2022~2023學(xué)年第二學(xué)期期末調(diào)研考試高一數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1. 已知向量，，若，則λ=（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，解得.故選：D2. 某圓臺(tái)上底面和下底面的面積分別為4，9，高為3，則該圓臺(tái)的體積為（    ）A. 19 B. 19π C. 57 D. 57π【答案】A【解析】【分析】由圓臺(tái)的體積公式即可求解.【詳解】記圓臺(tái)上底面和下底面的面積分別為，高為，則圓臺(tái)的體積.故選：A3. 根據(jù)河北省第七次全國人口普查結(jié)果，2020年11月1日零時(shí)全省各地區(qū)的人口數(shù)據(jù)如下表所示，則這14個(gè)地區(qū)的數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為（    ）地區(qū)石家莊唐山秦皇島邯鄲邢臺(tái)保定張家口人口數(shù)10640458771798331368799413990711110692426104118908地區(qū)承德滄州廊坊衡水定州辛集雄安新區(qū)人口數(shù)335444473007835464087421293310959865946281205440 A. 1095986 B. 7717983 C. 9242610 D. 9413990【答案】C【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義即可求解.【詳解】這14個(gè)地區(qū)的數(shù)據(jù)從小到大排列如下：594628，1095986，1205440，3136879，3354444，4118908，4212933，5464087，7111106，7300783，7717983，9242610，9413990，10640458，因?yàn)?/span>，所以這14個(gè)地區(qū)的數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為為第個(gè)數(shù)據(jù)，即9242610.故選：C4. 已知為平面外一點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（    ）A. 過點(diǎn)只能作一個(gè)平面與平行 B. 過點(diǎn)可以作無數(shù)條直線與平行C. 過點(diǎn)只能作一個(gè)平面與垂直 D. 過點(diǎn)只能作一條直線與垂直【答案】C【解析】【分析】利用空間中線與面的平行關(guān)系與垂直關(guān)系進(jìn)行判斷即可.詳解】過平面外一點(diǎn)只能作一個(gè)平面與平行，故A正確；平面外一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線與平行，故B正確；平面外一點(diǎn)只能作一條直線與垂直，故D正確；平面外一點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)平面與垂直，故C錯(cuò)誤.故選：C.5. 小方將在下周一到周六任選兩天參加社區(qū)的羽毛球活動(dòng)，則他選擇的兩天恰好是相鄰的兩天的概率為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由古典概型公式計(jì)算即可.【詳解】小方在下周一到周六任選兩天參加社區(qū)的羽毛球活動(dòng)，共有種不同的選擇方法，其中兩天恰好是相鄰的兩天的有5種，故他選擇的兩天恰好是相鄰的兩天的概率為.故選：B6. 某正三棱柱的側(cè)棱長是，底面邊長是，且每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理可求得底面三角形外接圓半徑，根據(jù)正三棱柱外接球半徑可求得外接球半徑，代入球的表面積公式即可.【詳解】正三棱柱底面邊長為，底面三角形外接圓半徑，又正三棱柱的側(cè)棱長為，即正三棱柱的高，球的半徑，球的表面積.故選：D.7. 明孝陵位于江蘇省南京市玄武區(qū)紫金山南麓獨(dú)龍阜玩珠峰下，東毗中山陵，南臨梅花山，位于鐘山風(fēng)景名勝區(qū)內(nèi)，其占地面積達(dá)170余萬平方米，是中國規(guī)模最大的帝王陵寢之一．明孝陵景區(qū)共有8個(gè)門，1號(hào)門位于植物園路，4號(hào)門在1號(hào)門的南偏東53°48′的492m處，8號(hào)門在4號(hào)門的東偏北75°48′方向，且1號(hào)門在8號(hào)門的西偏南63°18′方向，則1號(hào)門到8號(hào)門的距離約為（參考數(shù)據(jù)：sin68°≈0.927，sin53°48′≈0.807，sin12°30′≈0.216，sin75°48′≈0.969）（    ）A. 2112m B. 2107m C. 2105m D. 2109m【答案】A【解析】【分析】記1號(hào)門的位置為A，4號(hào)門的位置為B，8號(hào)門的位置為C，由題意可得，，再結(jié)合正弦定理即可求解.【詳解】記1號(hào)門的位置為A，4號(hào)門的位置為B，8號(hào)門的位置為C，則根據(jù)條件可得，.由正弦定理可得，得.故選：A8. 已知為的外心，且．若向量在向量上的投影向量為，則的最小值為（    ）A.  B.  C.  D. 0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件可得為直角三角形且為斜邊的中點(diǎn)，用向量的數(shù)量積計(jì)算可得，再根據(jù)二次函數(shù)的最值可求的最小值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，即，所以三點(diǎn)共線，又為的外心，所以為直角三角形，且，為斜邊的中點(diǎn)，，，過作的垂線，垂足為，如圖：則向量在向量上的投影向量為，且，  ，，所以，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)取得最小值為.故選：B二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 已知復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為D，則（    ）A. 點(diǎn)A在第二象限 B. C.  D. 點(diǎn)D的坐標(biāo)為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，求得的坐標(biāo)即可判斷；對(duì)于B，求得的坐標(biāo)，從而可求得即可判斷；對(duì)于C，分別計(jì)算的模即可判斷；對(duì)于D，先計(jì)算，再求得的坐標(biāo)即可判斷.【詳解】對(duì)于A，，所以點(diǎn)A在第二象限，A對(duì)；對(duì)于B，，所以，所以，B錯(cuò)；對(duì)于C，，，所以，C對(duì)；對(duì)于D，，所以，D對(duì).故選：ACD10. 一副撲克牌去掉大王和小王后，共52張，各4張，從撲克牌中隨機(jī)取出1張，“取出的牌為10”，“取出的牌為紅桃”，“取出的牌為黑桃9”，則（    ）A. M與N互斥 B. M與P互斥C. M與N相互獨(dú)立 D. N與P對(duì)立【答案】BC【解析】【分析】利用互斥事件、獨(dú)立事件與對(duì)立事件的定義與概率公式逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?/span>“取出的牌為10”，“取出的牌為紅桃”，“取出的牌為黑桃9”，所以與可以同時(shí)發(fā)生，與不能同時(shí)發(fā)生，所以與不互斥，與互斥，故錯(cuò)誤，正確；因?yàn)?/span>，所以，故C正確；因?yàn)?/span>與的并事件不是全事件，所以與不對(duì)立，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11. 為了研究網(wǎng)民的上網(wǎng)習(xí)慣，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在歲到歲的網(wǎng)民進(jìn)行問卷調(diào)查，按年齡分為組，即，并繪制出頻率分布直方圖，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（    ）  A. 若按分層抽樣的方法，從上述網(wǎng)民中抽取人做采訪，其中年齡在被抽取的人數(shù)為，則B. 上述網(wǎng)民的年齡的中位數(shù)的估計(jì)值為C. 若按分層抽樣的方法，從上述網(wǎng)民中抽取人做采訪，其中年齡在被抽取的人數(shù)為，則D. 上述網(wǎng)民的年齡的中位數(shù)的估計(jì)值為【答案】BC【解析】【分析】利用頻率和為可構(gòu)造方程求得的值，根據(jù)分層抽樣原則可構(gòu)造方程求得的值，知AC正誤；根據(jù)中位數(shù)的估計(jì)方法可知BD正誤.【詳解】，；對(duì)AC，年齡在對(duì)應(yīng)的頻率為，，A錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于BD，，，中位數(shù)位于之間，設(shè)中位數(shù)為，則，解得：，即中位數(shù)的估計(jì)值為，B正確，D錯(cuò)誤.
故選：BC.12. 已知正方體棱長為2，E，F分別是棱，的中點(diǎn)，P為底面ABCD內(nèi)（包括邊界）一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A. 若直線與平面沒有公共點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡長度為B. 若，則點(diǎn)P的軌跡長度為C. 二面角B—EF—D的正切值為D. 過E，F，C的平面截該正方體所得截面為五邊形【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)空間垂直和平行找到P的軌跡，可得A,B的正誤，利用定義求出二面角的正切值可得C的正誤，作出截面圖可得D的正誤.【詳解】對(duì)于A，連接，在正方體中，由可得四邊形為平行四邊形，所以；因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，同理可得平面，因，平面，所以平面平面；因?yàn)橹本€與平面沒有公共點(diǎn)，所以點(diǎn)P的軌跡線段，其長度為，A正確.  對(duì)于B，取的中點(diǎn)，連接，設(shè)交于點(diǎn)，在正方形中，與全等，所以，所以，即；又分別為中點(diǎn)，所以平面，而平面，所以；因?yàn)?/span>，所以平面.因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)P的軌跡線段，其長度為，B不正確.  對(duì)于C，延長，延長交的延長線于，過點(diǎn)作于，連接，由正方體的性質(zhì)可得平面，平面，所以；因?yàn)?/span>，，所以平面，所以；所以為二面角的平面角；在直角三角形中，，所以；在直角三角形中，，所以，C正確.  對(duì)于D，延長，利用延長線與的交點(diǎn)作出截面圖，如圖，五邊形即為過E，F，C的平面截該正方體所得截面，D正確.      故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13. 將三組數(shù)據(jù)繪制成如下的折線圖，則這三組數(shù)據(jù)中，______組數(shù)據(jù)的方差最小．    【答案】【解析】【分析】根據(jù)折線圖可計(jì)算得到三組數(shù)據(jù)平均數(shù)相同，根據(jù)數(shù)據(jù)波動(dòng)程度可得到結(jié)論.【詳解】組數(shù)據(jù)的平均數(shù)均為，組數(shù)據(jù)相對(duì)于平均數(shù)的波動(dòng)程度最小，組數(shù)據(jù)的方差最小.故答案為：.14. 在菱形中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，且點(diǎn)A在第四象限，則的值為______．【答案】【解析】【分析】先利用兩點(diǎn)距離公式求得點(diǎn)坐標(biāo)，再利用向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算即可得解.【詳解】在菱形中，，，因?yàn)?/span>，所以，解得，  又點(diǎn)在第四象限，所以，則，所以，，則，故.故答案為：.15. 刻畫空間彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用“曲率”刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制）．例如，正四面體的每個(gè)頂點(diǎn)有個(gè)面角，每個(gè)面角為，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為．在底面為矩形的四棱錐中，底面，，與底面所成的角為，在四棱錐中，頂點(diǎn)的曲率為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)線面角定義可知，設(shè)，可求得所需的側(cè)棱長和底面邊長；根據(jù)長度關(guān)系和垂直關(guān)系可確定點(diǎn)處的三個(gè)面角的大小，根據(jù)曲率定義可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，平面，即為與底面所成角，即，，，，，；平面，平面，，又，，平面，平面，平面，，即，又，頂點(diǎn)的曲率為.故答案：.16. 在中，，D為邊上一點(diǎn)，，且，則面積的最小值是______．【答案】【解析】【分析】由可得，由正弦定理得，從而可得，即，從而可得，再利用基本不等式可得，再結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【詳解】  在中，，且，所以 ，因?yàn)?/span>，在中，由正弦定理得，，解得所以，所以.因?yàn)?/span>，即，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，因?yàn)?/span>的面積,所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：由題意求得， ，解題關(guān)鍵要能發(fā)現(xiàn)，再利用基本不等式可得，再結(jié)合三角形的面積公式即可求解.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 已知復(fù)數(shù)，．（1）若為純虛數(shù)，求m；（2）若，求的實(shí)部與虛部之和．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先計(jì)算，從而可得，求解即可；（2）由題意可得，解得，從而可計(jì)算，進(jìn)而可求解.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，所以，由為純虛數(shù)，得，解得.故.【小問2詳解】由（1）可知，由，得，解得.則，所以，所以的實(shí)部為1，虛部為5，即實(shí)部與虛部之和為.18. 甲、乙兩名大學(xué)生參加面試時(shí)，10位評(píng)委評(píng)定的分?jǐn)?shù)如下．甲：93，91，80，92，95，89，88，97，95，93．乙：90，92，88，92，90，90，84，96，94，92．（1）若去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后再計(jì)算平均分，通過計(jì)算比較甲、乙面試分?jǐn)?shù)的平均分的高低．（2）在（1）的前提下，以面試的平均分作為面試的分?jǐn)?shù)，筆試分?jǐn)?shù)和面試分?jǐn)?shù)的加權(quán)比為，已知甲、乙的筆試分?jǐn)?shù)分別為92，94，綜合筆試和面試的分?jǐn)?shù)，從甲、乙兩人中錄取一人，你認(rèn)為應(yīng)該錄取誰？說明你的理由．【答案】（1）甲的面試分?jǐn)?shù)的平均分更高    （2）乙的綜合分?jǐn)?shù)更高，故應(yīng)該錄取乙【解析】【分析】（1）利用平均數(shù)的計(jì)算方法求解比較即可；（2）利用加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法求解比較即可.【小問1詳解】依題意，設(shè)甲、乙面試分?jǐn)?shù)的平均分分別為，，，因?yàn)?/span>，所以甲的面試分?jǐn)?shù)的平均分更高.【小問2詳解】因?yàn)楣P試分?jǐn)?shù)和面試分?jǐn)?shù)的加權(quán)比為，所以甲的綜合分?jǐn)?shù)為，乙的綜合分?jǐn)?shù)為，因?yàn)?/span>，所以乙的綜合分?jǐn)?shù)更高，故應(yīng)該錄取乙.19. 在中，角的對(duì)邊分別為，且，（1）求角B的大小；（2）若的面積為，且，求的周長.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)的恒等變換與正弦定理的邊角變換化簡題設(shè)條件，從而得解；（2）利用三角形面積公式與余弦定理得到與，從而求得，由此得解.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，所以，即.由正弦定理得，即，即.又，則，所以，則.【小問2詳解】由的面積為，得，則，由余弦定理得，代入，得，則，故的周長為.20. 如圖，在四棱錐中，平面，底面為等腰梯形，，，，，分別為的中點(diǎn)，  （1）證明：平面ADP，（2）從下面①②兩個(gè)問題中任意選擇一個(gè)解答，如果兩個(gè)都解答，則按第一個(gè)計(jì)分，①求點(diǎn)到平面的距離，②求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析    （2）①；②【解析】【分析】（1）利用線線平行的傳遞性證得四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可得證；（2）①②利用等腰梯形與勾股定理求得所需線段長，從而求得所需三角形面積，再利用等體積法即可得解.【小問1詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，  因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，且，且，且，四邊形為平行四邊形，，平面平面，平面.【小問2詳解】選①，如圖，連接，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，因?yàn)榈酌?/span>為等腰梯形，，，，，則，，，平面面，，，同理，， ，，所以在中，，又，則，所以，平面點(diǎn)到平面距離等于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)到平面的距離為，則由，得，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.選②如圖，連接，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，因?yàn)榈酌?/span>為等腰梯形，，，，，則，，，為正三角形，，平面面，，同理，，的面積為，為的中點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的2倍，設(shè)到平面的距離為，則由，得，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為，21. 甲、乙兩位隊(duì)員進(jìn)行棒球?qū)官悾烤忠来屋喠靼l(fā)球，連續(xù)贏2個(gè)球者獲勝，則對(duì)抗賽結(jié)束．不論誰發(fā)球，每個(gè)球必有輸贏．已知甲發(fā)球時(shí)甲贏的概率為，乙發(fā)球時(shí)乙贏的概率為，每次發(fā)球的結(jié)果互不影響，已知某局甲先發(fā)球．（1）求該局至多打4個(gè)球且甲贏的概率；（2）求該局恰好打6個(gè)球結(jié)束的概率．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）（2）分析對(duì)局情況，再利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求解即可.【小問1詳解】該局至多打4個(gè)球且甲贏的情況有3種，甲贏前2個(gè)球；甲輸?shù)?/span>1個(gè)球再連贏球；甲贏第1個(gè)球輸?shù)?/span>2個(gè)球再連贏2個(gè)球；故該局至多打4個(gè)球且甲贏的概率為.【小問2詳解】若甲勝，則甲在6個(gè)球的勝負(fù)情形為勝負(fù)勝負(fù)勝勝，則甲勝的概率，若乙勝，則甲在6個(gè)球的勝負(fù)情形為負(fù)勝負(fù)勝負(fù)負(fù)，則乙勝的概率所以該局恰好打6個(gè)球結(jié)束的概率.22. 如圖，在長方體中，點(diǎn)在平面的射影為．  （1）證明：為的垂心．（2）若，且點(diǎn)在平面的射影為點(diǎn)，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理即可得證；（2）利用線面垂直與面面垂直的判定與性質(zhì)定理，確定了點(diǎn)的位置，從而利用等體積法求得三棱錐的體積.【小問1詳解】因?yàn)?/span>平面，平面，所以，又點(diǎn)在平面的射影為，即平面，又平面，所以，因?yàn)?/span>，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以，同理可證，所以為的垂心.【小問2詳解】因?yàn)?/span>，所以，記的中點(diǎn)為，則也是的中點(diǎn)，，由（1）知，  由（1）知，又在正方形中，，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?/span>平面，過作交于，則平面，則平面，因?yàn)?/span>平面，所以與重合，在四邊形中，，因?yàn)辄c(diǎn)在平面的射影為，點(diǎn)在平面的射影為，所以，易知，所以，得，同理得，則，易知平面，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第2小問解決的關(guān)鍵是確定點(diǎn)在平面的射影的位置，從而得解.    

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