一、單選題
1．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)是，則（ ）
A．2B．1C．0D．
【答案】D
【分析】求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算得到答案.
【詳解】，則，則.
故選：D
2．（ ）
A．960B．480C．160D．80
【答案】B
【分析】直接計(jì)算得到答案.
【詳解】.
故選：B
3．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若，則（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，將增量化成即可得到.
【詳解】因?yàn)?br>所以
故選：B
4．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)，即可求得中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，得到答案.
【詳解】由二項(xiàng)式的展開(kāi)式為，
又由二項(xiàng)式的展開(kāi)式共有項(xiàng)，所以中間一項(xiàng)為第項(xiàng)，
所以中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.
故選：D.
5．有5人承擔(dān)，，，，五種不同的工作，每人承擔(dān)一種，且每種工作都有人承擔(dān).若這5人中的甲不能承擔(dān)種工作，則這5人承擔(dān)工作的所有不同的方法種數(shù)為（ ）
A．24B．60C．96D．120
【答案】C
【分析】先讓甲在中選擇一項(xiàng)工作，再讓剩余的4人選擇4項(xiàng)工作，計(jì)算得到答案.
【詳解】先讓甲在中選擇一項(xiàng)工作，共有種方法；
再讓剩余的4人選擇4項(xiàng)工作，共有種方法，故共有種方法.
故選：C
6．的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．B．18C．D．9
【答案】A
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，即可求得結(jié)果.
【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，
令，得，
故常數(shù)項(xiàng)為．
故選：A.
7．函數(shù)，，下列關(guān)于的說(shuō)法中正確的是（ ）
A．為極小值，為極小值
B．為極大值，為極小值
C．為極小值，為極大值
D．為極大值，為極大值
【答案】C
【分析】由導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再由極值的概念即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?，所以?br>令即，可得或，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，
故選：C
8．7名身高各不相同的同學(xué)站成一排，若身高最高的同學(xué)站在中間，且其每一側(cè)同學(xué)的身高都依次降低，則7名同學(xué)所有不同的站法種數(shù)為（ ）
A．20B．40C．8D．16
【答案】A
【分析】讓最高的同學(xué)站中間，再在剩余的6人中選擇3人，放在左邊，剩余3人放在右邊，計(jì)算得到答案.
【詳解】讓最高的同學(xué)站中間，再在剩余的6人中選擇3人，放在左邊，剩余3人放在右邊，
共有種站法.
故選：A
9．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，對(duì)任意的，，若，則的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，求得，根據(jù)題意得到，得到函數(shù)單調(diào)遞減，又由，得到，把，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求得不等式的解集.
【詳解】設(shè)函數(shù)，可得，
因?yàn)?，可得，所以函?shù)單調(diào)遞減，
又因?yàn)?，可得?br>由不等式，即為，所以，
即不等式的解集為.
故選：C.
二、填空題
10．在展開(kāi)式中，的系數(shù)是_________.
【答案】
【分析】由二項(xiàng)式展開(kāi)式可得其通項(xiàng)為，寫(xiě)出含的項(xiàng)即可得系數(shù).
【詳解】由題設(shè)，二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)為，
當(dāng)時(shí)，，故的系數(shù)是.
故答案為：
11．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)_____.
【答案】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，可得.
故答案為：.
12．已知，則_____.
【答案】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式，令，即可求解.
【詳解】由，
令，可得.
故答案為：.
13．有12個(gè)志愿者名額全部分配給某年級(jí)的10個(gè)班，若每班至少分配到一個(gè)名額，則所有不同的分配方法種數(shù)為_(kāi)____.
【答案】55
【分析】采用擋板法，即將12個(gè)志愿者名額看作12個(gè)相同的元素，分為10組，每組至少一個(gè)元素，在這12個(gè)元素之間形成的11個(gè)空中，選9個(gè)插入擋板即可.
【詳解】12個(gè)志愿者名額全部分配給某年級(jí)的10個(gè)班，若每班至少分配到一個(gè)名額,
可將12個(gè)志愿者名額看作12個(gè)相同的元素，分為10組，每組至少一個(gè)元素，
因此在這12個(gè)元素之間形成的11個(gè)空中，選9個(gè)插入擋板即可，
故有種不同的分配方法種數(shù)，
故答案為：55
14．一個(gè)集合的含有3個(gè)元素子集的個(gè)數(shù)與這個(gè)集合的含有4個(gè)元素子集的個(gè)數(shù)相等，則這個(gè)集合子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)____.
【答案】
【分析】設(shè)集合的元素個(gè)數(shù)為，，解得，再計(jì)算子集個(gè)數(shù)得到答案.
【詳解】設(shè)集合的元素個(gè)數(shù)為，則，解得，故集合子集的個(gè)數(shù)為.
故答案為：
15．若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，且切點(diǎn)在第一象限，則與坐標(biāo)軸圍成三角形面積的最小值為_(kāi)____.
【答案】4
【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)方程，然后表示出三角形面積，利用導(dǎo)數(shù)可得最小值.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，
因?yàn)椋郧芯€(xiàn)斜率為，
得切線(xiàn)l的方程為
與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，
令，解得，
因?yàn)榍悬c(diǎn)在第一象限，所以，
所以與坐標(biāo)軸圍成三角形面積
令，則
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，有最小值
所以
故答案為：4
三、解答題
16．已知函數(shù).
(1)求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；
(2)求的單調(diào)區(qū)間.
【答案】(1)
(2)的單調(diào)遞增區(qū)間是和；單調(diào)遞減區(qū)間是
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，得出切線(xiàn)斜率，再計(jì)算出，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)方程，整理即得；
（2）由得增區(qū)間，得減區(qū)間，即可．
【詳解】（1）由題意得：，
所以(1)，(1)，
故曲線(xiàn)在點(diǎn)，(1)處的切線(xiàn)方程，即；
（2），
令，易得或，令，易得，
所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減，
即的單調(diào)遞增區(qū)間是和；單調(diào)遞減區(qū)間是.
17．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，
(1)若，且第3項(xiàng)與第6項(xiàng)相等，求實(shí)數(shù)x的值；
(2)若第5項(xiàng)系數(shù)是第3項(xiàng)系數(shù)的10倍，求n的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得展開(kāi)式的通項(xiàng)，根據(jù)題意列出方程，即可求解；
（2）求得展開(kāi)式的通項(xiàng)，根據(jù)題意，得到方程，結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算公式，即可求解.
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，可得展開(kāi)式的通項(xiàng)，
令，可得，令，可得，
因?yàn)榈?項(xiàng)與第6項(xiàng)相等，可得，解得.
（2）解：由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，
可展開(kāi)式中第5項(xiàng)的系數(shù)為，第3項(xiàng)的系數(shù)為，
因?yàn)榈?項(xiàng)系數(shù)是第3項(xiàng)系數(shù)的10倍，可得，
即，即，
可得，解得或（舍去），
所以的值為.
18．已知函數(shù).
(1)求的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)；
(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.
【答案】(1)極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為
(2)最大值為,最小值為
【分析】（1）求導(dǎo)，判斷單調(diào)區(qū)間，然后可得極值點(diǎn)；
（2）根據(jù)（1）可得單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可得最值.
【詳解】（1）
令解得或，列表如下：
所以極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為.
（2）由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，
所以
所以在區(qū)間上的最大值為，
最小值為.
19．一個(gè)口袋內(nèi)有5個(gè)不同的紅球，4個(gè)不同的白球.
(1)若將口袋內(nèi)的球全部取出后排成一排，求白球互不相鄰的排法種數(shù)；
(2)已知取出一個(gè)紅球記2分，取出一個(gè)白球記1分，若從口袋內(nèi)任取5個(gè)球，總分不少于8分，求不同的取法種數(shù).
【答案】(1)43200
(2)81
【分析】（1）使用插空法可解；
（2）分3紅2白，4紅1白，5紅三種情況求解即可.
【詳解】（1）先將5個(gè)紅球排成一排共，再將4個(gè)白色小球插入到6個(gè)空位中有，
所以白球互不相鄰的排法種數(shù)為種.
（2）當(dāng)取出的小球?yàn)?紅2白時(shí)得8分，共種；
當(dāng)取出小球?yàn)?紅1白時(shí)得9分，共種；
當(dāng)取出小球都是紅球時(shí)得10分，共1種.
所以口袋內(nèi)任取5個(gè)球，總分不少于8分的取法共有種.
20．已知函數(shù)，.
(1)判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
(2)若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求a的取值范圍.
【答案】(1)0，理由見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最值得到答案.
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，確定函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，計(jì)算值域得到，解得答案.
【詳解】（1），，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
，故函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn).
（2），單調(diào)遞減，故，即；
當(dāng)時(shí)，恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞增，
故，即，
故，則，解得，即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，恒成立和能成立問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中將恒成立和能成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
x
2
+
0
-
0
+
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

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