 已知冪函數(shù)的圖象過點，則的值為___________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)函數(shù)過點求出，即可得到函數(shù)解析式，再代入計算可得.【詳解】解：設(shè)，則，所以，所以，所以.故答案為：15. 已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】由二次函數(shù)性質(zhì)與對勾函數(shù)性質(zhì)列式求解【詳解】對稱軸為，，當時，在上單調(diào)遞減，由題意得，解得，故答案為：16. 已知函數(shù)，若，且在上有最小值但無最大值，則的值為__________.【答案】【解析】【分析】由在上有最小值無最大值可知：，進而得、得范圍，所以當時，結(jié)合在上有最小值無最大值，可得與關(guān)于對稱，列式可求得結(jié)果.【詳解】∵，∴①又∵在上有最小值無最大值，②∴即：又因為所以.∴，③∴結(jié)合圖象，由②③得：，④∴由①④得：解得：故答案為：.四、解答題（本題共4小題，40分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17. （1）；（2）.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算法則，化簡計算，可得答案；（2）根據(jù)對數(shù)的運算法則，化簡計算，可得答案.【詳解】（1）；（2） .18. 函數(shù)，（1）求函數(shù)的定義域；（2）求函數(shù)的零點；（3）若函數(shù)的最小值為，求的值【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域求解即可；（2）根據(jù)零點的定義結(jié)合對數(shù)的基本運算即可求解；（3）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】解：要使函數(shù)有意義，則，解得：所以函數(shù)的定義域為：【小問2詳解】解：令，得：即解得：因為所以函數(shù)零點為.【小問3詳解】解：且函數(shù)的最小值為即，得即.19. 已知函數(shù)，0?ω?4，且．（1）求ω的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間的最小值和最大值．【答案】（1），，（2）最小值－1；最大值2．【解析】【分析】（1）利用二倍角公式化簡可得，再由可得，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得答案；（2）根據(jù)的范圍和正弦函數(shù)值域可得答案．【小問1詳解】，由知，則，或，，所以，或，，又，則，所以，令，，則，，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)為，；【小問2詳解】由（1）知，，則，當，即時，函數(shù)有最小值－1；當，即時，函數(shù)有最大值2．20. 如圖所示，ABCD是一塊邊長為4米的正方形鐵皮，其中AMN是一個半徑為3米的扇形，已經(jīng)被腐蝕不能使用，其余部分可以利用．工人師傅想在未被腐蝕的部分截下一個長方形鐵皮PQCR（其中P在上，Q、R分別在邊BC和CD上）．設(shè)，長方形PQCR的面積為S平方米．（1）求S關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出S的最大值；（2）若S取最大值時，求的值．【答案】（1），S的最大值是4.（2）0或1【解析】【分析】（1）利用，表達出矩形兩邊長，列出S關(guān)于的函數(shù)解析式，換元后，利用二次函數(shù)求出最大值；（2）在第一問基礎(chǔ)上，求出此時或，從而求出.【小問1詳解】延長RP交AB于點H，則，所以，所以，令，則，其中，所以，對稱軸為，故當時，取得最大值，最大值為4【小問2詳解】由（1）可知，此時或，當時，；當時，，所以的值為0或1      
 

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