2022-2023學(xué)年山東省菏澤市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得，再根據(jù)極限的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處可導(dǎo)，且，所以，所以.故選：C2．正弦曲線在點(diǎn)處的切線斜率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線的斜率.【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，正弦曲線在點(diǎn)處的切線斜率是.故選：B.3．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可判斷ABC選項(xiàng)，利用求導(dǎo)法則可判斷D選項(xiàng).【詳解】，，，.ABC均錯(cuò)，D對(duì).故選：D.4．為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，某中學(xué)特開設(shè)了“數(shù)學(xué)史”、“數(shù)學(xué)建模”、“古今數(shù)學(xué)思想”、“數(shù)學(xué)探究”、“中國(guó)大學(xué)先修課程微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)”五門選修課程，要求每位同學(xué)每學(xué)年至多選四門，高一到高二兩學(xué)年必須將五門選修課程選完，則每位同學(xué)不同的選修方式為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】將五門課程分為兩組，每組的數(shù)量分別為、或、，然后將這兩組課程分配給高一、高二兩個(gè)學(xué)年，利用組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】將五門課程分為兩組，每組的數(shù)量分別為、或、，然后將這兩組課程分配給高一、高二兩個(gè)學(xué)年，所以，每位同學(xué)不同的選修方式種數(shù)為.故選：A.5．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為，則（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，變形函數(shù)并求出，再探討導(dǎo)函數(shù)的奇偶性作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?/span>R，則，，因此函數(shù)是偶函數(shù)，所以.故選：B.6．已知在R上是可導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則不等式的解集為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定圖象，求出和的解集，再求解給定不等式作答.【詳解】觀察函數(shù)的圖象知，的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，因此不等式的解集為，的解集為，不等式化為：或，解得：，無(wú)解；解得：，解得或，所以所求解集為.故選：C.7．如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（    ）A．360種 B．264種 C．192種 D．144種【答案】B【分析】依題意，完成涂色問題，至少用3種顏色，可分為4種顏色都用到和只用3種顏色兩類.分別計(jì)算兩類不同的涂色方法，可先給A、B、C三點(diǎn)涂色，再給D、E、F涂色，由乘法原理得結(jié)論.最后用加法原理得到不同的涂色方法.【詳解】如圖，若4種顏色都用到，先給A、B、C三點(diǎn)涂色，有種涂法，再給D、E、F涂色，因?yàn)?/span>D、E、F中必有一點(diǎn)用到第4種顏色，有種涂法，另外兩點(diǎn)用到A、B、C三點(diǎn)所用顏色中的兩種，有種涂法，由乘法原理得種．若只用3種顏色，先給A、B、C三點(diǎn)涂色，有種涂法，再給D、E、F涂色，因?yàn)?/span>D點(diǎn)與A點(diǎn)不同色，有種涂法，若D點(diǎn)與B點(diǎn)同色，則F與C、D不同色，有種涂法，此時(shí)E有種涂法；若D點(diǎn)與C點(diǎn)同色，則E與B、D不同色，有種涂法，此時(shí)F有種涂法.由乘法原理得種．所以，不同的涂色方法共有種．故選：B8．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成方程的根，構(gòu)造函數(shù)，再通過同構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性求出的值域，進(jìn)而得出的值域，從而求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，由，得到，所以，令，令，則在區(qū)間上恒成立，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又時(shí)，，時(shí)，，即，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又因函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，即.故選：.C 二、多選題9．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（    ）A． B．的最大值是C．有兩個(gè)不等實(shí)根 D．【答案】AC【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，先求，再把代入即可計(jì)算；對(duì)于選項(xiàng)B，由導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性，即可知在處有最大值；對(duì)于選項(xiàng)C，把方程變形為，構(gòu)造函數(shù)，討論的單調(diào)性和最值，從而得到有兩個(gè)不等實(shí)根；對(duì)于選項(xiàng)D，把轉(zhuǎn)化為，即,再由函數(shù)的單調(diào)性得，從而得到結(jié)論.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?/span>，所以,所以故選項(xiàng)A正確. 對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，所以在處有最大值， 故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C，由得，易知.方程化為，即，即，即，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，所以在處有最大值，所以存在，使.又因?yàn)?/span>，所以存在，使.所以方程有兩個(gè)不等實(shí)根.故選項(xiàng)C正確.對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?/span>在單調(diào)遞減，所以，即，所以故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC10．在1，2，3，…，10中隨機(jī)選出兩個(gè)不同的數(shù)字a，b，則（    ）A．被3整除的概率為 B．被3整除的概率為C．被3整除的概率為 D．被3整除的概率為【答案】AC【分析】在1，2，3，…，10中，把數(shù)分成被3整除、被3除余1和被3除余2三個(gè)類型，由被3整除和被3整除，分類討論取值的類型，利用古典概型的概率公式計(jì)算.【詳解】在1，2，3，…，10中，被3整除的有3個(gè)，被3除余1 的有4個(gè)，被3除余2的有3個(gè)，在1，2，3，…，10中隨機(jī)選出兩個(gè)不同的數(shù)字a，b，基本事件總數(shù) 種，被3整除，則都能被3整除或一個(gè)被3除余1 一個(gè)被3除余2，共種選法，被3整除的概率為，故A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；在1，2，3，…，10中選出數(shù)字a，當(dāng)a被3整除，有被3整除，其余情況被被3除余1，則中，被3整除的3個(gè)，被3除余1 的有7個(gè)，被3整除，則都能被3整除或被3除余1且被3除余2，共種選法，被3整除的概率為，故C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC11．已知函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，則下列說法正確的是（    ）A．B．若，則C．若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則D．當(dāng)時(shí)，曲線過原點(diǎn)的切線有且僅有兩條【答案】ABD【分析】利用極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；由已知條件得出，結(jié)合的取值范圍可判斷B選項(xiàng)；利用函數(shù)對(duì)稱性的定義可判斷C選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，則為函數(shù)的極小值點(diǎn)，且，所以，，則，由可得或，由題意可知，在上恒成立，所以，，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，則，可得，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，且，又因?yàn)?/span>，所以，，解得，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，故切線方程為，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程可得，即，解得或，故當(dāng)時(shí)，曲線過原點(diǎn)的切線有且僅有兩條，D對(duì).故選：ABD.12．現(xiàn)有個(gè)小球和個(gè)盒子，下面的結(jié)論正確的是（    ）A．若個(gè)相同的小球放入編號(hào)為、、、的盒子，每個(gè)盒子都不空，則共有種放法B．若個(gè)相同的小球放入編號(hào)為、、、的盒子，且恰有一個(gè)空盒的放法共有種C．若個(gè)不同的小球放入編號(hào)為、、、的盒子，且恰有一個(gè)空盒的放法共有種D．若個(gè)不同的小球放入編號(hào)為、、、的盒子，且恰有兩個(gè)空盒的放法共有種【答案】BC【分析】利用隔板法可判斷AB選項(xiàng)；利用分組分配計(jì)數(shù)原理可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若個(gè)相同的小球放入編號(hào)為、、、的盒子，每個(gè)盒子都不空，只需在個(gè)相同的小球中間形成的個(gè)空位中插入塊板即可，所以，不同的放法種數(shù)為種，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若個(gè)相同的小球放入編號(hào)為、、、的盒子，且恰有一個(gè)空盒，先要指定空盒的編號(hào)，有種情況，然后在個(gè)相同的小球中間形成的個(gè)空位中插入塊板即可，所以，不同的放法種數(shù)為種，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若個(gè)不同的小球放入編號(hào)為、、、的盒子，且恰有一個(gè)空盒，先要指定空盒的編號(hào)，有種情況，然后將這個(gè)不同的小球分為三組，每組小球的個(gè)數(shù)分別為、、或、、或、、，然后再將這三組小球放入剩余的三個(gè)盒子中，所以，不同的放法種數(shù)為種，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若個(gè)不同的小球放入編號(hào)為、、、的盒子，且恰有兩個(gè)空盒，先要指定空盒的編號(hào)，有種情況，然后將這個(gè)不同的小球分為兩組，每組小球的個(gè)數(shù)分別為、或、或、，然后再將這兩組小球放入剩余的兩個(gè)盒子中，所以，不同的放法種數(shù)為種，D錯(cuò).故選：BC. 三、填空題13．曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，則有，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故答案為：14．若是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，那么_____________.(寫出一個(gè)即可)【答案】/(答案不唯一)【分析】由可知，同角的平方關(guān)系可以滿足題目的條件，所以可以是或.【詳解】答案一：因?yàn)?/span>，且，所以.答案二：因?yàn)?/span>，且，所以.故答案為：或(答案不唯一)15．函數(shù)(x>0)的圖像在點(diǎn)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，則___________.【答案】21【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，于是函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為，而，令，得，又，因此數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，，所以.故答案為：21.16．全民運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上，名運(yùn)動(dòng)員需要排列成方隊(duì)入場(chǎng)，現(xiàn)從中選三人，要求這三人既不在同一行也不在同一列，則不同的選法有___________種（用數(shù)字作答）.【答案】【分析】先從列中選擇列，從某一列中任選一個(gè)人甲，從另一列中選一個(gè)與甲不同行的人，從剩下一列中選一個(gè)與甲、乙都不同行的丙，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】從列中選擇列的選法種數(shù)為種，從某一列中任選一個(gè)人甲有種結(jié)果，從另一列中選一個(gè)與甲不同行的人乙有種結(jié)果，從剩下一列中選一個(gè)與甲、乙都不同行的丙有種結(jié)果，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有種.故答案為：. 四、解答題17．（1）解不等式：，；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)排列數(shù)公式可得出關(guān)于的不等式組，結(jié)合可求得原不等式的解集；（2）根據(jù)組合數(shù)公式結(jié)合題干條件可得出關(guān)于的等式，結(jié)合的范圍可求得的值.【詳解】解：（1）因?yàn)?/span>，則，由題意可知，所以，，即，解得，又因?yàn)?/span>，解得，所以，又因?yàn)?/span>，所以原不等式的解集為；（2）因?yàn)?/span>，所以，，所以，，所以，所以，解得或（舍），所以.18．已知函數(shù)，而且.(1)求；(2)若l是曲線的切線，且經(jīng)過點(diǎn)，求l的方程.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）由求，令可求；（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，代入點(diǎn)求出未知系數(shù)，可得切線方程.【詳解】（1），則，所以，得.（2）由(1)可得，，設(shè)切點(diǎn)為，所以切線的斜率為，又因?yàn)?/span>，所以直線l的方程為：將代入上式并整理，可得，由此可解得或，因此，切點(diǎn)為或，切線方程為或，即l的方程為或.19．某活動(dòng)主辦方要從七名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作.(1)若七名志愿者站成一排合影，甲、乙不在丙的同側(cè)，則不同的排法共有多少種?(2)若其中甲不能從事翻譯工作，乙不能從事導(dǎo)游工作，其余五人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有多少種?【答案】(1)種(2)種 【分析】（1）先安排除甲乙丙之外的4人，然后再安排甲乙丙3人，丙在中間，甲乙在兩邊，分步計(jì)數(shù)結(jié)合排列數(shù)公式計(jì)算.（2）分甲乙沒入選、甲乙有1人入選和甲乙都入選三個(gè)情況討論，特殊元素優(yōu)先排，結(jié)合分類分步和排列組合數(shù)公式計(jì)算.【詳解】（1）合影的7個(gè)位置先安排除甲乙丙之外的4人，然后再安排甲乙丙3人，丙在中間，甲乙在兩邊，共有種不同的排法.（2）根據(jù)題意，分三種情況討論:1°若選派的四人中既有甲又有乙，分為甲從事導(dǎo)游和不從事導(dǎo)游兩類，此時(shí)的選派方法共有:.2°若選派的四人中恰有甲乙中的1人，此時(shí)的選派方法有:.3°若選派的四人中既沒有甲又沒有乙，此時(shí)的選派方法有:.綜上，不同的選派方法共有種.20．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)是否存在正實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)答案見解析(2)存在， 【分析】（1）由題意可得，按，和分類討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得的單調(diào)性；（2）利用（1）中單調(diào)性，按和分情況討論即可求解.【詳解】（1）由題意可得，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，令解得或，令解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，令解得或，令解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）存在正實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，①當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得，②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，與矛盾，舍去，綜上可知存在正實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.21．經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，某小微企業(yè)計(jì)劃生產(chǎn)一款小型電子產(chǎn)品已知生產(chǎn)該產(chǎn)品需投入固定成本2萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件，需另投入流動(dòng)成本P(x)萬(wàn)元當(dāng)年產(chǎn)量小于9萬(wàn)件時(shí)， (萬(wàn)元)；當(dāng)年產(chǎn)量不小于9萬(wàn)件時(shí)，(萬(wàn)元)每件產(chǎn)品售價(jià)為6元，假若該企業(yè)生產(chǎn)的電子產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完(1)寫出年利潤(rùn)Q(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬(wàn)件)的函數(shù)解析式；(注:年利潤(rùn)=年銷售收入固定成本流動(dòng)成本)(2)當(dāng)年產(chǎn)量約為多少萬(wàn)件時(shí)，該企業(yè)的這一產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大?最大年利潤(rùn)是多少?(參考數(shù)據(jù): )【答案】(1)(2)20萬(wàn)件，16萬(wàn)元 【分析】（1）因?yàn)槊考a(chǎn)品售價(jià)為6元，則x萬(wàn)件商品銷售收入為，根據(jù)年利潤(rùn)=年銷售收入固定成本流動(dòng)成本可得答案；（2）當(dāng)時(shí)，利用配方法可得的最大值；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)可得最大值，從而得到答案.【詳解】（1）因?yàn)槊考a(chǎn)品售價(jià)為6元，則x萬(wàn)件商品銷售收入為，由題意可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，；（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，則，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，綜上，當(dāng)時(shí)，取得最大值16萬(wàn)元；即當(dāng)年產(chǎn)量約為20萬(wàn)件時(shí)，該小微企業(yè)的這一產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)是16萬(wàn)元.22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，其中.(i)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(ii)求證：.【答案】(1)極大值為,極小值為.(2)(i) ；(ii)證明見解析. 【分析】(1)先求的導(dǎo)數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值.(2) (i)先把 化為，則除1外還有兩個(gè)零點(diǎn)，通過求導(dǎo)討論的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞減，不滿足，舍去. 當(dāng)時(shí)，除1外還有兩個(gè)零點(diǎn)，則不單調(diào)，可求出實(shí)數(shù)滿足的不等式，再由韋達(dá)定理求出除1外的兩個(gè)零點(diǎn)零點(diǎn)的范圍，從而說明所求的不等式為符合題意的實(shí)數(shù)的取值范圍；(ii) 由題意得，結(jié)合(i)可知，再用基本不等式證明結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?/span>.，令，得或；令，得；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.因此，當(dāng)時(shí)，有極大值，并且極大值為,當(dāng)時(shí)，有極小值，并且極小值為,（2）(i)，，，則除1外還有兩個(gè)零點(diǎn)，，令，當(dāng)時(shí)，在恒成立，則，所以在單調(diào)遞減，不滿足，舍去.當(dāng)時(shí)，除1外還有兩個(gè)零點(diǎn)，則不單調(diào)，所以存在兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為，則，，所以，當(dāng)或時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減；又，所以，，而，且，，且，所以存在，，使得，即有3個(gè)零點(diǎn),綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.(ii)證明:因?yàn)?/span>，所以若，則，所以，，又，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)不等式取等號(hào).所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)利用圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖像，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)． 

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