2023屆高三數(shù)學(xué)第二次模擬檢測試卷第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  已知集合，，則(    )A.  B.
C.  D. 2.  已知，其中為虛數(shù)單位，則(    )A.  B.  C.  D. 3.  中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且，，則(    )A.  B.  C.  D. 4.  我國古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書九章中有“天池盆測雨”題，是指在下雨時(shí)可以用圓臺形的盆接雨水來測量降雨量若一個(gè)圓臺形盆的上口直徑為，盆底直徑為，盆深，某次下雨盆中積水，則這次降雨量最接近注：降雨量等于盆中水的體積除以盆口面積(    )A.  B.  C.  D. 5.  從數(shù)字，，，，中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)大于的概率為 (    )A.  B.  C.  D. 6.  將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為 (    )A.  B.  C.  D. 7.  已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，，則球的表面積為 (    )A.  B.  C.  D. 8.  設(shè)，，，則 (    )A.  B.  C.  D. 二、多選題（本大題共4小題，共20分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.  已知函數(shù)，則(    )A. 沒有極值點(diǎn)
B. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與直線有三個(gè)公共點(diǎn)
C. 點(diǎn)是曲線的對稱中心
D. 直線是曲線的切線10.  已知正方體的棱長為，長為的線段的一個(gè)端點(diǎn)在棱上運(yùn)動，在底面內(nèi)可以在正方形邊上運(yùn)動，線段中點(diǎn)的軌跡為，與平面、平面和平面圍成的區(qū)域內(nèi)有一個(gè)小球，球心為，則(    )A. 球半徑的最大值為
B. 被正方體側(cè)面截得曲線的總長為
C. 的面積為
D. 與正方體的表面所圍成的較小的幾何體的體積為11.  已知是拋物線的焦點(diǎn)，，是上的兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，則 (    )A. 若，則的面積為
B. 若垂直的準(zhǔn)線于點(diǎn)，且，則四邊形的周長為
C. 若直線過點(diǎn)，則的最小值為
D. 若，則直線恒過定點(diǎn)12.  已知奇函數(shù)，恒成立，且當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則 (    )A.
B. 函數(shù)為周期函數(shù)
C. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
D. 函數(shù)的圖象既有對稱軸又有對稱中心第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.  在的展開式中含的項(xiàng)為第項(xiàng)，設(shè)，則的值為          ．14.  已知圓和圓的公共弦所在直線橫過定點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線被圓上截得的弦長為，則直線的方程為          ．15.  若曲線在在，兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則的最小值為          ．16.  已知曲線，點(diǎn)與曲線的焦點(diǎn)不重合已知關(guān)于曲線的焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為，，線段的中點(diǎn)在曲線上，若時(shí)，的值為，時(shí)，的值為，則的值為          ．四、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足．求數(shù)列和的通項(xiàng)公式若數(shù)列的前項(xiàng)和，，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 18.  本小題分在中，角，，的對邊分別為，，，．求；再從條件、條件這兩組條件中選擇一組作為已知，使存在且唯一確定，求．條件：，；條件：； 19.  本小題分年月初，某市爆發(fā)了一種新型呼吸道傳染疾病，該疾病具有較強(qiáng)的傳染性，為了盡快控制住該傳染病引起的疫情，該市疫情監(jiān)控機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了月日到日每天新增病例的情況，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：月日新增病例人已知在月日新增的人病例中有人年齡在歲以上，工作人員從這人中任選人研究病人的感染情況，若這人中歲以上的人數(shù)為，試求的分布列疫情監(jiān)控機(jī)構(gòu)對題中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作線性回歸分析，可以根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)建立關(guān)于的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程根據(jù)中的線性回歸方程，預(yù)測到哪一天新增病例人數(shù)將超過人附：對于一組組數(shù)據(jù)，，，，，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，．
參考數(shù)據(jù)：． 20.  本小題分如圖，在以為頂點(diǎn)，母線長為的圓錐中，底面圓的直徑長為，是圓所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且是圓的切線，連接交圓于點(diǎn)，連接，．求證：平面平面；若是的中點(diǎn)，連接，，當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值． 21.  本小題分已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，長軸長為，，是上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)垂直于軸時(shí)，的周長為．求的方程；已知的離心率，直線與交于點(diǎn)異于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)異于點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)． 22.  本小題分已知函數(shù)，，
設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，試討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)
設(shè)，當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
答案和解析 1.答案： 解析：若，則，，
即，由，得，
．故選B．2.答案： 解析：由題意得
故．故選B．3.答案： 解析：由題設(shè)，，又，，
，
 ，
，而共線，，可得．故選A．  4.答案： 解析：根據(jù)題意，盆中水的體積約為，
降雨量等于故選：．5.答案： 解析：從數(shù)字，，，，中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，
共有種結(jié)果，
這個(gè)兩位數(shù)大于的情況有：，，，，，，，，共有個(gè)，
根據(jù)古典概型概率公式得到，故選B．  6.答案： 解析：函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為，
由，得，
所以當(dāng)時(shí)函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是，所以的最大值為．故選A．7.答案： 解析：在三棱錐中，如圖，，則，同理，
而，，平面，因此平面，
在等腰中，，，則，
，
令的外接圓心為，則平面，，
有，取中點(diǎn)，連接，則有，又平面，即，
從而四邊形為平行四邊形，，又，
因此的半徑，
所以球的表面積．
   8.答案： 解析：由，，，得，，，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，單調(diào)遞減時(shí)，，單調(diào)遞增，在處取最小值，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，取，得，，設(shè)，則，令，，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以，，
．故選：．9.答案： 解析：因?yàn)?/span>
，時(shí)，，所以為奇函數(shù)，則關(guān)于點(diǎn)對稱，故選項(xiàng)C正確當(dāng)時(shí)，，
令，解得，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又為奇函數(shù)，
畫出的大致圖象，
由圖知選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B錯(cuò)誤假設(shè)是曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，或當(dāng)時(shí)，直線是曲線的切線，故選項(xiàng)D正確．故選：．
   10.答案： 解析：連接，當(dāng)不在底面內(nèi)時(shí)為直角三角形，所以中點(diǎn)到的距離為，所以中點(diǎn)的軌跡是以為球心，為半徑的球面在正方體內(nèi)部的部分，
設(shè)球半徑最大值為，當(dāng)球半徑最大時(shí)，球與平面、平面、平面和軌跡都相切，因?yàn)榍?/span>半徑為，兩球的球心距離為，，所以，，所以A正確因?yàn)?/span>被正方體一個(gè)側(cè)面截得曲線的長度是為半徑的圓的，所以被正方體側(cè)面截得曲線的總長為，B正確
因?yàn)?/span>是半徑為的球面的，所以的面積為，C錯(cuò)誤因?yàn)?/span>與正方體的表面所圍成的較小的幾何體的體積為球體積的，所以體積等于，D正確故選：．  11.答案： 解析：對于選項(xiàng)A，設(shè)，
由題意得，解得，所以，
從而，選項(xiàng)A正確；
對于選項(xiàng)B，由題意知，且垂直于軸，
根據(jù)拋物線的定義可知．
設(shè)與軸的交點(diǎn)為，易知，，
故，
所以四邊形的周長為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)C，若直線過點(diǎn)，則當(dāng)軸時(shí)，最小，且最小值為，選項(xiàng)C正確；
對于選項(xiàng)D，設(shè)直線：，，，
聯(lián)立直線與拋物線方程得，則，
所以，
由可得，
即，解得，
故直線的方程為，
即直線恒過定點(diǎn)，選項(xiàng)D正確．故選：．12.答案： 解析：因?yàn)?/span>奇函數(shù)，，，，即，周期為，則的周期為，所以，A錯(cuò)誤，B正確；令，即，則，即；令，即，則，即；令，即，則，即；所以根據(jù)周期性在上的圖象與在相同，所以，當(dāng)，即時(shí)，，C正確；由是周期為的奇函數(shù)，則且，所以，故關(guān)于對稱，，所以關(guān)于對稱，D正確．故選：．13.答案： 解析：展開式的通項(xiàng)為，，，依題意，當(dāng)時(shí)，，解得，
令，，，所以．故答案為：．14.答案：或 解析：兩圓方程相減，可得公共弦所在直線為，令，得定點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，過點(diǎn)的直線被圓上截得的弦長為時(shí)圓心到直線的距離為，所以，直線的方程為，顯然直線的方程為時(shí)也滿足題意，故答案為：或．  15.答案： 解析：
，
，
曲線的切線斜率在范圍內(nèi)，
又曲線在兩點(diǎn)處的切線互相垂直，
故在，兩點(diǎn)處的切線斜率必須一個(gè)是，一個(gè)是．
不妨設(shè)在點(diǎn)處切線的斜率為，
則有，，
則可得，
所以．故答案為：．16.答案：或 解析：設(shè)曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，
若，則曲線為橢圓，由中位線及橢圓定義知，，所以
若，則曲線為雙曲線，由中位線及雙曲線定義知，，所以，，
或．  17.解：當(dāng)時(shí)，，由得，，
又也符合，
，．，．，，，兩式相減得：，所以．18.解：因?yàn)?/span> ，所以 ，所以 ，則  ，又，解得 ；若選條件：，，
因?yàn)?/span> ，所以  ，所以 ，則 ，故 無解；若選條件：，
因?yàn)?/span> ，又  ，所以 ，由正弦定理得：  ，所以  ，所以 ，又 ，解得，，因?yàn)?/span> ，由正弦定理得：  ，
所以 ． 19.解：可能的值為，，，，，，的分布列為，，
 回歸直線方程為由，，解得．月日新增病例人數(shù)將超過人． 20.解：是圓的直徑，與圓切于點(diǎn)，，底面圓，底面圓，
，，、平面，
平面，又平面，
，在中，，則，
，，、平面，
平面，又平面，
平面平面；底面圓，、底面圓，
 ，，
為二面角的平面角， ，如圖以為原點(diǎn)，在底面圓內(nèi)過點(diǎn)作的垂線為軸，、分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
易知，則，，，，，，由知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，，， ，，，， ，令，得，，故平面的一個(gè)法向量為，．平面與平面所成銳二面角的余弦值為．21.解：由題意可知：，又因?yàn)?/span>，是上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)動點(diǎn)，所以，則的周長為，因?yàn)?/span>，即，又因?yàn)?/span>，所以，故的方程為．當(dāng)，為橢圓的左右頂點(diǎn)時(shí)，直線與軸重合；當(dāng)，為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，則，所以直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得點(diǎn)，同理可得點(diǎn)，此時(shí)直線的方程為；當(dāng)，不是頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，，由，整理可得：，，，設(shè)直線的方程為，其中，，，由，整理可得：，，所以設(shè)直線的方程為，其中，，，由，整理可得：，，所以，所以，整理可得：，所以，因?yàn)?/span>，則，整理可得：，將代入上式可得：，也即，因?yàn)?/span>，所以，所以直線的方程為，恒過定點(diǎn)，綜上：直線恒過定點(diǎn)．22.解：，令，函數(shù)的零點(diǎn)即為的方程的根，令，，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，，時(shí)，，時(shí)，，且當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，則的大致圖象如圖所示：由數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，若成立，即對恒成立，即對恒成立，亦即對恒成立，設(shè)函數(shù)，對恒成立，又，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，又，在上恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，，此時(shí)滿足已知條件，當(dāng)時(shí)，由，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，的最小值，解得，綜上，的取值范圍是．

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