2022-2023學(xué)年浙江省杭州市蕭山區(qū)高橋初中教育集團(tuán)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷  一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）   在一個裝有黑色圍棋的盒子中摸出一顆棋子，摸到一顆白棋是(    )A. 必然事件 B. 不確定事件 C. 不可能事件 D. 無法判斷   二次函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(    )A.  B.  C.  D.    在不透明口袋中裝有個紅色小球和個黑色小球只有顏色不同，則從中摸出一個球?yàn)榧t色小球的概率是(    )A.  B.  C.  D.    拋物線向左平移個單位，再向下平移個單位后，所得的拋物線表達(dá)式是(    )A.  B.  C.  D.    如表是一位同學(xué)在罰球線上投籃的試驗(yàn)結(jié)果，根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答下列問題：投籃次數(shù)投中次數(shù)估計(jì)這位同學(xué)投籃一次，投中的概率約是精確到(    )A.  B.  C.  D.   若，，為二次函數(shù)的圖象上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系是(    )A.  B.  C.  D.   同一根細(xì)鐵絲可以折成邊長為的等邊三角形，也可以折成面積為的長方形．設(shè)折成的長方形的一邊長為，則可列方程為(    )A.  B.  C.  D.   如圖，在正方形網(wǎng)格中，線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度后與線段重合、均為格點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)的坐標(biāo)為(    )A.
B.
C.
D. 或  設(shè)一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根分別為，且，則、滿足(    )A.  B.  C.  D. 已知二次函數(shù)為常數(shù)，則對如下兩個結(jié)論的判斷正確的是(    )
不論為何值，函數(shù)圖像的頂點(diǎn)始終在一條直線上；
當(dāng)時，隨的增大而增大，則的取值范圍為．A. 兩個都對 B. 兩個都錯 C. 對錯 D. 錯對 二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）在同一平面內(nèi)，已知圓的半徑為，一點(diǎn)到圓心的距離是，則這點(diǎn)在______填寫“圓內(nèi)”或“圓上”或“圓外”．學(xué)校組織秋游，安排給九年級輛車，小明和小慧都可以從這輛車中任選一輛搭乘．則小明和小慧同車的概率為______．如圖，是的直徑，弦垂足為若，則的半徑為______．
 拋物線的對稱軸是直線______ ．在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心、為半徑的圓與坐標(biāo)軸恰好有三個公共點(diǎn)，那么的值為．已知二次函數(shù)，若，是該二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______ ． 三、解答題（本大題共7小題，共66.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到．
畫出；
直接寫出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)．
本小題分
在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)都是常數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和．
當(dāng)時，求的取值范圍；
已知點(diǎn)在該函數(shù)的圖象上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．本小題分
如圖，是的直徑，點(diǎn)，是上的點(diǎn)，且，分別與，相交于點(diǎn)，．
求證：點(diǎn)為的中點(diǎn)；
若，，求的直徑．
本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)、點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)．
求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)時，自變量的取值范圍．
本小題分
為滿足即將到來的春節(jié)市場需求，某超市購進(jìn)一種品牌的食品，每盒進(jìn)價(jià)為元．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價(jià)定為每盒元時，每天可賣出盒，每降價(jià)元，每天可多賣出盒．超市規(guī)定售價(jià)不低于元盒，不高于元盒．
求每天的銷售利潤元與每盒降價(jià)元之間的函數(shù)關(guān)系式注明自變量的取值范圍；
當(dāng)每盒售價(jià)為多少元時，每天的銷售利潤最大？
若要使每天的銷售利潤不低于元，那么每盒的售價(jià)應(yīng)定在什么范圍？本小題分
已知關(guān)于的二次函數(shù)．
當(dāng)，時，求該函數(shù)圖象的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)．
在的條件下，為該函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，若關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)也落在該函數(shù)圖象上，求的值．
當(dāng)該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)時，若，是該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，試比較與的大?。?/span>本小題分
如圖，正方形邊長為，點(diǎn)在對角線上運(yùn)動不與點(diǎn)，重合，連接，作，交直線于點(diǎn)．
判斷線段，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
當(dāng)時，求的長．
設(shè)線段，，，圍成的圖形面積為，的面積為，求的最值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：在一個裝有黑色圍棋的盒子中摸出一顆棋子，摸到一顆白棋是不可能的，
因而這是一個不可能事件．
必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；
不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；
不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
解決本題要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念；一定不發(fā)生的事件叫不可能事件．
 2.【答案】 【解析】解：將代入得，
拋物線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，
故選：．
將代入解析式求解．
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
 3.【答案】 【解析】解：袋子中球的總數(shù)為，紅球有個，則摸出紅球的概率為，
故選：．
紅球的個數(shù)除以球的總數(shù)即為所求的概率
本題主要考查概率公式的知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握概率公式：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 4.【答案】 【解析】解：將拋物線向左平移個單位，再向下平移個單位后，所得的拋物線表達(dá)式為，
故選：．
根據(jù)左加右減，上加下減的平移變換規(guī)律求解即可．
本題考查了二次函數(shù)圖象的平移變換規(guī)律，熟練掌握二次函數(shù)圖象平移變換規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意得：
，
，
，
，
，
，
，
由此，估計(jì)這位同學(xué)投籃一次，投中的概率約是，
故選：．
計(jì)算出所有投籃的次數(shù)，再計(jì)算出總的命中數(shù)，繼而可估計(jì)出這名球員投籃一次，投中的概率．
此題考查了利用頻率估計(jì)概率的知識，注意這種概率的得出是在大量實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上得出的，不能單純的依靠幾次決定．
 6.【答案】 【解析】解：，
拋物線開口向下，對稱軸為直線，
，
．
故選：．
由二次函數(shù)解析式可得拋物線開口方向及對稱軸，根據(jù)點(diǎn)，，到對稱軸的距離大小關(guān)系求解．
本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與不等式的關(guān)系．
 7.【答案】 【解析】解：邊長為的等邊三角形的周長為，
即鐵絲的長度為，
設(shè)折成的長方形的一邊長為，則長方形的另一邊長為，
長方形的面積為，
．
故選：．
先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到鐵絲的長度為，設(shè)折成的長方形的一邊長為，則長方形的另一邊長為，然后根據(jù)長方形的面積公式列方程即可．
本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三條邊都相等，三個內(nèi)角都相等，且都等于也考查了一元二次方程的應(yīng)用．
 8.【答案】 【解析】解：作、的垂直平分線交于點(diǎn)，

點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心，，
故選：．
畫出平面直角坐標(biāo)系，對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．
本題考查坐標(biāo)與圖形變換旋轉(zhuǎn)，解題關(guān)鍵在于理解對應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．
 9.【答案】 【解析】解：一元二次方程的解為，，
二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，．
依照題意，畫出函數(shù)圖象，如圖所示．
觀察圖形，可知：．
故選：．
依照題意，畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合，即可得出、滿足的條件．
本題考查了一元二次方程的解，依照題意，畫出圖形是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：，
拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
拋物線頂點(diǎn)在直線上，正確．
拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
時，隨增大而減小，時，隨增大而增大，
當(dāng)時，隨的增大而增大，
，不正確．
故選：．
由二次函數(shù)解析式可得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而判斷，由拋物線開口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)可得隨增大而增大時的取值范圍，從而判斷．
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與不等式的關(guān)系．
 11.【答案】圓外 【解析】解：，
點(diǎn)在圓外，
故答案為：圓外．
根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系得出即可．
本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，能熟記點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：列表如下三輛車分別用，，表示：  所有等可能的情況有種，其中小明和小慧同車的情況有種，
則．
故答案為：．
列舉出所有情況，看在同一輛車的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可．
此題考查了利用樹狀圖求概率；用到的知識點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．得到在同一輛車的情況數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：如圖，連接．

，
．
設(shè)，則．
是的直徑，弦垂足為，
．
在中，，
．
．
．
．
的半徑為．
故答案為：．
如圖，連接設(shè)，則，根據(jù)垂徑定理，由是的直徑，弦垂足為，得再根據(jù)勾股定理，在中，，得，從而求得，進(jìn)而解決此題．
本題主要考查垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理以及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：

由公式得，
拋物線的對稱軸為．
先把拋物線的方程變?yōu)?/span>，由公式得拋物線的對稱軸為．
本題考查拋物線的對稱軸的求法，同學(xué)們要熟練記憶拋物線的對稱軸公式．
 15.【答案】或 【解析】解：點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)到軸的距離為，到軸的距離為，
當(dāng)與軸相切時，與軸有個交點(diǎn)，圓與坐標(biāo)軸恰好有三個公共點(diǎn)，此時；
當(dāng)經(jīng)過原點(diǎn)時，圓與坐標(biāo)軸恰好有三個公共點(diǎn)，此時，
綜上所述，的值為或．
故答案為或．
利用點(diǎn)的坐標(biāo)得到點(diǎn)到軸的距離為，到軸的距離為，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，當(dāng)與軸相切時，滿足條件，易得此時；當(dāng)經(jīng)過原點(diǎn)時，滿足條件，利用勾股定理計(jì)算出此時的值．
本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線和相交；直線和相切；直線和相離．
 16.【答案】 【解析】解：，是函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，且，
，
化簡整理得，，
，
實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故答案為：．
將，代入二次函數(shù)解析式即可得出的取值范圍．
本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)題意列出不等式是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：如圖，即為所求．

由圖可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為． 【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可．
由圖可得出答案．
本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：將，代入得：，
解得：，
這個函數(shù)的解析式為：；
把代入得，，
的取值范圍是；
點(diǎn)在該函數(shù)的圖象上，
，
，
，
解得，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為． 【解析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)的性質(zhì)，求得解析式上解題的關(guān)鍵．
利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)值的取值范圍；
根據(jù)題意得出，再根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，聯(lián)立方程，解方程即可求得．
 19.【答案】解：證明：是的直徑，
，
，
，
，
，
即點(diǎn)為的中點(diǎn)；
，
，
，
，
，
，
，
的直徑為． 【解析】利用圓周角定理得到，再證明，然后根據(jù)垂徑定理得到點(diǎn)為的中點(diǎn)；
根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓或直徑所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．也考查了垂徑定理．
 20.【答案】解：將代入得，
，
，
，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
令得，
解得，，
，，
當(dāng)時，自變量的取值范圍是或． 【解析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)，求出，則可求出拋物線的解析式，由解析式可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
令，求出或，則可求出，的坐標(biāo)，由圖象可求出自變量的取值范圍．
本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)．
 21.【答案】解：；
對解析式進(jìn)行配方，得．
，
當(dāng)時，，
答：當(dāng)每盒售價(jià)定為元時，每天的利潤最大；
由，
解得，，
根據(jù)函數(shù)圖象可知，時，大于或等于，
答：每盒的售價(jià)不高于元，不低于元． 【解析】銷售利潤銷售一盒的利潤銷售量，每盒降價(jià)元，每盒的利潤減少元，向量增加元，據(jù)此解答；
將上步所得函數(shù)關(guān)系式化為頂點(diǎn)式，可得，，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解答；
由，得，，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解答．
本題考查了二次函數(shù)的運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．
 22.【答案】解：當(dāng)，時，
，
該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，對稱軸為直線；
點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，
則，
解得，；
函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
，
，
，
函數(shù)的對稱軸為直線，
當(dāng)時，，
，，，是該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，
，
當(dāng)時，
，
，，，是該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，
． 【解析】將、的值代入函數(shù)解析式即可；
根據(jù)中的結(jié)論，即可求得的值；
根據(jù)題意和二次函數(shù)的性質(zhì)，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想即可求得與的大?。?/span>
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
 23.【答案】解：，理由是：
如圖，過作于，過作于，

四邊形是正方形，
，，
，
，
四邊形是正方形，
，，
，
，
≌，
；
如圖，過作于，過作于，連接，

，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，，
≌，
，
，
，
；
如圖，連接，過作于，于，

設(shè)，則，，，
由知：≌，
，
，
當(dāng)時，有最大值是． 【解析】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定等等知識的綜合運(yùn)用，熟練掌握正方形的性質(zhì)是關(guān)鍵．
過作于，過作于，證明四邊形是正方形，得，，再證明≌，則；
如圖，作輔助線，證明是等腰直角三角形，得，證明≌，再由等腰三角形的性質(zhì)可得的長；
如圖，作輔助線，構(gòu)建三角形全等，設(shè)，則，，，根據(jù)，則，配方后可得結(jié)論．
 

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