2022-2023學(xué)年山東省菏澤市高二下學(xué)期2月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．直線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積為（   ）A．6 B．3 C． D．【答案】B【分析】結(jié)合題意，先求得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo), 然后求解三角形的面積即可.【詳解】直線 中, 令 可得: , 令 可得: , 據(jù)此可得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為: , 則所求三角形的面積為:故選：B.2．已知空間直角坐標(biāo)系中的三點(diǎn)，，，則點(diǎn)A到直線的距離為（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由點(diǎn)A到直線的距離,向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【詳解】已知，，，所以 ，，點(diǎn)A到直線的距離為.故選：C.3．設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)漸近線方程求出a與b的關(guān)系即可.【詳解】雙曲線 的漸近線方程為： ，又 ；故選：A.4．點(diǎn)M與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比為，則點(diǎn)M的軌跡方程為（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)軌跡方程的求解方法列方程求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)M與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比為，所以，即，整理得，故選:C.5．若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，則的公差為（    ）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)與公比，公差的關(guān)系求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，又又，故選：A6．已知圓，直線，則圓C上到直線l的距離等于的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（   ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先確定圓的圓心坐標(biāo)與半徑, 再求出圓心到直線 的距離, 從而可得結(jié)論.【詳解】由題意, 圓心坐標(biāo)為 , 半徑為 , 圓心到直線 的距離為 , 圓 與直線 相交, 且圓 上與直線 的距離等于的點(diǎn)共有 3 個(gè). 故選: C.7．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)“九兒問甲歌”問題：一個(gè)公公九個(gè)兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．在這個(gè)問題中，記這位公公的第個(gè)兒子的年齡為，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得數(shù)列成等差數(shù)列，公差為-3，所以 選B.8．已知點(diǎn)F為橢圓的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓C上異于P，Q的一點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，且，若，則（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件先求出a，b，c之間的關(guān)系，再由幾何關(guān)系和余弦定理求解.【詳解】由于P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 設(shè) ， ，則有 ，又 點(diǎn)都在橢圓上， ， ， ，又 ，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為 ，連接 如下圖：因?yàn)樵c(diǎn)O平分線段PQ和 ，所以四邊形 是平行四邊形，依題意，設(shè) ，則 ，又 ， ，在 中，由余弦定理得 ， ；故選：B. 二、多選題9．下列結(jié)論正確的有（   ）A．過點(diǎn)，的直線的傾斜角為B．若直線與直線垂直，則C．已知，及x軸上的動(dòng)點(diǎn)P，則的最小值為5D．直線與直線之間的距離為【答案】ABD【分析】求出直線斜率判斷A；利用垂直關(guān)系求出a判斷B；利用對(duì)稱方法求出兩點(diǎn)的距離判斷C；求出平行間距離判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，直線的斜率，則直線的傾斜角為，A正確；對(duì)于B，直線與直線垂直，則，解得，B正確；對(duì)于C，關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)，在x軸上任取點(diǎn)，連接，如圖，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)取等號(hào)，因此，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線與直線平行，直線化為，管兩條直線間距離為，D正確.故選：ABD10．如圖，在平行六面體中，與交于點(diǎn)，且，，.則下列結(jié)論正確的有（   ）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由向量的分解和向量數(shù)量積公式、向量的求模公式即可判斷.【詳解】如圖，由題意得，，，，，對(duì)于選項(xiàng)A，所以，即.故選項(xiàng)A正確.對(duì)于選項(xiàng)B，故選項(xiàng)B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，所以即故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB11．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，若，則以下結(jié)論正確的有（   ）A． B．C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為 D．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為【答案】AD【分析】由數(shù)列前n項(xiàng)和的遞推公式，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，判斷選項(xiàng)的正誤.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，，兩式相減，得，，即，，又因?yàn)?/span>，所以，即，，所以，，兩式相減，得，即，，由題，，即，因?yàn)?/span>，得，，，得，所以，，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，，，故AD正確，BC錯(cuò)誤.故選：AD.12．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過拋物線上任意一點(diǎn)P作圓的切線，A為切點(diǎn)，且直線交拋物線于另一點(diǎn)Q，則下列結(jié)論正確的有（   ）A．的最小值為B．的取值范圍為C．三角形面積的最小值為D．連接，并延長，分別交拋物線于N，M兩點(diǎn)，設(shè)直線和直線的斜率分別為，，則【答案】ABD【分析】先求出圓C的圓心和半徑，以及F點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)圖中的幾何關(guān)系逐項(xiàng)分析.【詳解】對(duì)于圓C，標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，所以圓心 ，半徑 ，對(duì)于拋物線 ， ， ，對(duì)于A，設(shè) ，則有 ，當(dāng)時(shí)， 取得最小值 ，即 ，A正確；對(duì)于B，設(shè)   ，則直線 的方程為：  ，將 代入得： ， ，其中 ， ， ， ，由基本不等式得 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立， ，B正確；對(duì)于C，采用水平底鉛錘高計(jì)算 的面積，即   ，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)成立，即最小值為 ，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，原問題等價(jià)于從F點(diǎn)引2條斜率不等的直線分別與拋物線交于P，N和Q，M點(diǎn)，并且P，Q，C三點(diǎn)共線，設(shè) ，2兩條直線的斜率分別為 （即 都存在），則直線方程分別為： ，聯(lián)立方程 ，解得 ， ， 同理可得 ， 三點(diǎn)共線，即與共線， ， ，整理得： ，依題意， ， ， ；當(dāng) 有1個(gè)不存在時(shí)（當(dāng) 都不存在時(shí)，兩條直線重合，不滿足題意），比如 不存在，則 垂直于x軸，此時(shí) ，其余條件相同， ，D正確；故選：ABD. 三、填空題13．已知平面與平面是不重合的兩個(gè)平面，若平面α的法向量為，且，，則平面與平面的位置關(guān)系是________.【答案】平行【分析】分別計(jì)算，，可得，，從而可知，，平面，所以可得平面與平面平行.【詳解】平面α的法向量為，且，，，，所以，，平面，平面的一個(gè)法向量為，又因?yàn)槠矫?/span>與平面是不重合的兩個(gè)平面所以平面與平面平行.故答案為：平行. 四、雙空題14．已知等差數(shù)列，，公差，為前n項(xiàng)和，且.（1）若，則________（用t表示）.（2）若，則________（用t表示）.【答案】          【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】（1），由可得，，解得①，又因?yàn)?/span>，所以，即②，聯(lián)立①②得，，解得.（2）由，可得，又因?yàn)?/span>，所以，消去同類項(xiàng)可得，因?yàn)?/span>，所以③，聯(lián)立①③可得，得.故答案為: ;. 五、填空題15．以點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓與直線相交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍為________.【答案】【分析】先求出直線l所過的定點(diǎn)，判斷定點(diǎn)是否在圓內(nèi)，再確定 的范圍.【詳解】對(duì)于直線l： 有 ，令 ，解得 ，所以直線l過定點(diǎn) ，又當(dāng) 時(shí)， 不存在， 所以直線l不過圓心， ，所以點(diǎn)Q在圓P內(nèi)，當(dāng)是A，B的中點(diǎn)時(shí)，最短，又圓的直徑為6， .故答案為： .16．已知數(shù)列（）的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，設(shè)與k為常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)n均有成立，則稱此數(shù)列為“”數(shù)列，若數(shù)列是“”數(shù)列，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為________.【答案】【分析】由題可知，根據(jù)定義得，根據(jù)平方差公式化簡得，求得，最后根據(jù)，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是“”數(shù)列，則，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以，所以，則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.所以，所以.故答案為： 六、解答題17．已知雙曲線的離心率為，且右焦點(diǎn)F與拋物線的焦點(diǎn)相同.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)F的直線l交雙曲線C的右支于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程.【答案】(1)(2)或. 【分析】（1）根據(jù)拋物線焦點(diǎn)得到，再根據(jù)離心率和關(guān)系即可得到答案；（2）設(shè)直線，，，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立得，再利用弦長公式即可求出值，則得到直線方程.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，可得，則；由，可得，由得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，不合題意；當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，可設(shè)過雙曲線右焦點(diǎn)的直線，且與雙曲線的交點(diǎn)為，，由可得，則，因?yàn)榻裹c(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部，則直線斜率存在且時(shí)，直線與雙曲線必有兩交點(diǎn)，，則，則，解得，即直線的方程為或.18．如圖，在五面體中，平面，，，，且四面體的體積為.(1)求的長度；(2)求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)2(2). 【分析】（1）先確定四面體 的底面和高，再根據(jù)幾何關(guān)系以及條件求出CD；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量數(shù)量積求解.【詳解】（1）由平面，知，， ，又，，，由此 ；（2）因?yàn)?/span>平面， 平面BCDE， 平面BCDE，所以 ，，且；則如圖以C為原點(diǎn)，分別以，，為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，有，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則 得，，令 得 ， ，由題可知為平面的一個(gè)法向量，記平面與平面所成角為，則，故平面與平面所成角的余弦值為；綜上， ，平面與平面所成角的余弦值為.19．已知數(shù)列和等差數(shù)列，滿足 ，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求滿足的最大整數(shù)n.【答案】(1)(2)49 【分析】(1)根據(jù)遞推公式分別計(jì)算當(dāng) 和 時(shí)， 與 的關(guān)系，再根據(jù)條件列方程求出 和 ，利用等差數(shù)列公式求解；(2)運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求出 的前n項(xiàng)和，再解不等式即可.【詳解】（1）由可得；由，，則，，解得，， ，由于是等差數(shù)列， ；（2）由（1）得，則，當(dāng)時(shí)，，即滿足條件的最大整數(shù).20．如圖，圓錐的高，A，B為圓錐底面圓周上的兩點(diǎn)，使得，且上的點(diǎn)C滿足.(1)求與平面所成角的正弦值；(2)求點(diǎn)A到平面的距離.【答案】(1)(2) 【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面的一個(gè)法向量，代入向量的夾角公式即可求與平面所成角的正弦值；(2)求出和平面的法向量，代入點(diǎn)到面的距離公式即可求點(diǎn)A到平面的距離.【詳解】（1）如圖，以過且與垂直的直線為軸，，所在的直線為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)，由得，，，即.易知平面的一個(gè)法向量，且，所以求與平面所成角的正弦值為.（2）設(shè)平面的法向量為，則則，令，則，所以；因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)到平面的距離為.21．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)如圖，…………………數(shù)陣的第行是與之間插入n個(gè)數(shù)，由這個(gè)數(shù)所組成，且這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，記，求.【答案】(1)(2) 【分析】第一問由題目所給的遞推公式化簡得，從而求出和，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.第二問由題意寫出的表達(dá)式，再用錯(cuò)位相減法即可解出.【詳解】（1）由，可知時(shí)，兩式相減可得，所以 ，因?yàn)?/span>為等比數(shù)列，公比，又得所以；（2）由題意可知：，則，令，則；兩式相減得，所以，故.22．如圖1，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)、分別為橢圓與軸負(fù)半軸、軸正半軸的交點(diǎn)，且橢圓上的點(diǎn)滿足，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)圖2中矩形的四條邊分別與橢圓相切，求矩形面積的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知可得出，利用斜率公式可得出，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可求得的值，結(jié)合已知條件可求得的值，進(jìn)而可求得的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在或?yàn)?/span>時(shí)，直接求出矩形的面積；在直線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由可得出，求出、，利用矩形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得矩形面積的取值范圍.【詳解】（1）解：由，可知，即得，由于在橢圓上，則，解得，由，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）解：當(dāng)直線的斜率不存在或?yàn)?/span>時(shí)，矩形的面積為.當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程，消去整理可得，所以，解得，則平行線、的方程分別為和，由為矩形，則即為平行線、間的距離，所以，同理可得，所以矩形的面積，令，所以，又，所以，則，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為.所以，所以.因此，矩形面積的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍. 

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