2022-2023學(xué)年遼寧省名校聯(lián)盟高二下學(xué)期4月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知，則（    ）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)定義求解．【詳解】∵，∴，解得（舍去）．故選：C．2．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平均變化率的定義計算．【詳解】，故選：B．3．已知向量，若，則（    ）A．5 B． C．4 D．【答案】D【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示求得，再由向量的模的定義計算．【詳解】由題意，解得，即，．故選：D．4．在等差數(shù)列中，，則的前11項和為（    ）A．－88 B．－44 C．44 D．88【答案】A【分析】由等差數(shù)列通項公式的基本量法求得，然后由等差數(shù)列的前項和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)求解．【詳解】設(shè)的公差為，則，，即，所以，故選：A．5．1至9中的質(zhì)數(shù)能夠組成沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)的個數(shù)為（    ）A．24 B．36 C．48 D．64【答案】D【分析】先得出1至9中的質(zhì)數(shù)2，3，5，7，再排列組合即可.【詳解】由題意得1至9中的質(zhì)數(shù)為2，3，5，7四個數(shù)，故能組成的無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)有：，即D正確.故選：D6．足球運動是深受學(xué)生喜愛的一項體育運動，為了研究是否喜愛足球運動與學(xué)生性別的關(guān)系，從某高校男女生中各隨機抽取80名學(xué)生進行調(diào)查問卷，得到如下數(shù)據(jù)（）： 喜愛不喜愛男生女生若有90%以上的把握認(rèn)為是否喜愛足球運動與學(xué)生性別有關(guān)，則m的最小值為（    ）附：．其中．0.250.100.050.001k2.0722.7063.8416.635 A．17 B．15 C．13 D．11【答案】B【分析】由列聯(lián)表計算觀測值，根據(jù)有90%以上的把握認(rèn)為是否喜愛足球運動與學(xué)生性別有關(guān)列出不等式，求出m的最小值.【詳解】因為有90%以上的把握認(rèn)為是否喜愛足球運動與學(xué)生性別有關(guān)，所以，即，因為在，時單調(diào)遞增，且，，所以m的最小值為15.故選：B.7．設(shè)為數(shù)列的前n項積，若且，則當(dāng)取得最小值時（    ）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【分析】通過等比數(shù)列定義及等比數(shù)列基本量計算求出通項公式，然后求出前n項積，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及二次函數(shù)知識求解最值即可.【詳解】由題易知，因為，所以，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，由，得，解得，所以，所以，要使取得最小值，則為奇數(shù)，且取最小值，結(jié)合二次函數(shù)知識知時，滿足為奇數(shù)，且取最小值，所以當(dāng)取得最小值時，，故選：C.8．已知兩條不同的直線與曲線都相切，則這兩直線在y軸上的截距之和為（    ）A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】A【分析】設(shè)曲線上切點為，曲線上切點為，由切線斜率得，消去得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證明其有兩解，并且兩解的積為1，從而得出曲線上兩個切點的橫坐標(biāo)積為1，寫出切線方程得出縱截距并求和即得．【詳解】設(shè)曲線上切點為，曲線上切點為，，，因此有，消去得，設(shè)，，易知在上是增函數(shù)，，，因此在也即在上有唯一解，時，，遞減，時，，遞增，，，，而，，因此在和上各有一解．設(shè)的解分別為，即，又，所以也是的解，即，，所以方程有兩解且，于是切線方程為，在軸上截距為，同理另一條切線在軸上截距是，兩截距和為．故選：A．【點睛】未知切點時求函數(shù)圖象切線的方法：設(shè)切點為為，求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程，然后代入已知條件求出切點坐標(biāo)后即可得切線方程． 二、多選題9．已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為120°，則（    ）A．C的實軸長為4 B．C的離心率為C．C和雙曲線有共同的漸近線 D．C和橢圓的焦距相等【答案】CD【分析】根據(jù)雙曲線的一條漸近線的傾斜角為120°，由求得m，進而得到雙曲線的實半軸長和半焦距，然后逐項判斷.【詳解】解：因為雙曲線的一條漸近線的傾斜角為120°，所以，即，解得，即，所以C的實軸長為，故A錯誤；則 ，所以 ，故B錯誤；因為C的漸近線方程為，又雙曲線的漸近線方程為，故C正確；C的焦距為，而橢圓的焦距為，所以相等，故D正確；故選：CD10．考研已成為當(dāng)今大學(xué)生的熱門選擇.下表統(tǒng)計了某市2017—2022年研究生的報考人數(shù)，年份201720182019202020212022年份代號x123456報考人數(shù)y/萬1.872.362.923.253.734.47由數(shù)據(jù)求得研究生報考人數(shù)y與年份代號x的回歸直線方程為，且2021年研究生報考人數(shù)的預(yù)測值比實際人數(shù)多0.12萬，則（    ）A．x與y之間呈正相關(guān)關(guān)系B．C．年份每增加1年，研究生報考人數(shù)估計增加了1萬D．預(yù)測該市2023年研究生報考人數(shù)約為4.85萬【答案】ABD【分析】結(jié)合題目數(shù)據(jù)求出，再利用線性回歸直線方程過點，求出回歸直線方程，然后逐項判斷求解即可.【詳解】由表中數(shù)據(jù)知，隨的增大而增大，所以與之間呈正相關(guān)關(guān)系，A項正確；又，，因為回歸直線必過點，所以，因為2021年研究生報考人數(shù)的預(yù)測值比實際人數(shù)多0.12萬，所以點在直線上，所以，解得，，B項正確；因為，所以年份每增加1年，研究生報考人數(shù)估計增加了0.5萬，C項錯誤；將代入，得，所以預(yù)測該市2023年研究生報考人數(shù)約為4.85萬，D項正確.故選：ABD11．已知數(shù)列中，，且點在函數(shù)的圖象上，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增 B．C． D．【答案】ACD【分析】利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷A選項；由結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷B選項；利用累加法結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷C選項；利用累乘法結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷D選項.【詳解】由題意可知，所以，所以，當(dāng)時，與矛盾，所以，則，所以數(shù)列單調(diào)遞增，A項正確；又，所以，B項錯誤；由上可知，，所以，C項正確；由上可知，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號），當(dāng)時，，所以，D項正確．故選：ACD．12．已知函數(shù)在R上的導(dǎo)函數(shù)分別為 ，若 ，且為奇函數(shù)，則（    ）A． 為偶函數(shù) B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)條件求出 的對稱軸和周期，以及 與 的關(guān)系，逐項分析即可.【詳解】由條件： ，令 ，則 ， ， ；又 （m為常數(shù)）， …①，令 ，則有…② ， …③，②+③得： ， ，即 關(guān)于直線 對稱，由題意 是奇函數(shù)，所以 關(guān)于點 對稱， 是周期為 得周期函數(shù)，…④ ，即 得圖像是 向左平移一個單位再向下平移4個單位得到， 是偶函數(shù)，即 是奇函數(shù)，A錯誤；又 關(guān)于直線 對稱，  關(guān)于點 對稱，即 ，B正確；由④得 ，C正確；又 關(guān)于點 對稱， ， ，D錯誤；故選：BC. 三、填空題13．隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則________．【答案】0.12【分析】根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布的對稱性計算作答.【詳解】因為隨機變量X服從正態(tài)分布，，所以.故答案為：0.1214．已知函數(shù)，則______．【答案】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，建立與的方程，求出，利用極限的運算及導(dǎo)數(shù)的定義求解即可.【詳解】當(dāng)時，，所以，又，則，解得，由定義可知，.故答案為：15．已知，若各項系數(shù)中只有最大，則正整數(shù)n的最小值為______．【答案】16【分析】根據(jù)二項式定理求出系數(shù)的通項，然后利用單調(diào)性列不等式，求解并檢驗即可得到答案.【詳解】由二項式定理可知，各項系數(shù)通項為，由題意可知，即，解得，當(dāng)時，由，解得，所以只有時，最大，符合題意，故正整數(shù)的最小值為16.故答案為：16 四、雙空題16．國際圓周率日是每年的3月14日，也是國際數(shù)學(xué)節(jié)．我國南北朝時期數(shù)學(xué)家祖沖之是世界上將圓周率精確到小數(shù)點后第七位的第一人，他曾給出圓周率的兩個近似值：（約率）與（密率），它們都可以用同時期數(shù)學(xué)家何承天的“調(diào)日法”得到．下面用調(diào)日法進行如下操作得到數(shù)列由于得到，由得到，由得到，繼續(xù)計算…，若某次計算得出數(shù)值大于，與前面小于的數(shù)值繼續(xù)計算得出新的數(shù)值；若某次計算得出數(shù)值小于，與前面大于的最小數(shù)值繼續(xù)計算得出新的數(shù)值，以此類推，…，則_________；若，則________．【答案】          【分析】根據(jù)所列的具體項，尋求規(guī)律，計算得出結(jié)果.【詳解】由已知，接著，由得，由得，，由得，，由得，，由得，由得，由得，由得，已知圓周率的兩個近似值：（約率）與（密率），即.以此類推,從第8項開始，的分子、分母分別成等差數(shù)列.即，令，即，解得.故答案為：；. 五、解答題17．求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3) 【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運算規(guī)則和復(fù)合函數(shù)運算規(guī)則求解.【詳解】（1） ；（2） ；（3） .18．在①，②，③數(shù)列為等比數(shù)列這三個條件中任選兩個，補充在下面的橫線上，并解答問題．記為正項等比數(shù)列的前n項和，已知_______．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前n項和，若，求n的值．注：如果選擇不同的組合分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）選①②，由等比數(shù)列前項和定義求得公比后可得通項公式；選①③，由數(shù)列為等比數(shù)列，則其前3項也為等比數(shù)列，從而求得公比，即可得；選②③，由數(shù)列為等比數(shù)列，則其前3項也為等比數(shù)列，從而求得公比，再由求得后即可得；（2）由（1）得出，分組求和求得后，說明是遞增數(shù)列，由特殊值得唯一解．【詳解】（1）選①，②：設(shè)公比是，則，解得或（舍去）；所以；選①，③數(shù)列為等比數(shù)列：設(shè)公比是，若，則，，數(shù)列不是等比數(shù)列，舍去，因此，，，數(shù)列是等比數(shù)列，則，，，解得（舍去），所以滿足題意， ；選②，③數(shù)列為等比數(shù)列設(shè)公比是，若，則，，數(shù)列不是等比數(shù)列，舍去，因此，數(shù)列是等比數(shù)列，則，，，解得（舍去），又，得，所以；（2）由（1），，，易知滿足此方程，又是遞增數(shù)列，因此是唯一解．綜上，．19．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)積極貫徹黨的二十大精神，全面推進鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，大力發(fā)展優(yōu)質(zhì)水果特色產(chǎn)業(yè)，為農(nóng)民增收助力.為提高水果的產(chǎn)量，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)從4名男技術(shù)員和n名女技術(shù)員中抽取若干人進行果樹管理技術(shù)指導(dǎo).若一次抽出3人，則至少有1名男技術(shù)員的抽取方法有74種.(1)若一次抽出3人，求在這3人性別相同的條件下都是男技術(shù)員的概率；(2)若一次抽取6人，記X表示6人中女技術(shù)員的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析， 【分析】（1）根據(jù)分類加法原理及組合數(shù)知識求出女技術(shù)員人數(shù)，然后根據(jù)條件概率的計算可得答案；（2）確定X的可能取值，計算每個值對應(yīng)的概率，即可得分布列，進而計算其期望.【詳解】（1）一次抽出3人，則至少有1名男技術(shù)員的抽取方法有種由題意可知．即，整理得，解得或（舍去），故共有5名女技術(shù)員.若一次抽出3人性別相同的有種情況，其中3人都是男技術(shù)員有種情況，故這3人性別相同的條件下都是男技術(shù)員的概率；（2）由題意，X可能的取值為2，3，4，5，，，，，所以的分布列為2345故.20．記是各項均不為零的數(shù)列的前n項和，已知．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）將已知等式化簡可得，再利用與的關(guān)系，整理得，即可得等差數(shù)列，求得，由相減法即可得數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)裂項相消法求得數(shù)列的前n項和即可．【詳解】（1）因為，所以，即，整理得，故數(shù)列是以為首項，3為公差的等差數(shù)列，則，于是有當(dāng)時，，且時，，不符合該式，故；（2）所以.21．如圖，直四棱柱的底面是梯形，，點M為上一動點，E是MC上一動點．(1)當(dāng)隨時，證明：平面BDE；(2)若為等邊三角形，當(dāng)直線CM與平面ADE所成的角取得最大值時，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析．(2)． 【分析】（1）連接交于，連接，證明即可得證線面平行；（2）分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求二面角．【詳解】（1）連接交于，連接，如圖，，則，又，所以，所以，所以，平面，平面，所以平面；（2）分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由已知得平面，平面，則，當(dāng)為中點時，因為是等邊三角形，因此，而，平面，所以平面，此時直線與平面所成角為，是最大角．設(shè)，則，，是等邊三角形，由對稱性知是中點，等于的高，即，，，，，從而，，，，設(shè)平面的一個法向量是，則，取，則，設(shè)平面的一個法向量是，則，取，則，，由圖知二面角是銳二面角，所以二面角的余弦值是．22．已知，為橢圓：的左、右焦點，與拋物線：有相同的焦點，與交于，兩點，且四邊形的面積為．(1)求的方程；(2)設(shè)斜率存在的直線經(jīng)過，且與交于，兩點，線段上是否存在一點，同時滿足下面兩個條件，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．①；②取得最小值．【答案】(1)(2)存在， 【分析】（1）由橢圓與拋物線有相同的焦點，可得，，再由兩圖形的對稱性結(jié)合四邊形的面積，可求得，則不妨取，代入拋物線方程可求出，再將點的坐標(biāo)代入橢圓方程，從而可求出，進而可求得橢圓方程；（2）由題意設(shè)直線的方程為，，，，則由可得，將直線方程代入橢圓方程化簡整理，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合已知可得點在直線：上運動，設(shè)關(guān)于直線對稱的點，連接交直線于點，當(dāng)點與重合時，取得最小值，從而可求出點的坐標(biāo)，則可得直線的方程，進而可求得點的坐標(biāo).【詳解】（1）由與拋物線：有相同的焦點可知，，則，．由拋物線與橢圓的對稱可知，，兩點關(guān)于軸對稱，則軸，因為四邊形的面積為所以，所以.不妨取，代入，得，解得，將點代入的方程得，解得，，故的方程為.（2）由題意設(shè)直線的方程為，，，，易知點在的外部，由三角形相似可知，，因為，所以，即，所以.聯(lián)立整理得，所以，，則，所以.①因為點在直線上，所以，即，所以.②由①②得，，整理得，所以點在直線：上運動．設(shè)關(guān)于直線對稱的點，連接交直線于點．當(dāng)點與重合時，取得最小值．又，則，設(shè)，則，且的中點在直線上，所以，解得，所以直線的方程為，聯(lián)立，解得，故線段上存在滿足條件的點，且的坐標(biāo)為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查橢圓與拋物線的綜合問題，考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，第（2）問解題的關(guān)鍵是由，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求出點所在的直線方程，再結(jié)橢圓的對稱性可求出的最小值，從而可求出結(jié)果，考查計算能力和數(shù)形結(jié)合的能力，屬于較難題. 

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