2022-2023學(xué)年天津市南開中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)結(jié)合乘法求導(dǎo)法則運算求解.【詳解】由題意可得：.故選：C.2．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)運算求解.【詳解】由題意可得：，則.故選：C.3．函數(shù)在處的切線的傾斜角為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析運算.【詳解】由題意可得：，則，可得，所以函數(shù)在處的切線的斜率，傾斜角為.故選：B.4．以下關(guān)于函數(shù)，的單調(diào)性的判斷正確的是（    ）A．在上單調(diào)遞增B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減D．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增【答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)得到，即可判斷.【詳解】因為，，所以，因為，所以，則，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.故選：B5．以下關(guān)于函數(shù)的極值的說法正確的是（    ）A．極大值為，極小值為11B．極大值為11，極小值為C．極大值為，極小值為D．既無極大值，也無極小值【答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值.【詳解】函數(shù)定義域為,所以，令，解得，令，解得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，，所以在處取得極小值，在處取得極大值，即，.故選：C6．將一個邊長為3cm的正方形鐵片的四角截去四個邊長均為cm的小正方形，做成一個無蓋方盒，則該方盒容積最大為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意方盒的底面邊長為的正方形，高為，即可求出的取值范圍，則無蓋方盒的容積為，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值.【詳解】依題意方盒的底面邊長為的正方形，高為，則，即，所以無蓋方盒的容積為，，則，令，解得或；令，解得．函數(shù)的定義域為，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值即最大值，所以，即該方盒容積最大為.故選：B7．已知函數(shù)在處極大值，則的值為（    ）A．1 B．3 C．1或3 D．0或1或3【答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再令導(dǎo)數(shù)等于，求出值，再檢驗函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是否滿足在處左側(cè)為正數(shù)，右側(cè)為負數(shù)，把不滿足條件的值舍去．【詳解】函數(shù)，，由題意知，，或，又函數(shù)在處有極大值，故導(dǎo)數(shù)值在處左側(cè)為正數(shù)，右側(cè)為負數(shù)．當(dāng)時，，滿足導(dǎo)數(shù)值在處左側(cè)為正數(shù)，右側(cè)為負數(shù)．當(dāng)時，，導(dǎo)數(shù)值在處左側(cè)為負數(shù)，右側(cè)為正數(shù)，不符合題意，故．故選：B．8．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系分析可得原題意等價于在上恒成立，根據(jù)恒成立問題結(jié)合二次函數(shù)分析運算.【詳解】由題意可得：，令，可得，原題意等價于在上恒成立，因為開口向下，對稱軸，可得在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，取到最大值，所以的取值范圍是.故選：A.9．若函數(shù)恰有兩個零點，則的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意分析可得：原題意等價于與有兩個交點，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合圖象分析求解.【詳解】當(dāng)時，則無零點，不符合題意；當(dāng)時，令，則，故原題意等價于與有兩個交點，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，且當(dāng)x趨近于時，趨近于，所以的圖象如圖所示，由圖象可得：若與有兩個交點，則，解得，故的取值范圍是.故選：D.10．已知是定義在上的奇函數(shù)，若對于任意的，都有成立，且，則不等式解集為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，首先判斷的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)不等式.【詳解】令，，因為是定義在上的奇函數(shù)，即，，是奇函數(shù)；又當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；又，， 對于不等式，又，所以，所以不等式等價于，即，即，所以，即不等式解集為．故選：A． 二、填空題11．函數(shù)在處的切線方程為______.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率、切點，再代入直線的點斜式方程化簡即可．【詳解】因為，所以，切線的斜率，，所以切點為，所以切線方程為：，即．故答案為：．12．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是______.【答案】【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性.【詳解】由題意可得：，令，解得或，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：. 三、雙空題13．已知函數(shù)，則在上的最小值為______，最大值為______.【答案】     /0.5     【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性，進而確定最值.【詳解】由題意可得：，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，空1：所以當(dāng)時，取到最小值；空2：又因為，且，可得，所以當(dāng)時，取到最大值.故答案為：；. 四、填空題14．若函數(shù)有兩個不同的極值點，則實數(shù)a的取值范圍是____________.【答案】【分析】根據(jù)為函數(shù)有兩個不同的極值點，由 有兩個不同的根求解.【詳解】解：因為 ，所以，因為函數(shù)有兩個不同的極值點，所以 有兩個不同的根，即方程有兩個不同的根，所以 ，解得 ，所以實數(shù)a的取值范圍是故答案為：15．已知函數(shù)，若函數(shù)（為常數(shù)）有且僅有4個零點，則的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)題意分析可得原題意等價于與有4個不同的交點，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合圖象分析判斷.【詳解】令，則，原題意等價于與有4個不同的交點，當(dāng)時，則，可得，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，且當(dāng)x趨近于0時，趨近于，當(dāng)x趨近于時，趨近于0；當(dāng)，則開口向下，對稱軸，可得；可得的圖象，若與有4個不同的交點，則的取值范圍是.故答案為：.16．明年是我校建校120周年，也是同學(xué)們在南開的最后一年，歐陽南德與上官索愛同學(xué)想以數(shù)學(xué)的浪漫紀念這特殊的一年，他們以三次函數(shù)及其三條切線為藍本設(shè)計了一枚“NK章”，并把它放入一個盒子，埋藏于南開園的某角落，并為這“時間膠囊”設(shè)置了一個密碼，他們把密碼隱藏于刻在盒子上的一道“數(shù)學(xué)謎語”中：在這盒子中有一枚我們留下的微章，它由“N”，“K”兩個字母組合而成.其中“N”蘊含在函數(shù)的圖象中，過點與曲線相切的直線恰有三條，這三條切線勾勒出了“K”的形狀，請你求出使?jié)M足條件的三條切線均存在的整數(shù)的個數(shù)，這就是打開盒子的密碼：______.歐陽南德&上官索愛【答案】31【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析可得原題意等價于與有三個不同的交點，求導(dǎo)判斷的單調(diào)性與極值，結(jié)合圖象分析運算.【詳解】由題意可得：，且，設(shè)切點坐標(biāo)為，斜率，則切線方程，因為切線過點，則，整理得，構(gòu)建，原題意等價于與有三個不同的交點，因為，令，解得；令，解得或；則在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，且，若與有三個不同的交點，則，所以整數(shù)的個數(shù)為31.故答案為：31.【點睛】方法點睛：對于函數(shù)零點的個數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求解．這類問題求解的通法是：（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點和難點，并求其定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點；（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進而求解． 五、解答題17．求函數(shù)，的最大值和最小值.【答案】【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性，進而確定最值.【詳解】由題意可得：，令，解得；令，解得或；則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，因為，所以當(dāng)時，取到最大值20，當(dāng)時，取到最小值.18．已知函數(shù)，討論其單調(diào)區(qū)間與極值.【答案】答案見詳解【分析】求導(dǎo)，討論的正負以及與0的大小，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性與極值.【詳解】由題意可得：，（i）當(dāng)時，則，令，解得；令，解得；可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，有極大值，無極小值；（ⅱ）當(dāng)時，令，解得或，①當(dāng)，即時，令，解得或；令，解得；可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，有極大值，極小值；②當(dāng)，即時，則，可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，無極值；③當(dāng)，即時，令，解得或；令，解得；可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，有極大值，極小值；綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，有極大值，無極小值；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，有極大值，極小值；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無極值；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，有極大值，極小值.19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求在處的切線方程；(2)若有兩個零點，求的取值范圍；(3)求證：.【答案】(1)(2)(3)證明見詳解 【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義運算求解；（2）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分類討論原函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性分析零點，即可得結(jié)果；（3）由（2）可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)可得，進而可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，則，可得，即切點坐標(biāo)為，斜率，所以切線方程.（2）由題意可得：，因為，則有：（i）當(dāng)時，則，即，所以在上單調(diào)遞減，至多有1個零點，不合題意；（ⅱ）當(dāng)時，令時，則；令時，則；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)x趨近于時，趨近于，當(dāng)x趨近于時，趨近于，若有兩個零點，則，構(gòu)建，則在上單調(diào)遞增，且，若，則；綜上所述：的取值范圍為.（3）由（2）可知：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；構(gòu)建，則，構(gòu)建，則，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即恒成立，則在上單調(diào)遞增，且，令，解得；令，解得；即當(dāng)時，；當(dāng)時，；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；綜上所述：，但等號不能同時取到，所以.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)h(x)；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的單調(diào)性或最值；（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題． 

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