綿陽(yáng)南山中學(xué)2023年春季高2021級(jí)半期考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的．1. 若，則的虛部為（    ）A.  B. －1 C.  D. 【答案】D【解析】【分析】直接運(yùn)用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則即可.【詳解】因，所以，所以虛部為.故選：D.2. 設(shè)是平面的一個(gè)法向量，是直線l的一個(gè)方向向量，則直線l與平面的位置關(guān)系是（    ）A. 平行或直線在平面內(nèi) B. 不能確定 C. 相交但不垂直 D. 垂直【答案】A【解析】【分析】判斷兩個(gè)向量的位置關(guān)系即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以直線l與平面的位置關(guān)系是平行或直線在平面內(nèi).故選：A.3. 與命題“若a，b，c成等差數(shù)列，則a＋c＝2b”等價(jià)的命題是（    ）A. 若a，b，c不成等差數(shù)列，則 B. 若2b＝a＋c，則a，b，c成等差數(shù)列C. 若，則a，b，c不成等差數(shù)列 D. 若a，b，c成等差數(shù)列，則【答案】C【解析】【分析】求出命題的逆否命題即可.【詳解】因?yàn)樵}與其逆否命題等價(jià)，命題“若a，b，c成等差數(shù)列，則a＋c＝2b”的逆否命題為“若，則a，b，c不成等差數(shù)列”.故選:C.4. 在中，“”是“”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】因?yàn)?/span>是三角形的內(nèi)角，且，所以，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，所以，故充分性成立；反之，在上單調(diào)遞減，，若，則，故必要性成立，所以在中，“”是“”的充要條件，故選：C.5. 函數(shù)，的單調(diào)增區(qū)間是（    ）A. 和 B. 和C. 和 D. 和【答案】A【解析】【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后令導(dǎo)數(shù)大于零，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可.【詳解】∵，∴，令且，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得或，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是和.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的單調(diào)性，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，屬于?？碱}.6. 設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則（    ）A. 4 B. －1 C. 1 D. －4【答案】A【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義求解即可.【詳解】,所以.故選：A.7. 已知，，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為（    ）A.  B. C. 4 D. 8【答案】A【解析】【分析】首先計(jì)算兩個(gè)向量的夾角的余弦值，再轉(zhuǎn)化為正弦值，利用面積公式計(jì)算.【詳解】解析：設(shè)向量的夾角為θ，，，于是＝．由此可得．所以以為鄰邊的平行四邊形的面積為.故選：A8. 函數(shù)的圖象可能為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先利用函數(shù)的奇偶行排除選項(xiàng)，再利用特殊值即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，定義域?yàn)?/span>，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，，所以，故排除選項(xiàng).故選：.9. 已知梯形CEPD如下圖所示，其中，，A為線段PD的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，現(xiàn)沿AB進(jìn)行折疊，使得平面平面ABCD，得到如圖所示的幾何體．已知當(dāng)點(diǎn)F滿足時(shí)，平面平面PCE，則的值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】構(gòu)建以A為原點(diǎn)，射線AB、AD、AP為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，由題設(shè)標(biāo)注相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求面、面的法向量，根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示求參數(shù).【詳解】由題意，可構(gòu)建以A為原點(diǎn)，射線AB、AD、AP為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，∴，則，，若是面一個(gè)法向量，則，可得，若是面一個(gè)法向量，則，可得，∴由面面PCE，有，解得.故選：D10. 若函數(shù)在上的最大值為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，再對(duì)的符號(hào)分類討論函數(shù)在上的單調(diào)性，得出可解出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】當(dāng)時(shí)，，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，即．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由題意可知，，得，解得，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且當(dāng)時(shí)，合乎題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，，合乎題意．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D11. 《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽(yáng)馬：將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑，已知三棱錐為鱉臑，且內(nèi)接于球O，球O的半徑，三棱錐的底面為等腰直角三角形，平面，則三棱錐的體積V的最大值為（    ）A  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】將三棱錐補(bǔ)成為長(zhǎng)方體，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征結(jié)合外接球半徑可設(shè)長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為，高為h，即得三棱錐的體積，利用導(dǎo)數(shù)法即可求得其最大值.【詳解】如圖，由題意可將三棱錐補(bǔ)成為長(zhǎng)方體，且底面為正方形，即 ,三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球O，由球O的半徑，可得長(zhǎng)方體體對(duì)角線,設(shè)長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為，高為h，則，故三棱錐的體積，則，令，則，令，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故最大值為，即得的最大值為.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）根據(jù)三棱錐的幾何特征，可采用割補(bǔ)法，即將三棱錐補(bǔ)為長(zhǎng)方體；（2）求解體積的最大值，根據(jù)表達(dá)式的特征，可采用導(dǎo)數(shù)法求最值.12. 設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，并判斷其單調(diào)性，結(jié)合可得的解集，即可求得答案.【詳解】設(shè)，則,∵，∴,而,故,∴在R上單調(diào)遞增，又，故，∴的解集為，即不等式的解集為，故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：像此類給出一個(gè)關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式的問(wèn)題，要能根據(jù)所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，從而利用其單調(diào)性求得答案.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13. ______．【答案】##【解析】【分析】由牛頓-萊布尼茨公式直接運(yùn)算可得.【詳解】.故答案為：14. 已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，則______．【答案】【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令，求出，代入，即可求出答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，令，則，解得：.所以，所以.故答案為：.15. 的導(dǎo)函數(shù)______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則以及三角函數(shù)二倍角公式，即可求得答案.【詳解】由題意得，故答案為：16. 如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，且，，，平面，于．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②平面；③平面；④，其中正確的選項(xiàng)是______．【答案】①②③④【解析】【分析】在中，由余弦定理可求出，再由平面，可證出平面，再由于，線面垂直的判定定理，可證明平面，根據(jù)線面垂直的判定，可證出，因此可知正確命題的個(gè)數(shù).【詳解】對(duì)于①：已知，，，由余弦定理可知，所以，由勾股定理逆定理得，①正確.對(duì)于②：平面，平面，又因，，平面，平面所平面所以②正確.對(duì)于③：因平面，平面得,又,，平面,平面,所以平面，③正確.對(duì)于④：由平面，平面，得，④正確.故答案為：①②③④.三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明．證明過(guò)程或演算步驟．17. 設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足，命題q：實(shí)數(shù)x滿足．（1）若，且為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（2）若，且p是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法分別求出兩個(gè)命題為真時(shí)的范圍，再根據(jù)為真，可得為真或為真，即可得解；（2）由p是的充分不必要條件，得對(duì)應(yīng)的集合是對(duì)應(yīng)集合的子集，進(jìn)而可得答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，p：，即，由，得，若為真，即，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍；【小問(wèn)2詳解】若，p：，即；q：，：或，且p是的充分不必要條件，則或，即或，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為．18. 已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)的曲線的切線方程．【答案】（1）    （2）或【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）切點(diǎn)為，可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在點(diǎn)處的切線方程，再根據(jù)切線過(guò)點(diǎn)求出切點(diǎn)，即可得解.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，切點(diǎn)為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；【小問(wèn)2詳解】設(shè)切點(diǎn)為，可得，由的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率為，切線的方程為，由切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，化為，解得或1，，則切線的方程為或，即或．19. 在四棱錐中，底面，，，，．（1）證明：；（2）求與平面所成的角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）【解析】【分析】（1）證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】∵，，，則四邊形為等腰梯形，作出梯形的高，則,則梯形的高為，∴，則,可得，又∵底面，底面，∴，平面，∴平面，而平面，∴．【小問(wèn)2詳解】以D為原點(diǎn)，為x軸正向，為y軸正向，為z軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，則,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，∴平面的一個(gè)法向量為，，故設(shè)與平面所成的角為，則，即與平面所成角的余弦值為．20. 已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分別令導(dǎo)數(shù)大于零和小于零，求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)解，將其轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)解，令，求導(dǎo)研究函數(shù)圖象的走向，從而求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，令，解得，令，解得，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)解，從方程可知，不成立，即有兩個(gè)解，令，則有，令，解得，令，解得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)有兩個(gè)解時(shí)，有，所以滿足條件的的取值范圍是：.【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，在解題的過(guò)程中，也可以利用數(shù)形結(jié)合，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線和直線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用過(guò)點(diǎn)的曲線的切線斜率，結(jié)合圖形求得結(jié)果.21. 如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CD上異于C，D的點(diǎn).（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正切值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；    （2）2.【解析】【分析】（1）證得平面，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證出結(jié)論；（2）當(dāng)在的中點(diǎn)位置時(shí)體積最大，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角坐標(biāo)公式即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)知，平面平面，交線為.因?yàn)?/span>，平面，所以平面，平面，故,因?yàn)?/span>是上異于，的點(diǎn)，且為直徑，所以，又，平面，所以平面，而平面，故平面平面；【小問(wèn)2詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向，的方向?yàn)?/span>軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.當(dāng)三棱錐M?ABC體積最大時(shí)，M為的中點(diǎn).由題設(shè)得，設(shè)是平面MAB的法向量，則即，可取，又是平面的一個(gè)法向量，因此，，得，所以，，所以面與面所成二面角的正切值是.22 已知函數(shù)．（1）判斷在的單調(diào)性；（2）若，證明：．【答案】（1）在為減函數(shù)；    （2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再判斷該導(dǎo)數(shù)在上的正負(fù)作答.（2）等價(jià)變形要證的不等式，再利用（1）的結(jié)論，證明即可推理作答.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)，，求導(dǎo)得，設(shè)，，則，于在為減函數(shù)，，則，所以在為減函數(shù).【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，而，因此原不等式等價(jià)于，由（1）知，是上的減函數(shù)，于是要證原不等式成立，只需要證明當(dāng)時(shí)，，令，求導(dǎo)得，因此函數(shù)是上的增函數(shù)，則，即，從而，即，所以．
 

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