一、單選題
1．下面的散點(diǎn)圖與相關(guān)系數(shù)一定不符合的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖與相關(guān)系數(shù)直接的關(guān)系，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.
【詳解】①中，由散點(diǎn)圖可得，兩相關(guān)變量呈負(fù)相關(guān)，故①錯(cuò)；
②中，由散點(diǎn)圖可得，兩相關(guān)變量呈正相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)可能是；
③中，若相關(guān)系數(shù)，則所有的點(diǎn)應(yīng)該分布在一條直線上，散點(diǎn)圖顯然不符合，故③錯(cuò)；
④中，若相關(guān)系數(shù)，則所有的點(diǎn)應(yīng)該分布在一條直線上，散點(diǎn)圖顯然不符合，故④錯(cuò)；
故選：C.
2．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)取最大值，滿足題意，即有．
故選：B.
3．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，再畫出的圖像，根據(jù)圖像求參數(shù)范圍即可.
【詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得?br>設(shè)，則，由得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時(shí)，∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不同的根，即函數(shù)和有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，
故選：C.
4．安排，，，，，，共6名義工照顧甲，乙，丙三位老人，每兩位義工照顧一位老人，考慮到義工與老人住址距離問題，義工不安排照顧老人甲，義工不安排照顧老人乙，則安排方法共有
A．30種B．40種C．42種D．48種
【答案】C
【解析】利用間接法求解，首先計(jì)算出所有的安排方法，減掉照顧老人甲的情況和照顧老人乙的情況，再加回來多減一次的照顧老人甲的同時(shí)照顧老人乙的情況，從而得到結(jié)果.
【詳解】名義工照顧三位老人，每兩位義工照顧一位老人共有：種安排方法
其中照顧老人甲的情況有：種
照顧老人乙的情況有：種
照顧老人甲，同時(shí)照顧老人乙的情況有：種
符合題意的安排方法有：種
本題正確選項(xiàng)：
【點(diǎn)睛】本題考查利用排列組合解決實(shí)際問題，對(duì)于限制條件較多的問題，通常采用間接法來進(jìn)行求解.
5．下列說法中正確的是（ ）
①設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則
②已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布且，則
③小趙、小錢、小孫、小李到4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件“4個(gè)人去的景點(diǎn)互不相同”，事件“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則；
④；.
A．①②③B．②③④C．②③D．①②
【答案】A
【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式判斷①，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷②，根據(jù)條件概率判斷③，根據(jù)期望與方差的性質(zhì)判斷④；
【詳解】對(duì)于①：隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，
則，故①正確；
對(duì)于②：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布且，
則，故②正確；
對(duì)于③：事件 “4個(gè)人去的景點(diǎn)互不相同”，事件 “小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，
則，，所以，故③正確；
對(duì)于④：，，故④錯(cuò)誤．
故選：A．
6．如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個(gè)區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇.要求每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色且相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為
A．56B．72C．64D．84
【答案】D
【詳解】分析：每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，然后分類研究，A、C不同色和A、C同色兩大類.
詳解：分兩種情況：
（1）A、C不同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A、C同色，所以D可以從剩余的2中顏色中任意取一色）：有4×3×2×2=48種；
（2）A、C同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A、C同色，所以D可以從剩余的3中顏色中任意取一色）：有4×3×1×3=36種．
共有84種，故答案為D.
點(diǎn)睛：(1)本題主要考查排列組合的綜合問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2) 排列組合常用方法有一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對(duì)象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復(fù)雜問題分類法、小數(shù)問題列舉法.
7．已知變量x和y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：
根據(jù)上表可得回歸直線方程，據(jù)此可以預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，（ ）．
A．9.2B．9.5C．9.9D．10.1
【答案】B
【分析】計(jì)算出樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，代入回歸直線方程求得的值，然后在回歸直線方程中，令可求得結(jié)果.
【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得，，
由于回歸直線過樣本的中心點(diǎn)，，解得，
所以，回歸直線方程為，
當(dāng)時(shí)，.
故選：B.
8．在二項(xiàng)式的展開式中，二項(xiàng)式的系數(shù)和為256，把展開式中所有的項(xiàng)重新排成一列，有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和求得n，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式確定有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，根據(jù)插空法排列有理項(xiàng)，再根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.
【詳解】在二項(xiàng)式 展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和為，
所以.
則即，通項(xiàng)公式為，
故展開式共有9項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，展開式為有理項(xiàng)，
把展開式中所有的項(xiàng)重新排成一列，有理項(xiàng)都互不相鄰，
即把其它的6個(gè)無理項(xiàng)先任意排，再把這三個(gè)有理項(xiàng)插入其中的7個(gè)空中，方法共有種,
故有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為,
故選：C
9．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由題意可知，對(duì)任意的恒成立，可得出對(duì)任意的恒成立，利用基本不等式可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)?，則，
由題意可知，對(duì)任意的恒成立，所以，對(duì)任意的恒成立，
由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，.
故選：A.
二、填空題
10．若的展開式中常數(shù)項(xiàng)為，則展開式中的系數(shù)為__________.
【答案】
【分析】首先求出的展開式的通項(xiàng)公式，通過計(jì)算常數(shù)項(xiàng)求出a的值，再利用通項(xiàng)公式求的系數(shù).
【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，所以．當(dāng)時(shí)，，展開式中的系數(shù)為．
【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理展開式的應(yīng)用，考查二項(xiàng)式定理求特定項(xiàng)的系數(shù)，解題的關(guān)鍵是求出二項(xiàng)式的通項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.
三、雙空題
11．假設(shè)某市場(chǎng)供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠產(chǎn)品的合格率是90%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，在該市場(chǎng)中隨機(jī)購買一個(gè)燈泡，是合格品的概率為___________；如果買到的燈泡是合格品，那么它是甲廠產(chǎn)品的概率為___________.
【答案】
【分析】由全概率公式與條件概率公式求解即可
【詳解】設(shè)為甲廠產(chǎn)品，為乙廠產(chǎn)品，表示合格產(chǎn)品，則，，，，
所以，
燈泡是甲廠生產(chǎn)的概率為，
所以
故答案為：；
四、填空題
12．袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機(jī)變量ξ，則P（ξ≤7）=______．（用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果）
【答案】
【詳解】取出的4只球中紅球個(gè)數(shù)的可能為4，3，2，1個(gè)，
黑球相應(yīng)個(gè)數(shù)為0，1，2，3個(gè)，
∴得分的隨機(jī)變量ξ=4，6，8，10，
∴P（ξ≤7）=P（ξ=4）+P（ξ=6）
故答案為：
13．某學(xué)校對(duì)全校進(jìn)行統(tǒng)計(jì)抽查，抽出50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量多少的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：
根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到.
則在犯錯(cuò)誤的概率不超過______的前提下，認(rèn)為“玩電腦游戲與認(rèn)為作業(yè)多少”有關(guān)系
參考數(shù)據(jù)表：
【答案】
【分析】根據(jù)的值，對(duì)照臨界值表即可得出結(jié)論.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為“玩電腦游戲與認(rèn)為作業(yè)多少”有關(guān)系.
故答案為：.
14．從2020年開始，學(xué)習(xí)強(qiáng)國開通了一項(xiàng)“爭上游答題”欄目，其規(guī)則是在一天內(nèi)參與答題活動(dòng)，僅前兩局比賽有積分，首局獲勝積3分，次局獲勝積2分，失敗均得1分.若甲每局比賽獲勝的概率為，每局比賽相互獨(dú)立.記甲某天參加答題活動(dòng)(參與2局比賽以上)的得分為，則得分的數(shù)學(xué)期望___________.
【答案】3
【分析】根據(jù)題意，分析可得可取的值為2，3，4，5，由互事件的概率公式計(jì)算可得的值，由隨機(jī)變量的期望公式計(jì)算可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，該人參加一次答題活動(dòng)得分為，則可取的值為2，3，4，5，
若，即該人兩局都失敗了，則,
若，即該人第一局失敗了，而第二局勝利，則
若，即該人第一局勝利，而第二局失敗，則,
若，即該人兩局都勝利了，則
.
故答案為：3.
15．已知，則______.
【答案】
【分析】令，求得，再令，，兩式相加即可得解.
【詳解】令，則，
令，則，①
令，則，②
兩式相加得
所以，所以.
故答案為：.
五、解答題
16．已知在的展開式中，第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比是．
（1）求n的值；
（2）求展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和；
（3）求展開式中所有的有理項(xiàng)．
【答案】（1）；（2）；（3）有理項(xiàng)為，，．
【分析】（1）求得第5項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，結(jié)合題意，列出方程，化簡計(jì)算，即可求得n值；
（2）由（1）可得二項(xiàng)式，令，代入計(jì)算，即可得答案.
（3）求得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，當(dāng)時(shí)，為有理項(xiàng)，即可求得k值，即可得答案.
【詳解】（1）解：依題意得，
所以解得．
（2）解：令，則有，
所以展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為．
（3）解：，
其通項(xiàng)為．
當(dāng)時(shí)，為有理項(xiàng)，故或或．
所以，展開式中的有理項(xiàng)為，和．
17．袋子和中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從中摸出一個(gè)紅球的概率是，從中摸出一個(gè)紅球的概率是.現(xiàn)從兩個(gè)袋子中有放回的摸球.
(1)從中摸球，每次摸出一個(gè)，共摸5次.求：
（?。┣『糜?次摸到紅球的概率；
（ⅱ）設(shè)摸得紅球的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的期望；
(2)從中摸出一個(gè)球，若是白球則繼續(xù)在袋子中摸球，若是紅球則在袋子中摸球，若從袋子中摸出的是白球則繼續(xù)在袋子中摸球，若是紅球則在袋子中摸球，如此反復(fù)摸球3次，計(jì)摸出的紅球的次數(shù)為.求的分布列以及隨機(jī)變量的期望.
【答案】(1)，；
(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望
【分析】（1）（?。└鶕?jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式求解即可；
（ⅱ）由題意隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，求出變量對(duì)應(yīng)取值的概率，寫出分布列，利用數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算即可；
（2）分別求出變量對(duì)應(yīng)取值的概率，寫出分布列，利用數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）（?。┯深}意，從袋中有放回地摸球，是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得，5次試驗(yàn)中恰好有3次摸到紅球的概率為；
（ⅱ）由題意可得：隨機(jī)變量的取值為0，1，2，3，4，5.
，，
，，
，.
的分布列是：
.
（2）由題意可得：隨機(jī)變量的取值為0，1，2，3.
，，
，
.
的分布列為
.
18．已知函數(shù)，，其中為自然數(shù)的底數(shù)．
（1）若為的極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間和最大值．
（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得的最大值是．若存在，求出的值．若不存在，說明理由．
（3）設(shè)，，在（1）的條件下，求證：．
【答案】（1）在上單調(diào)遞，在上單調(diào)遞減；的最大值為；（2）存在；．
【分析】（1），，，由，求出，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最大值；
（2）的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，，利用在，上的最大值為，求的值．
（3）可得，又的最大值為，可得對(duì)于區(qū)間，上的任意，即可得證．
【詳解】解：（1）因?yàn)椋?br>所以．
由，得．
故，，
若，則，
若，則．
所以在上單調(diào)遞，在上單調(diào)遞減．
所以的最大值為．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使有最大值，，
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
，（舍去）．
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
，（舍去）．
③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，則，滿足條件．
綜上所述，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最大值．
（3）因?yàn)榈臉O大值為，即在上的最大值為，
所以，．
由，得，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．
所以．
因?yàn)?，，?br>對(duì)于區(qū)間，上的任意，總有，即．
【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
19．設(shè)函數(shù)，
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線斜率;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)設(shè)，當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，存在，使，求實(shí)數(shù)取值范圍.
【答案】(1)
(2)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
(3)
【分析】（1）由題意可得，據(jù)此確定切線的斜率即可;
（2）由可得，據(jù)此分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可;
（3）由題意可得，則原問題等價(jià)于，據(jù)此求解實(shí)數(shù)的取值范圍即可.
【詳解】（1），
則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.
（2）令，所以，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（3）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以對(duì)任意，有，
又已知存在，使，
所以，
即存在，使，
即，
設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，或，即函數(shù)的增區(qū)間為，;
當(dāng)時(shí)，或，即函數(shù)的減區(qū)間為，，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，
所以，
所以，即實(shí)數(shù)取值范圍是.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
20．已知函數(shù)，(為常數(shù))
(1)若
①求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值．
②若過點(diǎn)可作函數(shù)的三條不同的切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）①；②；（2）．
【分析】(1)①利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值；②設(shè)曲線切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，故切線方程為，
因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以有三個(gè)不同的解；
（2）不等式等價(jià)于，令，明確函數(shù)的最值，對(duì)a分類討論，即可得到結(jié)果．
【詳解】(1)因?yàn)?，所以，從而?br>①令，解得或，列表：
所以，，．
②設(shè)曲線切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
故切線方程為，
因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，
即，
令，則，
所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，
所以，，
要使過點(diǎn)可以作函數(shù)的三條切線，則需，解得．
（2）當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，
令，則，
所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故．
若，則，此時(shí)；
若，則，從而；
綜上可得．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想方法，屬于中檔題.
x
1
2
3
4
5
y
5
5
6
6
8
認(rèn)為作業(yè)多
認(rèn)為作業(yè)不多
總數(shù)
喜歡玩電腦游戲
18
9
27
不喜歡玩電腦游戲
8
15
23
總數(shù)
26
24
50
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
0
1
2
3
4
5

0
1
2
3





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