2023屆內(nèi)蒙古包頭市高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．設(shè)全集，集合N滿足，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)補集定義求解.【詳解】因為全集， ，所以，故選:B.2．設(shè)，其中a，b是實數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)相等即可求出結(jié)果.【詳解】因為，即，則，即，故選：B.3．已知向量滿足，則（    ）A． B． C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算求解.【詳解】因為，所以，所以，故選:A.4．設(shè)一組數(shù)據(jù)的方差為0.2，則數(shù)據(jù)的方差為（    ）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】數(shù)據(jù)的方差是數(shù)據(jù)的方差的倍.【詳解】數(shù)據(jù)的方差為，故選:D.5．中國古代某數(shù)學(xué)名著中有這樣一個類似問題：“四百四十一里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見首日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個人一共走了441里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請問第一天走的路程是（    ）A．224里 B．214里 C．112里 D．107里【答案】A【分析】由題意每天行程是公比為的等比數(shù)列，應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式求首項，即得到結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，每天行程是公比為的等比數(shù)列，所以，可得，則第一天走的路程224里.故選：A6．已知是橢圓的兩個焦點，點M在C上，則的最大值為（    ）A．8 B．9 C．16 D．18【答案】C【分析】利用橢圓的定義和基本不等式求解.【詳解】由橢圓的定義可得，所以由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故選:C.7．執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)框圖結(jié)構(gòu)利用循環(huán)語句求解.【詳解】當(dāng)輸入的時，；；輸出,故選:D.8．記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若，，則數(shù)列的公差為（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和前項和公式求解.【詳解】設(shè)公差為，則有整理得，又由可得，所以解得，故選:B.9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．有兩個零點 B．點是曲線的對稱中心C．有兩個極值點 D．直線是曲線的切線【答案】C【分析】利用導(dǎo)函數(shù)討論單調(diào)性和極值、最值即可求解A,C，再根據(jù)奇函數(shù)的對稱關(guān)系可判斷B，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷D.【詳解】，令解得，令解得或，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，且，所以在各有一個零點，共3個零點，A錯誤；為奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于對稱，所以的圖象關(guān)于點對稱，B錯誤；由單調(diào)性可知有兩個極值點為，C正確；對于D，令，解得則，但是當(dāng)時，對于直線，有，即直線不經(jīng)過切點，D錯誤，故選:C.10．如圖，在正方體中，分別為所在棱的中點，為下底面的中心，則下列結(jié)論中錯誤的是（    ）A．平面平面 B．C． D．平面【答案】C【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系依次討論各選項即可得答案.【詳解】解：對于A選項，由分別為所在棱的中點得，由正方體的性質(zhì)易知，平面，平面，所以，，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，故A選項正確；對于B選項，為下底面的中心，故為的中點，因為為所在棱的中點，所以，故B選項正確；對于C選項，若，由B選項知，則有，令一方面，由正方體的性質(zhì)知為直角三角形，，所以，不滿足，故C選項錯誤；對于D選項，由A選項知，由正方體的性質(zhì)易知，所以，平面，平面，所以平面，故D選項正確.故選：C11．已知點在雙曲線上，斜率為k的直線l過點且不過點P．若直線l交C于M，N兩點，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點在雙曲線求出雙曲線方程，根據(jù) 可得，利用韋達(dá)定理代入即可求解.【詳解】因為點在雙曲線上，所以解得，所以雙曲線.設(shè)，，聯(lián)立整理得，所以，所以，，因為，所以，即，所以，整理得解得或，當(dāng)時，直線過點，不滿足題意，所以，故選:A.12．已知正六棱錐的各頂點都在球O的球面上，球心O在該正六棱錐的內(nèi)部，若球O的體積為，則該正六棱錐體積的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)條件確定底面正六邊形的邊長與正六棱錐的高之間的等量關(guān)系，從而可將正六棱錐的體積表示為關(guān)于高的函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)討論單調(diào)性和最值求解.【詳解】如圖，過作平面，則球心O在上，設(shè)，外接球的半徑為，因為球O的體積為，所以解得，在中，，所以，正六棱錐的體積為，設(shè)，令解得，令解得或，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，因為球心O在該正六棱錐的內(nèi)部，所以，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以，故選:B. 二、填空題13．已知直線與圓交于A，B兩點，則弦的長為__________．【答案】【分析】利用點到直線的距離公式以及勾股定理求解.【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離，所以弦.故答案為：.14．從A，B等5名志愿者中隨機選3名參加核酸檢測工作，則A和B至多有一個入選的概率為__________．【答案】##【分析】利用古典概率模型，結(jié)合組合數(shù)的運算求解.【詳解】由題可知則A和B至多有一個入選的概率為,故答案為: .15．設(shè)是定義域為R的奇函數(shù)，且．若，則__________．【答案】3【分析】由題意可得是周期為4的函數(shù)，即可求解.【詳解】因為是定義域為R的奇函數(shù)，則，所以，所以是周期為4的函數(shù)，則.故答案為：3.16．記函數(shù)的最小正周期為T．若為的極小值點，則的最小值為__________．【答案】14【分析】首先表示出，根據(jù)求出，再根據(jù)為函數(shù)的極小值點，即可求出的取值，從而得解；【詳解】解： 因為所以最小正周期，又所以，即；又為的極小值點，所以，解得，因為，所以當(dāng)時；故答案為：14 三、解答題17．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．(1)求；(2)若，，試求邊上的高h．【答案】(1)(2) 【分析】（1）在中，根據(jù)正弦定理，余弦定理轉(zhuǎn)角為邊得到，再根據(jù)余弦定理得到的值，進(jìn)而即可得到；（2）由已知條件結(jié)合余弦定理可求解，再根據(jù)三角形的面積公式即可得到邊上的高．【詳解】（1）在中，有，由正弦定理得，再由余弦定理得，化簡得，所以，又，所以．（2）結(jié)合（1），將，，代入中，得，解得，或（舍去）．由，得．18．新型冠狀病毒疫情已經(jīng)嚴(yán)重影響了我們正常的學(xué)習(xí)、工作和生活．某市為了遏制病毒的傳播，利用各種宣傳工具向市民宣傳防治病毒傳播的科學(xué)知識．某校為了解學(xué)生對新型冠狀病毒的防護(hù)認(rèn)識，對該校學(xué)生開展防疫知識有獎競賽活動，并從女生和男生中各隨機抽取30人，統(tǒng)計答題成績分別制成如下頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖．規(guī)定：成績在80分及以上的同學(xué)成為“防疫標(biāo)兵”．30名女生成績頻數(shù)分布表：成績頻數(shù)101064 (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成以下列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“防疫標(biāo)兵”與性別有關(guān)； 男生女生合計防疫標(biāo)兵   非防疫標(biāo)兵   合計    (2)設(shè)男生和女生樣本平均數(shù)分別為和，樣本的中位數(shù)分別為和，求（精確到0.01）．附：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828  【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有95%的把握認(rèn)為“防疫標(biāo)兵”與性別有關(guān)；(2)，，，. 【分析】（1）利用頻率分布直方圖及頻數(shù)分布表完善列聯(lián)表，再計算的觀測值并與臨界值表比對作答.（2）利用頻率分布直方圖、頻數(shù)分布表求出平均數(shù)、中位數(shù)作答.【詳解】（1）由頻率分布直方圖，可得30名男生中成績大于等于80分的頻率為，因此30名男生中“防疫標(biāo)兵”人數(shù)為人，“非防疫標(biāo)兵”人數(shù)為12人，由頻數(shù)分布表，可得30名女生中“防疫標(biāo)兵”人數(shù)為10人，“非防疫標(biāo)兵”人數(shù)為20人，于是列聯(lián)表為： 男生女生合計防疫標(biāo)兵181028非防疫標(biāo)兵122032合計303060 則的觀測值為，所以有95%的把握認(rèn)為“防疫標(biāo)兵”與性別有關(guān)．（2）由頻率分布直方圖知，，由頻數(shù)分布表知，，由頻率分布直方圖知，成績在的頻率為，成績在的頻率為，因此，則由，解得，由頻數(shù)分布表知，成績在的頻率為，成績在的頻率為，因此，則由，解得，所以，，，.19．如圖，已知矩形是圓柱的軸截面，是的中點，直線與下底面所成角的正切值為，矩形的面積為12，為圓柱的一條母線（不與重合）．(1)證明：；(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時，求M到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）證明平面即可證明結(jié)論；（2）設(shè)，進(jìn)而結(jié)合題意得，進(jìn)而得，再結(jié)合基本不等式得時，三棱錐的體積最大，最后根據(jù)等體積法求解即可.【詳解】（1）證明：連接，因為是底面圓的直徑，所以，即，又，且，平面，所以平面，又平面，所以．（2）解：根據(jù)題意，，設(shè)，則，，又因為，所以，得．所以，，設(shè)，則，由（1）可知平面，又到的距離為，所以．當(dāng)，即時，取等號．所以，當(dāng)時，三棱錐的體積最大．設(shè)M到平面的距離為h，則，即，又，所以由得．所以，M到平面的距離為20．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積；(2)證明：當(dāng)時，沒有零點．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)后計算斜率，再計算，然后寫出切線方程，求出其在坐標(biāo)軸上的截距后可得三角形面積；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，引入新函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定的零點的存在，從而得出的正負(fù)，得的最小值，然后證明這個最小值大于0即可證．【詳解】（1）當(dāng)時，．，故曲線在點處的切線方程為，即．因為該切線在x，y軸上的截距分別為和，所以該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積．（2）當(dāng)時，因為，所以，令，則，因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，故在上有唯一的零點，即，因此有．當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故為最小值．由，得，所以在時，，因為，所以，又因為當(dāng)時，，所以．所以．因此當(dāng)時，沒有零點．【點睛】方法點睛：證明函數(shù)無零點問題，可利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值（或最大值），然后證明最小值大于0（或最大值小于0）即可，難點在于函數(shù)的最值點不能具體地求出，因此可象本題利用零點存在定理說明導(dǎo)函數(shù)的零點的存在性，得出最小值，注意利用對 進(jìn)行化簡變形，然后證明．21．已知直線l與拋物線交于A，B兩點，且，，D為垂足，點D的坐標(biāo)為．(1)求C的方程；(2)若點E是直線上的動點，過點E作拋物線C的兩條切線，，其中P，Q為切點，試證明直線恒過一定點，并求出該定點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明過程見詳解，定點 【分析】（1）設(shè)點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，根據(jù)題意可得到直線的方程，聯(lián)立拋物線的方程，整理可得到關(guān)于（含參）的一元二次方程，從而得到，，再根據(jù)，代入即可求解的值，進(jìn)而得到C的方程；（2）結(jié)合（1）中拋物線，得，設(shè)過點E作拋物線C的切線的切點為，則可得到過點E的切線方程，設(shè)點，，，從而得到，是方程的兩實數(shù)根，則得到，，進(jìn)而得到的中點M的坐標(biāo)，，從而得到直線的方程，進(jìn)而得到直線恒過的定點．【詳解】（1）設(shè)點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，因為，所以，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去y，整理得，所以有，，又，得，整理得，解得．所以C的方程為．（2）由，得，所以，設(shè)過點E作拋物線C的切線的切點為，則相應(yīng)的切線方程為，即，設(shè)點，由切線經(jīng)過點E，得，即，設(shè)，，則，是的兩實數(shù)根，可得，．設(shè)M是的中點，則相應(yīng)，則，即，又，直線的方程為，即，所以直線恒過定點．【點睛】關(guān)鍵點點睛：小問（2）解答的關(guān)鍵是先根據(jù)導(dǎo)數(shù)設(shè)拋物線的切線方程，設(shè)點，，，從而得到，是方程的兩實數(shù)根，再結(jié)合韋達(dá)定理得到，，進(jìn)而得到直線的方程．22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，）．在以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)說明是什么曲線，并將的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)直線的極坐標(biāo)方程為，是否存在實數(shù)b，使與的公共點都在上，若存在，求出b的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)曲線是以為圓心，b為半徑的圓，；(2)存在，. 【分析】（1）將的參數(shù)方程化為普通方程即可得曲線形狀，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化關(guān)系求出極坐標(biāo)方程作答.（2）聯(lián)立曲線與的極坐標(biāo)方程消去，聯(lián)立曲線與直線的極坐標(biāo)方程消去，求出b值作答.【詳解】（1）由消去參數(shù)t得到的普通方程為，因此曲線是以為圓心，b為半徑的圓；將代入的普通方程中，得的極坐標(biāo)方程為，所以曲線是以為圓心，b為半徑的圓，其極坐標(biāo)方程為.（2）曲線的公共點的極坐標(biāo)滿足方程組，消去整理得，把代入的方程中，得，把代入，得，而，解得，所以存在實數(shù)，使與的公共點都在上．23．設(shè)均不為零，且．(1)證明：；(2)求的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)3. 【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用三數(shù)和的完全平方公式變形，再結(jié)合放縮法證明作答.（2）利用柯西不等式求解最小值作答.【詳解】（1）依題意，，且均不為零，則，所以.（2）因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，因此，所以的最小值為3. 

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