定遠中學(xué)2023屆高中畢業(yè)生5月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1. 設(shè)集合，集合，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】分別解出集合和集合，再根據(jù)交集的定義即可得到答案.【詳解】由題得則，，故選：C．2. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（    ）A. 2 B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求解.【詳解】因為，所以，所以的虛部是，故選:C.3. 已知，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)角的變換，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換，即可求解.【詳解】.故選：D4. 正六邊形ABCDEF中，用和表示，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合向量的線性運算，即可求解.【詳解】設(shè)邊長為2，如圖，設(shè)交于點，有，，則，故選：B5. 記為等差數(shù)列的前項和．若，，則數(shù)列的公差為（    ）A.  B.  C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】由等差數(shù)列的通項公式和前項和公式結(jié)合條件建立方程組，可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為 由可得 ，即將這兩式聯(lián)立解得： 故選：C6. 設(shè)拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點，過P作l的垂線，垂足為Q，若直線QF的傾斜角為，則（    ）A. 3 B. 6 C. 9 D. 12【答案】B【解析】【分析】根據(jù)幾何圖形，結(jié)合拋物線的定義的性質(zhì)，即可判斷.【詳解】依題意，，，，又，，則為等邊三角形，有，故選：B7. 如圖1，洛書是一種關(guān)于天地空間變化脈絡(luò)的圖案，2014年正式入選國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，其數(shù)字結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，形成圖2中的九宮格，將自然數(shù)1，2，3，…，放置在n行n列的正方形圖表中，使其每行、每列、每條對角線上的數(shù)字之和（簡稱“幻和”）均相等，具有這種性質(zhì)的圖表稱為“n階幻方”．洛書就是一個3階幻方，其“幻和”為15．則7階幻方的“幻和”為（    ） 圖1 圖2 A. 91 B. 169 C. 175 D. 180【答案】C【解析】【分析】根據(jù)“幻和”的定義，將自然數(shù)1至累加除以n即可得結(jié)果.【詳解】由題意，7階幻方各行列和，即“幻和”為.故選：C8. 已知函數(shù)，直線，點在函數(shù)圖像上，則以下說法正確的是(    )A. 若直線l是曲線的切線，則B. 若直線l與曲線無公共點，則C. 若，則點P到直線l的最短距離為D. 若，當(dāng)點P到直線l的距離最短時，【答案】D【解析】【分析】求f(x)導(dǎo)數(shù)，令求出可判斷D；若直線l是曲線的切線，則再根據(jù)(，f())在l上即可求出t；當(dāng)處切線與l平行時，P到l距離最短，求出P的坐標(biāo)，利用點到直線距離公式可求最短距離，據(jù)此可判斷C；令，研究的圖像，y＝t的圖像和y＝g(x)圖像無交點時直線l和曲線y＝f(x)無公共點，據(jù)此可求t的范圍，從而判斷B選項．【詳解】f(x)定義域為(0，＋?)，，若直線l是曲線的切線，則，代入得，，故A錯誤；當(dāng)t＝－2時，當(dāng)在點P處的切線平行于直線l時，P到切線直線l的最短距離，則，故D正確；此時，故P為，P到l：的距離為，故C錯誤；設(shè)，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，∴，又時，；時，，∴若直線l與曲線無公共點，則t＜3，故B錯誤．故選：D．二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求）9. 新能源汽車包括純電動汽車、增程式電動汽車、混合動力汽車、燃料電池電動汽車、氫發(fā)動機汽車等.我國的新能源汽車發(fā)展開始于世紀初，近年來發(fā)展迅速，連續(xù)8年產(chǎn)銷量位居世界第一.下面兩圖分別是年至年我國新能源汽車年產(chǎn)量和占比（占我國汽車年總產(chǎn)盤的比例）情況，則（    ）A. 年我國新能源汽車年產(chǎn)量逐年增加B. 年我國新能源汽車年產(chǎn)量的極差為萬輛C. 年我國汽車年總產(chǎn)量超過萬輛D. 年我國汽車年總產(chǎn)量不低于年我國汽車年總產(chǎn)量【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)我國新能源汽車年產(chǎn)量圖可判斷AB選項；計算出、、這三年我國汽車年總產(chǎn)量，可判斷CD選項.【詳解】對于A選項，由圖可知，從年到年，我國新能源汽車年產(chǎn)量在下降，故A錯；對于B選項，年我國新能源汽車年產(chǎn)量的極差為萬輛，故B對；對于C選項，年我國汽車年總產(chǎn)量約為萬輛，故C對；對于D選項，年我國汽車年總產(chǎn)量為萬輛，年我國汽車年總產(chǎn)量為萬輛，所以年我國汽車年總產(chǎn)量低于年我國汽車年總產(chǎn)量，故D錯故選：BC10. 橢圓的一個焦點和一個頂點在圓上，則該橢圓的離心率的可能取值有（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】BCD【解析】【分析】首先求圓與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，再分情況，求橢圓的離心率的取值.【詳解】，圓與軸的交點坐標(biāo)為或，與軸的交點為，而橢圓的焦點在軸，當(dāng)焦點是，右頂點，此時，離心率，當(dāng)焦點是，上頂點，此時，那么，離心率，當(dāng)焦點是，上頂點，此時，那么，離心率故選：BCD11. 已知函數(shù)（），則函數(shù)的圖像不可能是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】ACD【解析】【分析】由是奇函數(shù)，的圖像是的圖像向上或向下平移得到的，可知A不可能；分別討論和，根據(jù)，結(jié)合函數(shù)的圖象，可知C、D不可能.【詳解】設(shè)，是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱，∵，∴的圖像是的圖像向上或向下平移得到的，∴A項不可能，符合題意；由，知當(dāng)，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，∴，即，∴D項不可能，符合題意；當(dāng)，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，又，∴，即，∴C項不可能，符合題意；結(jié)合以上幾種情況可判斷B可能，不符合題意.故選：ACD.【點睛】本題考查了三次函數(shù)圖象性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想和邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題目.12. 三棱錐中，，，，直線PA與平面ABC所成的角為，直線PB與平面ABC所成的角為，則下列說法中正確的有（    ）A. 三棱錐體積的最小值為B. 三棱錐體積的最大值為C. 直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時，二面角的平面角為銳角D. 直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時，二面角的平面角為鈍角【答案】ACD【解析】【分析】作平面，由題意得到，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，求得點的軌跡方程為，結(jié)合圓的性質(zhì)求得，利用體積公式，可判定A正確，B錯誤；再化簡得到結(jié)合點與圓的位置關(guān)系，得到H在外部，可判定C、D正確．【詳解】如圖（1）所示，作平面，連接，因為直線PA與平面ABC所成的角為，直線PB與平面ABC所成的角為，所以，即所以，即，以所在的直線為軸，以的垂直平分線為軸，建立如圖（2）平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，則，整理得，可得圓心，半徑，設(shè)點圓與軸的交點分別為，可得，因為，所以又由且， 所以，則，，所以A正確，B錯誤；因為，可設(shè)，設(shè)與平面所成角為，且，可得，且，又由，令，根據(jù)斜率的結(jié)合意義，可得表示圓與定點連線的斜率，又由與圓相切時，可得，解得或，即，當(dāng)時，此時取得最小值，即最小時，此時H在外部， 如圖（3）所示，此時二面角平面角為銳角，的平面角為鈍角，所以C、D正確．故選：ACD．第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20分）13. 已知的展開式中各項的系數(shù)之和為256，記展開式中的系數(shù)為，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出冪指數(shù)n，再求出二項式展開式的通項公式，并求出a值作答.【詳解】依題意，取，得，解得，展開式的通項公式，，令，解得，于是，所以.故答案：14. 在日常生活中，石子是我們經(jīng)常見到的材料，比如在各種建筑工地或者建材市場上常常能看到堆積如山的石子，它的主要成分是碳酸鈣.某雕刻師計劃在底面邊長為2m、高為4m的正四棱柱形的石料中，雕出一個四棱錐和球M的組合體，其中O為正四棱柱的中心，當(dāng)球的半徑r取最大值時，該雕刻師需去除的石料約重___________kg.（最后結(jié)果保留整數(shù)，其中，石料的密度，質(zhì)量）【答案】【解析】【分析】求出正四棱柱的體積，和正四棱錐、球的體積，從而得出需去除的石料的體積，再由公式計算出質(zhì)量．【詳解】依題意知，正四棱柱的體積.四棱錐的底面為正方形，高，所以其體積.球M的半徑r最大為1，此時其體積.故該雕刻師需去除的石料的體積.又，所以該雕刻師需去除的石料的質(zhì)量為.【點睛】本題考查棱柱、棱錐、球的體積，掌握體積公式是解題基礎(chǔ)．15. 直線：和：與x軸圍成的三角形是等腰三角形，寫出滿足條件的k的兩個可能取值：______和______．【答案】    ①.     ②. （答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)給定條件，按等腰三角形底邊所在直線分類，結(jié)合斜率的意義及二倍角的正切求解作答.【詳解】令直線的傾斜角分別為，則，當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在x軸上時，，；當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在直線上時，，，，整理得，而，解得；當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在直線上時，，，所以k的兩個可能取值，.故答案為：；16. 在同一平面直角坐標(biāo)系中，P，Q分別是函數(shù)和圖象上的動點，若對任意，有恒成立，則實數(shù)m的最大值為______．【答案】【解析】【分析】利用同構(gòu)思想構(gòu)造，得到其單調(diào)性，得到，再構(gòu)造，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性及其最小值，設(shè)設(shè)，利用基本不等式得到，求出答案.【詳解】，令，，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故在處取得極小值，也是最小值，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，令，，則，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也時最小值，最小值為，設(shè)，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)，，時，等號成立，故，則．故答案為：【點睛】導(dǎo)函數(shù)求解取值范圍時，當(dāng)函數(shù)中同時出現(xiàn)與，通常使用同構(gòu)來進行求解，本題變形得到，從而構(gòu)造進行求解.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17. 記為數(shù)列的前n項和．已知．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若成等比數(shù)列，求的最小值．【答案】（1）證明見解析；    （2）．【解析】【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；（2）法一：由（1）及等比中項的性質(zhì)求出，即可得到的通項公式與前項和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得．【小問1詳解】因為，即①，當(dāng)時，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．【小問2詳解】[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時，．[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項變號法由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，即有.則當(dāng)或時，．【整體點評】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達式；法二：根據(jù)鄰項變號法求最值，計算量小，是該題的最優(yōu)解． 18. 設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為，，，且有．（1）求角A；（2）若BC邊上的高，求．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和、正弦定理和三角恒等變換化簡可得.（2）利用三角形面積公式和正弦定理可得.【小問1詳解】（1）由題意得：，則，有，即，因為所以．【小問2詳解】（2）由，則，所以，有，則，又，則．19. 如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點．（1）求證：平面；（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）見解析    （2）見解析【解析】【分析】（1）取的中點為，連接，可證平面平面，從而可證平面.（2）選①②均可證明平面，從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求線面角的正弦值.【小問1詳解】取中點為，連接，由三棱柱可得四邊形為平行四邊形，而，則，而平面，平面，故平面，而，則，同理可得平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面，【小問2詳解】因為側(cè)面為正方形，故，而平面，平面平面，平面平面，故平面，因為，故平面，因為平面，故，若選①，則，而，，故平面，而平面，故，所以，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，從而，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則.若選②，因為，故平面，而平面，故，而，故，而，，故，所以，故，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，從而，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則. 20. 中學(xué)階段，數(shù)學(xué)中的“對稱性”不僅體現(xiàn)在平面幾何、立體幾何、解析幾何和函數(shù)圖象中，還體現(xiàn)在概率問題中．例如，甲乙兩人進行比賽，若甲每場比賽獲勝概率均為，且每場比賽結(jié)果相互獨立，則由對稱性可知，在5場比賽后，甲獲勝次數(shù)不低于3場的概率為．現(xiàn)甲乙兩人分別進行獨立重復(fù)試驗，每人拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣．（1）若兩人各拋擲3次，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率；（2）若甲拋擲次，乙拋擲n次，，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）設(shè)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)的概率，根據(jù)對稱性可知則甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率和甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)的概率相等可得答案；（2）分①出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)；②出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)；③出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)，由對稱性可得答案．【小問1詳解】設(shè)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)的概率，，由對稱性可知則甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率和甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)的概率相等，故；【小問2詳解】可以先考慮甲乙各拋賽n次的情形，①如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為，則第次甲必須再拋擲出證明朝上，才能使得最終甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)；②如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)，則第次無論結(jié)果如何，甲正面朝上次數(shù)仍然不大于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為；③如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)，則第次無論結(jié)果如何，甲正面朝上次數(shù)仍然大于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為，由對稱性可知，故，而由，可得．21. 已知雙曲線C：的離心率為，過點的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個不同的點（異于頂點）．（1）若點P為線段MN的中點，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標(biāo)原點）；（2）若A，B為雙曲線的左右頂點，且，試判斷直線AN與直線BM的交點G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請說明理由【答案】（1）1    （2）是在定直線上，定直線【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組得到，設(shè)，，，利用點差法即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出，，設(shè)直線l：，，設(shè)，，聯(lián)立直線與曲線方程，利用韋達定理聯(lián)立直線與直線的方程得出，進而得證.【小問1詳解】由題意得，所以，設(shè)，，，則，作差得，又MN的斜率，，所以.【小問2詳解】∵，∴，，，直線l：，，設(shè)，，聯(lián)立得，所以，所以，設(shè)直線AN：，BM：，所以，所以．故存在定直線，使直線AN與直線BM的交點G在定直線上．22. 已知函數(shù).（1）試確定的取值范圍，使得函數(shù)在（）上為單調(diào)函數(shù)；（2）若為自然數(shù)，則當(dāng)取哪些值時，方程在上有三個不相等的實數(shù)根，并求出相應(yīng)的實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）    （2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)為某個單調(diào)區(qū)間的子集得的取值范圍；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與極值最值情況可確定實數(shù)的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)圖象確定的取值范圍.【小問1詳解】由，得，令，解得或，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)，所以；【小問2詳解】由（1）得函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，函數(shù)的圖像如圖所示，方程在上有三個不相等的實數(shù)根，即函數(shù)在上有三個不同的交點，又，又圖像可知，當(dāng)或時，至多有兩個交點，不成立，所以，，又，，所以若方程在上有三個不相等的實數(shù)根，則，即綜上所述，當(dāng)且時，滿足題意，此時實數(shù)的取值范圍是.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
 

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