陜西省安康市2023屆高三三模文科數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，則（  ）A． B． C． D．23．已知等差數(shù)列的前項和為，，則（ ）A．6 B．12 C．18 D．244．已知向量，若與共線，則（    ）A． B． C． D．55．黨的二十大報告提出全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興.為振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟，某市一知名電商平臺決定為鄉(xiāng)村的特色產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專場.該特色產(chǎn)品的熱賣黃金時段為2023年3月1至5月31日，為了解直播的效果和關(guān)注度，該電商平臺統(tǒng)計了已直播的2023年3月1日至3月5日時段的相關(guān)數(shù)據(jù)，這5天的第天到該電商平臺專營店購物人數(shù)（單位：萬人）的數(shù)據(jù)如下表：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日第x天12345人數(shù)y（單位：萬人）75849398100依據(jù)表中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得與的線性回歸方程為.請預(yù)測從2023年3月1日起的第58天到該專營店購物的人數(shù)（單位：萬人）為（   ）A．440 B．441 C．442 D．4436．若雙曲線的漸近線與圓相切，則k=（    ）A．2 B． C．1 D．7．在中，“”是“”的（    ）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知方程的四個根組成以1為首項的等比數(shù)列，則（   ）A．8 B．12 C．16 D．209．羽毛球運動是一項全民喜愛的體育運動，標(biāo)準(zhǔn)的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，測得每根羽毛在球托之外的長為，球托之外由羽毛圍成的部分可看成一個圓臺的側(cè)面，測得頂端所圍成圓的直徑是，底部所圍成圓的直徑是，據(jù)此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展開圖的圓心角為（   ）A． B． C． D．10．設(shè)是定義域為的偶函數(shù)，且，則（    ）A． B． C． D．11．已知橢圓的左，右焦點分別為，，為橢圓上一點，，點到直線的距離為，則橢圓的離心率為（   ）A． B． C． D．12．若，則（   ）A． B． C． D． 二、填空題13．已知滿足約束條件,則的最大值是______.14．已知函數(shù)，則___________．15．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且在區(qū)間單調(diào)，則的一個取值是______.16．已知矩形ABCD的周長為36，把它沿圖中的虛線折成正六棱柱，當(dāng)這個正六棱柱的體積最大時，它的外接球的表面積為___________． 三、解答題17．新高考取消文理分科，采用選科模式，這賦予了學(xué)生充分的自由選擇權(quán)．新高考地區(qū)某校為了解本校高一年級將來高考選考?xì)v史的情況，隨機選取了100名高一學(xué)生，將他們某次歷史測試成績（滿分100分）按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求圖中a的值并估計這100名學(xué)生本次歷史測試成績的中位數(shù)．(2)據(jù)調(diào)查，本次歷史測試成績不低于60分的學(xué)生，高考將選考?xì)v史科目；成績低于60分的學(xué)生，高考將不選考?xì)v史科目．按分層抽樣的方法從測試成績在，的學(xué)生中選取5人，再從這5人中任意選取2人，求這2人中至少有1人高考選考?xì)v史科目的概率．18．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，.(1)求；(2)若，，求的面積.19．如圖，四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，，分別是棱，，的中點．(1)證明：平面；(2)若，求點到平面的距離．20．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．21．已知 為拋物線上一點．(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)過點的直線l與拋物線C交于A，B兩點，且直線與的傾斜角互補，求的值．22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)若射線（其中，且，）與曲線在軸上方交于點，與直線交于點，求.23．已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)若，，求的取值范圍.
參考答案：1．D【分析】根據(jù)集合的特征，將集合中的兩個函數(shù)聯(lián)立，解之即可求解.【詳解】因為集合，聯(lián)立方程組，解得或，所以，故選：.2．A【分析】將代入化簡，然后根據(jù)其為純虛數(shù)，可求出結(jié)果.【詳解】為純虛數(shù)，∴，∴.故選：A3．B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以.故選：B.4．A【分析】現(xiàn)根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)公式求出，再根據(jù)向量的模的坐標(biāo)公式即可得解.【詳解】由題意可得，∵與共線，∴，解得，∴．故選：A.5．C【分析】由表格數(shù)據(jù)得出中心點代入計算出回歸方程，然后預(yù)測即可.【詳解】由題意，，，將代入，可得，解得，線性回歸直線方程為，將代入上式，.故選：C6．B【分析】根據(jù)點到直線的距離公式即可求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即,∵雙曲線的漸近線與圓相切，且圓心為，∴，解得．故選：B7．D【分析】根據(jù)充分條件與必要條件概念，以及正弦定理與三角形的性質(zhì)，即可判定出結(jié)果.【詳解】在中，若，，則，，滿足；三角形中大邊對大角，此時，所以，根據(jù)正弦定理得到，所以由“”不能推出“”；若，根據(jù)正弦定理，得到，根據(jù)三角形中大邊對大角得，若為鈍角，則，不能推出；綜上，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的概念，涉及正弦定理，屬于基礎(chǔ)題型.8．C【分析】設(shè)方程的四個根由小到大依次為，，，，不妨設(shè)的一根為1，則另一根為27，求得，再由等比數(shù)列的性質(zhì)得到，，求得公比，進(jìn)而求得，，進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】設(shè)方程的四個根由小到大依次為，，，，不妨設(shè)的一根為1，則另一根為27，所以，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，所以，，所以等比數(shù)列，，，的公比為，所以，，由韋達(dá)定理得，可得.故選：C.9．C【分析】將圓臺補成圓錐，則羽毛所在曲面為大圓錐的側(cè)面截去一個小圓錐的側(cè)面所得，求出小圓錐的母線長后可得展開圖圓心角．【詳解】將圓臺補成圓錐，則羽毛所在曲面為大圓錐的側(cè)面截去一個小圓錐的側(cè)面所得，設(shè)小圓錐母線長為，則大圓錐母線長為，由相似得，即，∴可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展開圖的圓心角為.故選：C．10．B【分析】利用條件和偶函數(shù)的性質(zhì)，得出函數(shù)的周期為2，再根據(jù)條件即可求出結(jié)果.【詳解】因為是定義域為的偶函數(shù)，所所以的周期為2，所以．故選：B.11．A【分析】設(shè)于，則由已知條件可求出，，再利用橢圓的定義可求出，然后在中利用勾股定理列方程可求出離心率.【詳解】如圖，設(shè)于，則由題意得，，∴，，由橢圓定義可得，∴，在中，由勾股定理得，可得.故選：A12．A【分析】根據(jù)等式解出a、b、c的值，利用作差法，再通過構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)單調(diào)性判斷作差后的兩式大小，最后作出比較.【詳解】由可得：，，，比較a和b，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)，，在上單調(diào)遞增，故，即.同理比較b和c，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)，，∴在上單調(diào)遞增，∴，即.綜上，.故選：A【點睛】方法點睛：比較數(shù)值大小方法.①估值法：找出式子的取值區(qū)間，以此判斷各個式子的大小關(guān)系；②作差法與構(gòu)造函數(shù)法：當(dāng)無法進(jìn)行估值判斷式子大小時，可兩兩個式子相減，將相減式子構(gòu)造成函數(shù)，通過函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性判斷差值大小，以此判斷式子大小.13．1【分析】作出可行域,將平移到可行域的邊界即可求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】如圖,可行域為圖中陰影部分,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)平移至點時,取得最大值1.故答案為:1.14．/【分析】求得，結(jié)合的解析式可求得的值.【詳解】因為，且，則.故答案為：.15．或或或（寫出其中一個即可）.【分析】由的圖象關(guān)于對稱，求得，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求得的范圍，即可求解.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，可得，解得，所以， 又因為在區(qū)間上單調(diào)，可得，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得，解得，所以或或或.故答案為：或或或（寫出其中一個即可）.16．52π【分析】先分析正六棱柱的體積最大時底面邊長和高的值，再求解其外接球的半徑進(jìn)而求得外接球的表面積.【詳解】設(shè)正六棱柱的底面邊長為x，高為y，則，正六棱柱的體積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時正六棱柱的外接球的球心在其上下底面中心的連線的中點，其半徑為，∴外接球的表面積為．故答案為：．17．(1)；(2) 【分析】（1）根據(jù)和頻率總和為1計算出a的值；頻率分布直方圖中中位數(shù)左右兩邊的直方圖面積相等都為0.5，由此列式即可計算出中位數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖計算出成績在，的學(xué)生頻數(shù)，根據(jù)分層抽樣規(guī)則計算出對應(yīng)區(qū)間人數(shù)，最后列式計算或用列舉法即可得出答案.【詳解】（1），解得設(shè)中位數(shù)為x，因為學(xué)生成績在的頻率為，在的頻率為所以中位數(shù)滿足等式，解得故這100名學(xué)生本次歷史測試成績的中位數(shù)為.（2）成績在的頻數(shù)為成績在的頻數(shù)為按分層抽樣的方法選取5人，則成績在的學(xué)生被抽取人，在的學(xué)生被抽取人從這5人中任意選取2人，都不選考?xì)v史科目的概率為，故這2人中至少有1人高考選考?xì)v史科目的概率為.18．(1)(2) 【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式或者直接展開計算，再根據(jù)倍角公式化簡即可；（2）利用正弦定理進(jìn)行角化邊，再根據(jù)余弦定理求出c邊，最后利用正弦定理的三角形面積公式計算即可.【詳解】（1），（或，∴，∵，∴，∴或，解得或，∵，∴，∴.（2）由（1）知，，由正弦定理得，由余弦定理得，即，整理得，由得，∴.19．(1)證明見解析(2) 【分析】（1）連接DE，推導(dǎo)四邊形BEDF是平行四邊形，從而得到，再得到，從而平面BFG，平面BFG，進(jìn)而得到平面平面BFG，因此得證平面；（2）由平面，，可得平面ABCD，作，垂足為M，則，進(jìn)而得到平面BFG，即的長是點C到平面BFG的距離，再利用等面積法求解即可.【詳解】（1）連接DE，∵ABCD是正方形，E，F分別是棱BC，AD的中點，∴，，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴，∵G是PA的中點，∴，∵PD，DE平面BFG，FG，BF平面BFG，∴平面BFG，平面BFG，∵，直線PD，DE在平面PDE內(nèi)，∴平面平面BFG，∵PE平面PDE，∴平面BFG．（2）∵平面，，∴平面ABCD，過C在平面ABCD內(nèi)，作，垂足為M，則，∵，又直線FG，BF在平面BFG內(nèi)，∴平面BFG，∴的長是點C到平面BFG的距離，∵中，，∴由等面積可得，∴點C到平面BFG的距離為.20．(1)答案見解析(2) 【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分或兩種情況討論；（2）由，令，，分，或三種情況討論.【詳解】（1）對函數(shù)求導(dǎo)可得，當(dāng)時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令得，令得，此時函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時，顯然成立．當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，由可得，∴，與矛盾；當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，∴，∵，∴，即，令，則，令得，∴在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，∴，∴，綜上，a的取值范圍是．【點睛】導(dǎo)數(shù)恒成立問題方法點睛：1.含參不等式恒成立問題首選的方法是通過分離變量，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.2.不能參變分離時，通過構(gòu)造函數(shù)，分類進(jìn)行討論，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，求此函數(shù)的最值.21．(1)(2)2 【分析】（1）由點在拋物線上求出，計算得拋物線的準(zhǔn)線方程；（2）先設(shè)直線再聯(lián)立方程組求出兩根和和兩根積，再應(yīng)用兩點間距離公式計算可得.【詳解】（1）由點在拋物線上得，即∴拋物線的準(zhǔn)線方程為.（2）設(shè)直線AB的方程為，, 由直線與的傾斜角互補得，即∴聯(lián)立得 ∴，∴，即，∴∴．22．(1)，(2) 【分析】（1）采用代入消參方法可得直線的普通方程，結(jié)合可將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）方法一：分別聯(lián)立射線與曲線C及直線l的極坐標(biāo)方程，得到，即可求得.方法二：分別聯(lián)立射線與曲線C及直線l的直角坐標(biāo)方程，得到M和N的點坐標(biāo)，即可求得【詳解】（1）由，得，即.故直線的普通方程是.由得，代入公式，得，∴，故曲線的直角坐標(biāo)方程是.（2）方法一：由（其中，且，），得，.將射線代入曲線的極坐標(biāo)方程，可得，∴.直線的極坐標(biāo)方程為，將代入直線的極坐標(biāo)方程可得，∴，∴.方法二：由題可得射線（其中，且，）的直角坐標(biāo)方程為.聯(lián)立，解得，則點.聯(lián)立解得，則點.∴.23．(1)(2) 【分析】（1）就的不同的取值范圍分類討論后可求不等式的解；（2）求出的最小值后利用公式可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）①當(dāng)時，，解得；②當(dāng)時，，解得；③當(dāng)時，，無解，∴不等式的解集為.（2）∵，，∴，由（1）知在遞減，遞增，遞增，∴，∴，∴，解得. 

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