湖南省永州市祁陽縣第四中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期第一次階段考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ 一、單選題1．等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)排列數(shù)的定義可求得結(jié)果.【詳解】由排列數(shù)的定義得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查排列數(shù)的表示，考查排列數(shù)定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．函數(shù)在處的瞬時變化率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】函數(shù)在處的瞬時變化率為曲線在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算即可．【詳解】解：由函數(shù)，則，當(dāng)時，；所以函數(shù)在處的瞬時變化率為．故選：．3．函數(shù)的圖象如圖所示，它的導(dǎo)函數(shù)為，下列導(dǎo)數(shù)值排序正確的是（　?。?/span>A．B．C．D．【答案】A【分析】由函數(shù)的圖象，先判斷它的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)圖象斜率的變化，判斷的增減性，從而求解．【詳解】解：由函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時，單調(diào)遞增，，，，隨著的增大，曲線在每個點(diǎn)處的斜率在逐漸減小，即導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)遞減的，.故選：A．4．我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”（如1230，2022），則首位為3的“六合數(shù)”共有（    ）A．18個 B．12個 C．10個 D．7個【答案】C【分析】首位為3，其余3個數(shù)字的和為3，有111，012，003三種，分別計(jì)算可得．【詳解】首位為3，其余3個數(shù)字的和為3，則有111，012，003三種，所以“六合數(shù)”個數(shù)為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查排列的應(yīng)用，根據(jù)題意確定各種可能情形是解題關(guān)鍵．5．若函數(shù)在上可導(dǎo)，且，則（    ）A． B．C． D．以上答案都不對【答案】C【解析】由已知等式兩邊同時求導(dǎo)，取，求出的值，利用二次函數(shù)的對稱性和單調(diào)性即可解決問題．【詳解】，,,,，圖象為開口向上的拋物線，其對稱軸方程為：，.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，求出的值是關(guān)鍵，屬于中檔題．6．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，由此可得，根據(jù)二次函數(shù)最值的求法可求得結(jié)果.【詳解】在上單調(diào)遞減，在上恒成立，即在上恒成立，又，，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍的問題，本題解題的基本思路是將問題轉(zhuǎn)化為恒成立的問題，進(jìn)而采用參變分離的方法將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值的求解問題.7．要排出高三某班一天中，語文、數(shù)學(xué)、英語各節(jié)，自習(xí)課節(jié)的功課表，其中上午節(jié)，下午節(jié)，若要求節(jié)語文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰（注意：上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰），則不同的排法種數(shù)是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論：①語文和數(shù)學(xué)都安排在上午；②語文和數(shù)學(xué)一個安排在上午，一個安排在下午.分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論：①語文和數(shù)學(xué)都安排在上午，要求節(jié)語文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰，將節(jié)語文課和節(jié)數(shù)學(xué)課分別捆綁，然后在剩余節(jié)課中選節(jié)到上午，由于節(jié)英語課不加以區(qū)分，此時，排法種數(shù)為種；②語文和數(shù)學(xué)都一個安排在上午，一個安排在下午.語文和數(shù)學(xué)一個安排在上午，一個安排在下午，但節(jié)語文課不加以區(qū)分，節(jié)數(shù)學(xué)課不加以區(qū)分，節(jié)英語課也不加以區(qū)分，此時，排法種數(shù)為種.綜上所述，共有種不同的排法.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中等題．8．已知函數(shù)滿足（其中是的導(dǎo)數(shù)），若，，，則下列選項(xiàng)中正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，由題意可得，，所以在上遞增，然后由可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>（），所以，所以，令，則，，所以在上遞增，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以，所以，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后，結(jié)合已知條件可得在上遞增，然后利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題. 二、多選題9．滿足方程的的值可能為（    ）A．1 B．3 C．5 D．【答案】AB【解析】利用組合數(shù)的性質(zhì)求解【詳解】解：因?yàn)?/span>所以或，或，或，或時，，故舍去；時，，故舍去；時，；時，；故選: AB【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)性質(zhì)，基礎(chǔ)題.10．下列求導(dǎo)正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式分別檢驗(yàn)各項(xiàng)即可得出結(jié)果.【詳解】對于，的導(dǎo)數(shù)為，故選項(xiàng)正確；對于，的導(dǎo)數(shù)為，故選項(xiàng)正確；對于，的導(dǎo)數(shù)為，故選項(xiàng)錯誤；對于，的導(dǎo)數(shù)為，故選項(xiàng)正確，故選：.11．某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是（    ）A．若任意選擇三門課程，則選法種數(shù)為35B．若物理和化學(xué)至少選一門，則選法種數(shù)為30C．若物理和歷史不能同時選，則選法種數(shù)為30D．若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不能同時選，則選法種數(shù)為20【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，直接利用組合知識進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，分物理和化學(xué)選一門和物理、化學(xué)都選，兩種情況下利用組合知識求出選法，求和即可；C選項(xiàng)，先求出物理和歷史同時選的選法，從而求出物理和歷史不能同時選的選法；D選項(xiàng)，只選物理，不選化學(xué)，只選化學(xué)，不選物理，物理、化學(xué)都選，三種情況下的選法求和即可.【詳解】對于A，選法種數(shù)為，故A正確．對于B，若物理和化學(xué)選一門，其余兩門從剩余的五門中選，有種選法；若物理和化學(xué)都選，剩下一門從剩余的五門中選，有種選法．故共有種選法，故B錯誤．對于C，物理和歷史同時選，有種選法，故不同時選的選法種數(shù)為，故C正確．對于D，只選物理，不選化學(xué)，則歷史也不選，有種選法；只選化學(xué)，不選物理，有種選法；若物理、化學(xué)都選，則歷史不選，有種選法．故共有種選法，故D正確．故選：ACD．12．已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式恒成立，則k的取值可以為（    ）A．1 B．e C．4 D．【答案】CD【分析】根據(jù)給定條件可得最大值不大于0，再分類探討的最大值即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，求導(dǎo)得：，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，無最大值，且，不符合題意，從而有，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上遞增，在上遞減，因此，當(dāng)時，，令，，顯然在上單調(diào)遞減，而，因，不等式恒成立，則必有，，于是有，所以，k的取值可以為4或.故選：CD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及函數(shù)不等式恒成立問題，可以探討函數(shù)的最值，借助函數(shù)最值轉(zhuǎn)化解決問題. 三、填空題13．已知，則________.【答案】27【分析】根據(jù)排列組合的公式化簡求解可得結(jié)果.【詳解】由得，，解得，.所以本題答案為27.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的公式，熟記公式，認(rèn)真計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.14．若曲線與曲線在交點(diǎn)處有公切線，則__________.【答案】6【分析】若曲線與曲線在交點(diǎn)處有公切線，則切點(diǎn)的坐標(biāo)相等且切線的斜率（切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值）均相等，由此構(gòu)造關(guān)于，的方程，解方程可得答案．【詳解】，，曲線與曲線在交點(diǎn)處有公切線，且即，故答案為：615．將“福”“祿”“壽”填入到如圖所示的4×4小方格中，每格內(nèi)只能填入一個漢字，且任意的兩個漢字既不同行也不同列，則不同的填寫方法有_________種.【答案】576【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解即可.【詳解】福字有16種填寫方法，祿字有9種填寫方法，壽字有4種填寫方法，所以不同的填寫方法有種，故答案為：57616．已知函數(shù)恰有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【分析】由題意可得方程恰有兩個解，可轉(zhuǎn)化為與有兩個交點(diǎn)或與有兩個交點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性，作出圖像，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】方法一：由題知，方程即恰有兩個解，設(shè)，則函數(shù)的圖像與直線有兩個交點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，易知，當(dāng)時，，時，，作出函數(shù)的圖像與直線如圖所示：當(dāng)直線與函數(shù)的圖像相切時，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，易得，所以當(dāng)直線與函數(shù)的圖像相切時，，由圖像知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖像恰有兩個交點(diǎn)，即函數(shù)恰有兩個零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.方法二：由題知，方程，即恰有兩個解，設(shè)，則函數(shù)的圖像與直線有兩個交點(diǎn)，因?yàn)?/span>，設(shè)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，易知當(dāng)時，，當(dāng)時，，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖像及直線如圖所示，由圖像知，當(dāng)時，函數(shù)的圖像與直線恰有兩個交點(diǎn)，即恰有兩個零點(diǎn)，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)，求參數(shù)的取值范圍的兩種常用方法：（1）分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題加以解決；（2）數(shù)形結(jié)合法，先利用函數(shù)與方程的關(guān)系將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程解的問題，再對方程適當(dāng)變形，轉(zhuǎn)化為兩個熟悉函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合思想即可求解. 四、解答題17．設(shè)函數(shù)（為常數(shù)），.曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；【答案】（1）；（2）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，最小值為.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算求得導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得；（2）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，在定義域內(nèi)研究導(dǎo)數(shù)的正負(fù)區(qū)間，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求得最小值.【詳解】（1），，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與軸平行，所以，所以.（2），定義域?yàn)?/span>，令得，當(dāng)變化時，和的變化如下表：1－0＋增0減由上表可知的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，最小值為.18．（1）求不等式“”的解集. （2）已知，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用排列數(shù)公式化簡不等式，解出的取值范圍，即可得出符合條件的的值；（2）利用組合數(shù)公式化簡等式，可解出的值，再利用組合數(shù)公式可計(jì)算出所求代數(shù)式的值.【詳解】（1）由知且，由排列數(shù)公式，原不等式可化為，整理得，即，解得，因?yàn)?/span>，所以或， 所以不等式的解集為；（2），，化簡得，即，解得或. ，，.【點(diǎn)睛】本題考查不等式與方程的求解，涉及排列數(shù)和組合數(shù)公式的應(yīng)用，化簡計(jì)算是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.19．為提高學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)的興趣，南京港師范大學(xué)附屬中學(xué)擬開設(shè)《數(shù)學(xué)史》、《微積分先修課程》、《數(shù)學(xué)探究》、《數(shù)學(xué)建?！匪拈T校本選修課程，甲、乙、丙三位同學(xué)打算在上述四門課程中隨機(jī)選擇一門進(jìn)行學(xué)習(xí)，已知三人選擇課程時互不影響，且每人選擇每一門課程都是等可能的.(1)求三位同學(xué)選擇的課程互不相同的選課種數(shù)；(2)求甲、乙兩位同學(xué)不能選擇同一門課程，求三人共有多少種不同的選課種數(shù)；(3)若至少有兩位同學(xué)選擇《數(shù)學(xué)史》，求三人共有多少種不同的選課種數(shù).【答案】(1)24(2)48(3)10 【分析】（1）問題等價于從4個元素中選3個元素的全排列，據(jù)此可得答案；（2）選擇情況分為兩步，先讓甲、乙同學(xué)選，，隨后讓丙選擇，據(jù)此可得答案；（3）選擇情況可分為兩類，第一類3人都選擇《數(shù)學(xué)史》；第二類，3人中2人選《數(shù)學(xué)史》，1人選其他課程，據(jù)此可得答案.【詳解】（1）由題可得，三位同學(xué)選擇的課程互不相同的選課種數(shù)為；（2）選擇情況分為兩步，讓甲、乙同學(xué)先選，有種可能，隨后讓丙選擇，有4種可能性由分步計(jì)數(shù)原理可知，不同的選課種數(shù)共有48種；（3）選擇情況可分為兩類，第一類3人都選《數(shù)學(xué)史》，有1種方法；第二類，3人中2人選《數(shù)學(xué)史》，1人選其他課程，有種方法,由分類計(jì)數(shù)原理可知，不同的選課種數(shù)共有10種.20．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1.（1） 當(dāng)a=0時，求f(x)在點(diǎn) (－1，-2)處的切線方程.（2）若f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)，求a的取值范圍.【答案】（1）；（2）．【分析】（1）當(dāng)時，求出函數(shù)f(x)和導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而利用點(diǎn)斜式方程寫出切線方程；（2）在區(qū)間上為增函數(shù)，即在上恒成立，分離參數(shù)求出最值，可得a的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時，，，所以曲線在處切線斜率為，所以切線方程為：，即．（2）因?yàn)?/span>，且在區(qū)間上為增函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以，即的取值范圍為．21．已知函數(shù)（）．（1）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，若至少存在一個，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）．【分析】（1）求導(dǎo)可得，分，，三種情況討論，即可；（2）參變分離，可轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，有解，求的最小值即可.【詳解】（1）．當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，得或，由，得，∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，由，得或，由，得，∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）若至少存在一個，使得成立，則當(dāng)時，有解．∵當(dāng)時，，∴有解，令，，則．∵，∴在上單調(diào)遞減，∴，∴，即，∴實(shí)數(shù)的取值范圍．22．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小值；（2）已知實(shí)數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，通過導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得最值；（2）將不等式轉(zhuǎn)換為，構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性得在上恒成立，再求最值即可.【詳解】解：（1）因?yàn)?/span>，故，令，得；令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值為（2）由題意知，兩邊同時加上，得，即，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，恒成立，即恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，則當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，故在上單調(diào)減，故，故，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將原不等式進(jìn)行構(gòu)造，利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用分離參數(shù)思想再求最值即可. 

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