2022-2023學(xué)年江蘇省常州市華羅庚中學(xué)高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．直線的傾斜角為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定方程求出直線的斜率即可求得傾斜角作答.【詳解】直線的斜率，由斜率的定義得直線的傾斜角為，所以所求傾斜角為.故選：A2．已知過點的直線與圓相切，且與直線垂直，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由點的坐標(biāo)滿足圓的方程來確定點在圓上，然后求出過點的圓的切線方程，最后由兩直線的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率關(guān)系求解.【詳解】由題知，圓的圓心，半徑.因為，所以點在圓上，所以過點的圓的切線與直線垂直，設(shè)切線的斜率，則有，即，解得.因為直線與切線垂直，所以，解得.故選：B.3．若入射光線所在直線的方程為，經(jīng)直線反射，則反射光線所在直線的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先在直線上取和，分別求其關(guān)于的對稱點，再利用點斜式求反射光所在直線即可。【詳解】對直線，令，解得，設(shè)，關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即，對直線，令，解得，設(shè)，關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即，，直線：，即。故選：C4．過點的直線與圓交 于，兩點，當(dāng)時，直線的斜率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題分析出圓心C到直線的距離為1，然后分斜率不存在與存在兩種情況進(jìn)行討論.【詳解】由題意得，則圓心到直線的距離為1，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時直線與圓相切，不合題意，舍去；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，則，解得.故選：A.【點睛】本題考查直線的斜率的求法，以及點到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題.5．圓 上的點 關(guān)于直線 的對稱點仍在圓 上， 且該圓的半徑為 ， 則圓 的方程為（    ）A． B．C． 或  D． 或 【答案】D【分析】先判斷圓心在直線上，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，由半徑，列出方程，求出的值，即可得到答案．【詳解】解：因為圓上的點關(guān)于直線的對稱點仍在圓上，所以圓心在直線上，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，因為該圓的半徑為，則，解得或，所以圓心為或，則圓的方程為或．故選：D．6．直線與圓相交于、兩點，若，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，由弦長公式得，圓心到直線的距離小于或等于，從而可得關(guān)于的不等式，即可求得結(jié)論.【詳解】，設(shè)圓心到直線的距離為，則，，，解得.故選：B.【點睛】本題考查利用弦長求直線斜率的取值范圍，一般轉(zhuǎn)化為弦心距進(jìn)行計算，考查運算求解能力，屬于中等題.7．已知圓：，過圓內(nèi)一點的最長弦和最短弦分別是和，則四邊形的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由最長弦為過點E的直徑和最短弦為垂直于直線OE求解.【詳解】如圖所示：由題意可得為圓的直徑，，易得，，∴，∴四邊形的面積為.故選：D..8．直線與圓相交于不同的，兩點其中，是實數(shù)，且是坐標(biāo)原點，則點與點距離的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點作，垂足為，由得，又，故，則點與點距離為區(qū)域內(nèi)的點到點的距離，畫圖即可求解．【詳解】如圖，過點作，垂足為，，，，又，，即．則點與點距離為區(qū)域內(nèi)的點到點的距離，設(shè)，如圖，， 因此點與點距離的取值范圍為．故選：D． 二、多選題9．（多選）已知直線的方程為，則下列判斷正確的是（    ）．A．若，則直線的斜率小于0B．若，，則直線的傾斜角為90°C．直線可能經(jīng)過坐標(biāo)原點D．若，，則直線的傾斜角為0°【答案】ABD【分析】根據(jù)直線方程與斜率，傾斜角的關(guān)系，依次討論各選項即可得答案.【詳解】對于A選項，若，則直線的斜率，A正確；對于B選項，若，，則直線的方程為，其傾斜角為90°，B正確；對于C選項，將代入中，顯然不成立，C錯誤；對于D選項，若，，則直線的方程為，其傾斜角為0°，D正確．故選：ABD．10．已知的三個頂點的坐標(biāo)分別為、、，以原點為圓心的圓與此三角形有唯一的公共點，則圓的方程為（    ）A． B．C． D．【答案】AD【解析】根據(jù)三角形的三點坐標(biāo)，確定坐標(biāo)原點到三邊的距離，以及到三個頂點的距離，結(jié)合題中條件，即可確定圓的半徑，從而可得圓的方程.【詳解】依題意，直線的方程為，化為一般式方程：，點到直線的距離，又直線的方程為，直線的方程為，因此點到直線的距離為，到直線的距離為，當(dāng)以原點為圓心的圓與直線相切時，能滿足圓與此三角形有唯一公共點；此時圓的半徑為，所以圓的方程為；又，，，由以原點為圓心的圓與此三角形有唯一的公共點，可得圓可以與三角形交于點，即圓的半徑為，則圓的方程為.故選：AD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵在于，根據(jù)三角形與圓的交點個數(shù)，分圓與三角形一邊相切，或圓過三角形的一點這兩種情況進(jìn)行討論，即可求出結(jié)果.11．已知圓和直線，則（    ）A．直線l與圓C的位置關(guān)系無法判定B．當(dāng)時，圓C上的點到直線l的最遠(yuǎn)距離為C．當(dāng)圓C上有且僅有3個點到直線l的距離等于1時，D．如果直線l與圓C相交于M、N兩點，則MN的中點的軌跡是一個圓【答案】BCD【分析】對于A，由于直線恒過定點，所以判斷此定點與圓的位置關(guān)系即可，對于B，求出圓心到直線的距離再加上圓的半徑即可，對于C，由題意可得只要圓心到直線l距離為1即可，對于D，設(shè)MN的中點為P，由垂徑定理知，從而可得結(jié)論【詳解】由，得，所以圓心，半徑為2，選項A：由直線l的方程可得，，則直線l恒過定點，此點在圓C內(nèi)，故直線l與圓C相交．故A錯誤．選項B：時，直線l的方程為，即．設(shè)圓心到直線l距離為d，則，所以圓C上的點到直線l的最遠(yuǎn)距離為．故B正確．選項C：當(dāng)圓C上有且僅有3個點到直線l的距離等于1時，圓心到直線l距離為1，由，得．故C正確．選項D：直線l恒過定點，設(shè)MN的中點為P，由垂徑定理知，故點P的軌跡是以為直徑的圓，故D正確．故選：BCD12．如圖，點，，，，是以為直徑的圓上一段圓弧，是以為直徑的圓上一段圓弧，是以為直徑的圓上一段圓弧，三段弧構(gòu)成曲線則（    ）A．曲線與軸圍成的圖形的面積等于B．與的公切線的方程為C．所在圓與所在圓的公共弦所在直線的方程為D．所在的圓截直線所得弦的長為【答案】BC【分析】由題知曲線Ω與軸圍成的圖形是一個半圓，一個矩形和兩個四分之一圓，故此可寫出各段圓弧所在圓的方程，然后根據(jù)圓的相關(guān)知識判斷各選項即可.【詳解】，，所在圓的方程分別為，，.曲線與軸圍成的圖形為一個半圓?一個矩形和兩個圓，其面積為，故A錯誤；設(shè)與的公切線方程為（，），則，所以，，所以與的公切線的方程為，即，故B正確；由及兩式相減得，即公共弦所在直線方程，故C正確；所在圓的方程為，圓心為，圓心到直線的距離為，則所求弦長為，故D錯誤.故選：BC 三、填空題13．與直線平行，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為的直線的方程為______．【答案】【分析】設(shè)所求直線方程為，求出橫截距和縱截距即得解.【詳解】設(shè)所求直線方程為．令，得；令，得．∴，∴，∴所求直線的方程為．故答案為：14．若斜率為的直線與軸交于點，與圓相切于點，則____________．【答案】【分析】設(shè)直線的方程為，則點，利用直線與圓相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【詳解】設(shè)直線的方程為，則點，由于直線與圓相切，且圓心為，半徑為，則，解得或，所以，因為，故.故答案為：.15．若圓C與x軸和y軸均相切，且過點（1，2），則圓C的半徑長為______．【答案】1或5．【分析】根據(jù)題意可知，圓心在y＝x或y＝﹣x上，分別設(shè)圓心為（a，a），（a，﹣a），寫出圓的方程并代入（1，2），進(jìn)行計算即可.【詳解】根據(jù)題意，若圓C與x軸和y軸均相切，則圓心C在直線y＝x或y＝﹣x上，當(dāng)圓心C在y＝x上時，設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（a，a），此時圓的方程為（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，將（1，2）代入可得：（1﹣a）2+（2﹣a）2＝a2，即a2﹣6a+5＝0，解可得a＝1或5，此時圓的半徑為1或5，當(dāng)圓心C在y＝﹣x上時，設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（a，﹣a），此時圓的方程為（x﹣a）2+（y+a）2＝a2，將（1，2）代入可得：（1﹣a）2+（2+a）2＝a2，即a2+2a+5＝0，無解綜上所述，圓的半徑為1或5.故答案為：1或5．16．設(shè)圓圓.點分別是圓 上的動點，P為直線上的動點，則的最小值為_________.【答案】【分析】在直接坐標(biāo)系中，畫出兩個圓的圖形和直線的圖象，根據(jù)圓的性質(zhì)，問題就轉(zhuǎn)化為|PC1|+|PC2|﹣R﹣r＝|PC1|+|PC2|﹣7的最小值，運用幾何的知識，作出C1關(guān)于直線y＝x對稱點C，并求出坐標(biāo)，由平面幾何的知識易知當(dāng)C與P、C2共線時，|PC1|+|PC2|取得最小值，最后利用兩點問題距離公式可以求出最小值.【詳解】可知圓C1的圓心（5，﹣2），r＝2，圓C2的圓心（7，﹣1），R＝5，如圖所示：對于直線y＝x上的任一點P，由圖象可知，要使|PA|+|PB|的得最小值，則問題可轉(zhuǎn)化為求|PC1|+|PC2|﹣R﹣r＝|PC1|+|PC2|﹣7的最小值，    即可看作直線y＝x上一點到兩定點距離之和的最小值減去7，又C1關(guān)于直線y＝x對稱的點為C（﹣2，5），由平面幾何的知識易知當(dāng)C與P、C2共線時，|PC1|+|PC2|取得最小值，即直線y＝x上一點到兩定點距離之和取得最小值為|CC2|∴|PA|+|PB|的最小值為＝﹣7．【點睛】本題考查了求定直線上的動點分別到兩個圓上的動點的距離之和最小值問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想，利用圓的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，利用對稱思想也是本題解題的關(guān)鍵. 四、解答題17．設(shè)直線l過點A（-1，3），且和直線平行．(1)求直線l的方程；(2)設(shè)l與x軸相交于點B，求直線l繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°所得的直線方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用點斜式可得直線l的方程為：．（2）設(shè)l與x軸相交于點B（3，0），直線l繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°所得的直線方程的斜率為：．利用點斜式即可得出．【詳解】（1）解：由題意得：直線l和直線平行直線l的方程為：，解得：．（2）l與x軸相交于點B（3，0）直線l繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°所得的直線方程的斜率為：．直線方程：，化簡得：．18．已知圓M與直線相切于點，圓心M在x軸上.（Ⅰ）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點的直線l與圓M交于A，B兩點，且，求直線l的方程.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【分析】（Ⅰ）.利用圓心在x軸上可設(shè)圓的方程為，再根據(jù)與點相切列出兩個關(guān)于的方程，求解方程得到，；（Ⅱ）.因為直線與圓相交弦長，從而得到圓心到直線l的距離，再利用點到直線的距離公式求得直線的斜率.【詳解】（Ⅰ）由題可知，設(shè)圓的方程為，由直線與圓相切于點，得，解得，，∴圓的方程為.（Ⅱ）由題意知直線的斜率一定存在，設(shè)l為，即，因為，所以圓心到直線l的距離，∴，∴∴直線l為即為或.【點睛】處理直線與圓的位置關(guān)系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法．19．如圖所示，已知是以AB為底邊的等腰三角形，點，，點C在直線：上．（1）求AB邊上的高CE所在直線的方程；（2）設(shè)直線CD與y軸交于點，求的面積．【答案】（1）；（2）1．【分析】（1）根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出點坐標(biāo)，根據(jù)得出直線斜率，最后根據(jù)點斜式可得直線方程；（2）聯(lián)立直線方程求出點坐標(biāo)，通過兩點式得出的方程，求出點到的距離以及的長，最后求面積即可.【詳解】（1）因為是以AB為底邊的等腰三角形，所以E為AB的中點，所以，因為，所以所以直線CE：，即所以AB邊上的高CE所在直線的方程為；（2），解得，所以，所以直線AC：，即，又因為，所以點D到直線AC的距離，又，所以.【點睛】本題主要考查了直線方程的求法，點到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.20．已知直線：，圓：.（1）平行于的直線與圓相切，求直線的方程；（2）直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，求的面積的取值范圍.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）本小題利用直線與圓相切即是建立方程解題即可.（2）本小題利用圓上的點到直線的距離的范圍來判斷面積的取值范圍，再解題即可.【詳解】解：（1）∵ ∥，∴ 設(shè)直線：，∵ 與圓相切，∴ 圓心到直線的距離等于，∴ ，解得：或，∴ 直線：或（2）∵ 直線分別與軸、軸交于、兩點，∴ 、，則 又圓心到直線的距離，∴ 即，∴ ∴ 的面積的取值范圍：.【點睛】本題考查直線與圓相切等價于，圓上的點到直線的距離的范圍，是中檔題.21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0，﹣2)，B(4，0)，圓C經(jīng)過點(0，﹣1)，(0，1)及(，0)．斜率為k的直線l經(jīng)過點B．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)k＝2時，過直線l上的一點P向圓C引一條切線，切點為Q，且滿足PQ＝，求點P的坐標(biāo)；（3）設(shè)M，N是圓C上任意兩個不同的點，若以MN為直徑的圓與直線l都沒有公共點，求k的取值范圍．【答案】（1）；（2）P(3，﹣2)或(，)；（3）或．【分析】（1）設(shè)圓的一般方程，將三個點坐標(biāo)代入，即得結(jié)果,再配方化為標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)P(x，y)，根據(jù)切線長以及兩點間距離公式列方程，再根據(jù)點P在直線上。聯(lián)立方程組解得結(jié)果；（3）根據(jù)垂徑定理列出以MN為直徑的圓上點滿足的條件（一個實心圓），再根據(jù)直線與圓位置關(guān)系列不等式解得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)圓C的方程為，因為圓C經(jīng)過點(0，﹣1)，(0，1)及(，0)所以，解得，所以圓C的方程為：，其標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）設(shè)P(x，y)，由PQ與圓C切于點Q，得PQ2＝PC2﹣CQ2，又PQ＝PA，所以，整理得，又點P在直線l：上，由，得或所以P(3，﹣2)或(，)，（3）設(shè)以MN為直徑的圓的圓心為K，T是該圓上任意一點則K為MN中點，設(shè)CK＝d，則圓K的半徑為因為，所以，因為M，N是圓C上任意兩個不同的點，所以d∈[0，)，對于任意d∈[0，)，，所以0≤CT2≤4，故點T總在以C(﹣1，0)為圓心，2為半徑的圓上或其內(nèi)部，故直線l：y＝k(x﹣4)，即kx﹣y﹣4k＝0，與該圓無公共點，所以，解得或．【點睛】本題考查圓的方程、切線長、動點軌跡、直線與圓位置關(guān)系，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.22．已知圓的圓心與點關(guān)于直線 對稱，且圓與軸相切于原點．(1)求圓的方程；(2)過原點的兩條直線與圓分別交于兩點，直線的斜率之積為 ，為垂足，是否存在定點，使得為定值，若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在；P（2，0） 【分析】（1）設(shè)M（a，b）．則由題意可得，解方程組求出，從而可求出圓的方程，（2）設(shè)OA所在直線方程為，與圓的方程聯(lián)立，可求出點的坐標(biāo)，同理可求出點的坐標(biāo)，則可表示出直線的方程，化簡后可得直線AB過定點C（4，0），由于OC為定值，且△ODC為直角三角形，OC為斜邊，從而可得為定值，進(jìn)而可求出點的坐標(biāo)【詳解】（1）（1）設(shè)M（a，b）．則．解得．所以該圓的半徑為3，．所以圓M的方程為；（2）設(shè)OA所在直線方程為，聯(lián)立得，同理把k換做－，可得所以AB所在直線方程為）．當(dāng)時，可得，故直線AB過定點C（4，0）．由于OC為定值，且△ODC為直角三角形，OC為斜邊，所以OC中點P滿足為定值，由于O（0，0），C（4，0），故由中點坐標(biāo)公式可得P（2，0），故存在點P（2，0），使得|DP|為定值． 

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