陜西省商洛市2023屆高三三模文科數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、單選題1．（    ）A．25 B．5 C．4 D．32．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．3．已知向量，，若，則（    ）A．12 B． C．16 D．4．在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則的概率為（    ）A． B． C． D．5．若函數(shù)無(wú)極值，則的取值范圍為（    ）A． B．C． D．6．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線C:交于兩點(diǎn)，若正三角形，則點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為（    ）A． B． C． D．7．已知，，則（    ）A． B． C． D．8．如圖①，這是一個(gè)小正方體的側(cè)面展開(kāi)圖，將小正方體從如圖②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格、第6格，這時(shí)小正方體正面朝上的圖案是（    ）A． B． C． D．9．已知，則（    ）A． B．C． D．10．記函數(shù)的最小正周期為，且，若在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．11．某園區(qū)有一塊三角形空地（如圖），其中，現(xiàn)計(jì)劃在該空地上劃分三個(gè)區(qū)域種植不同的花卉，若要求，則的最小值為（    ）A． B． C．25 D．3012．如圖，已知過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，雙曲線的右支上一點(diǎn)滿足，若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D． 二、填空題13．設(shè)滿足約束條件則的最小值為_________．14．某興趣小組對(duì)某地區(qū)不同年齡段的人群閱讀經(jīng)典名著的情況進(jìn)行了相關(guān)調(diào)查，相關(guān)數(shù)據(jù)如下表．年齡區(qū)間賦值變量x12345人群數(shù)量y2378a若由最小二乘法得y與x的線性回歸方程為，則______．15．在四面體中，，，，若，，則該四面體外接球的表面積為______.16．定義在R上的奇函數(shù)滿足R，，且當(dāng)時(shí)，，則_________． 三、解答題17．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，(1)求的公比；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．清明期間，某校為緬懷革命先烈，要求學(xué)生通過(guò)前往革命烈士紀(jì)念館或者線上網(wǎng)絡(luò)的方式參與“清明祭英烈”活動(dòng)，學(xué)生只能選擇一種方式參加.已知該中學(xué)初一、初二、初三3個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為，為了解學(xué)生參與“清明祭英烈”活動(dòng)的方式，現(xiàn)采用分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù). (1)求，的值；(2)從該校各年級(jí)被調(diào)查且選擇線上網(wǎng)絡(luò)方式參與“清明祭英烈”活動(dòng)的學(xué)生人任選兩人，求這兩人是同一個(gè)年級(jí)的概率.19．如圖，四棱錐的底面是等腰梯形，，，，底面ABCD，為棱上的一點(diǎn).(1)證明：；(2)若三棱錐的體積為，求的值.20．已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)若有3個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.21．已知離心率為的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，1）．(1)求橢圓C的方程．(2)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且斜率為的直線與橢圓C相交于P ，Q兩點(diǎn)，若直線AP與直線AQ的斜率之積為，試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為 （為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍．23．已知函數(shù)(1)求不等式的解集；(2)若的最大值為，且正數(shù)，滿足，求的最小值．
參考答案：1．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義求解.【詳解】；故選：B.2．C【分析】先求出集合A，B的具體區(qū)間，再按照交集的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算.【詳解】由題意：，，所以；故選：C.3．D【分析】首先求出的坐標(biāo)，依題意，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以， 因?yàn)?/span>，所以，解得.故選：D4．A【分析】首先解對(duì)數(shù)不等式，再根據(jù)長(zhǎng)度性幾何概型計(jì)算可得.【詳解】由，即，即，解得，即不等式的解集為，故所求概率.故選：A5．A【分析】直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再利用極值的定義即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>無(wú)極值，所以，解得，所以a的取值范圍為．故選：A.6．B【分析】設(shè)點(diǎn)，由對(duì)稱性求出點(diǎn)，進(jìn)一步求出的值，再利用定義求解即可.【詳解】設(shè)，由對(duì)稱性可知，，則，解得，故點(diǎn)A到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為．故選：B.7．D【分析】由求得，再使用湊配角由求.【詳解】，解得，則．故選：D8．C【分析】根據(jù)正方體的側(cè)面展開(kāi)圖找出相對(duì)面，再由其特征得到結(jié)果.【詳解】由圖①可知，“同心圓”和“圓”相對(duì)，“加號(hào)”和“箭頭”相對(duì)，“心形”和“星星”相對(duì)．由圖②可得，小正方體從如圖②所示的位置翻到第6格時(shí)正面朝上的圖案是．故選：C.9．D【分析】利用中間值法，結(jié)合冪函數(shù)、三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.【詳解】由題意知，，，，，故．故選：D.10．A【分析】由求得，使用整體換元法求得的范圍， 根據(jù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)列出滿足的不等式關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>的最小正周期為T，所以．又，所以，當(dāng)時(shí)，，由在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，得，解得．故選：A11．B【分析】根據(jù)題意先找出點(diǎn)的軌跡，然后分析軌跡再結(jié)合解三角形知識(shí)即可求出的最小值.【詳解】如圖，因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在如圖所示的圓上，圓的半徑為，由圓周角的性質(zhì)可得，，，連接，可得（當(dāng)為與圓的交點(diǎn)時(shí)，取等號(hào)）， 在中，，，，根據(jù)余弦定理可知，所以的最小值為．故選：B.12．C【分析】取的中點(diǎn)，連接，利用兩角和的正切公式求出，即直線的斜率為，再設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，從而求出離心率.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，所以，設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，所以直線的斜率為，設(shè)，，則，由，得到，所以，所以，則.故選：C13．【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【詳解】畫(huà)出可行域如圖所示，聯(lián)立，解得，即，由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值．故答案為：．14．10【分析】根據(jù)回歸直線方程過(guò)樣本中心點(diǎn)求得正確答案.【詳解】由題意可知，，則，解得．故答案為：15．【分析】作圖，根據(jù)幾何關(guān)系求出球心的位置即可.【詳解】平面ABD，平面ABD， 平面ABD，平面ABD， ，取AC的中點(diǎn)G，BD的中點(diǎn) ，CD的中點(diǎn)O，又平面ABC，平面ABC， 平面ABC，平面ABC，G是外接圓的圓心，平面ABD，是外接圓的圓心，所以O是四面體ABCD外接球的球心； ，所以外接球O的半徑為 ，外接球的表面積 ；故答案為： .16．1012【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，且，所以，故是周期為4的周期函數(shù)．所以，令,可得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)且周期為4，所以，則，則．故答案為:1012.17．(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，由條件得到關(guān)于公比的方程，求解即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由（1）可得數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)的公比為q，因?yàn)?/span>，所以，則，解得或（舍去）．（2）由（1）可知，，則．18．(1)，(2) 【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的原理，按比例計(jì)算出a，b；（2）根據(jù)條件，求出任取2人的總方式和任取2人是同一個(gè)年級(jí)的總方式，再求出概率即可.【詳解】（1）由題可知，，解得，；（2）由（1）知，選擇網(wǎng)絡(luò)方式的，初一有3人（分別記為），初二和初三都是2人（分別記為和），任取2人有，，共21種方法；同一個(gè)年級(jí)的有共5種方法，故2人是同一年級(jí)的概率為.19．(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，利用余弦定理求出，從而得到，由線面垂直得到，即可證明平面，從而得證；（2）設(shè)，，則，求出，即可求出，從而得解.【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，在等腰梯形中，因?yàn)?/span>，，所以，，在中，，則，則，因?yàn)?/span>底面，底面，所以，因?yàn)?/span>，平面，所以平面，又平面，所以.（2）設(shè)，，則，因?yàn)?/span>，所以，又，所以，解得，即當(dāng)三棱錐的體積為時(shí)，. 20．(1)答案見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，從而根據(jù)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)在不同區(qū)間上的取值，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系即可求出所求區(qū)間．（2）由條件，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可求的取值范圍.【詳解】（1）的定義域?yàn)?/span>，若，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.若，則恒成立，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間（2）因?yàn)?/span>有3個(gè)零點(diǎn)，所以，又的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，，解得，此時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上各有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)在區(qū)間上各有一個(gè)零點(diǎn)，滿足要求；所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．21．(1)(2)定值為 【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，并與離心率聯(lián)立求出 ；（2）設(shè)直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，再根據(jù)條件即可證明.【詳解】（1）由題可知，  ，解得， ，故橢圓C的方程為；（2）直線l的方程為，聯(lián)立方程組整理得，則 ，由題意，必須有 ，即 必須滿足 ，此時(shí)，．，整理得，因?yàn)?/span>l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，所以，所以，即，故k為定值，且該定值為；綜上，橢圓C的方程為，k為定值，且該定值為.【點(diǎn)睛】在計(jì)算過(guò)程中，是對(duì)直線l的k和m的一個(gè)約束，因?yàn)?/span>l必須經(jīng)過(guò)橢圓C內(nèi)部的點(diǎn)；對(duì)的因式分解比較難，不容易看出.22．(1)，(2) 【分析】（1）消參將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的規(guī)則將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；（2）對(duì)曲線C和l作幾何解釋，列方程求解.【詳解】（1）由 得 ， 得，即曲線C的直角坐標(biāo)方程為，由， ，得直線l的直角坐標(biāo)方程為；（2）由（1）可知，曲線C是圓心為，半徑為3的圓，因?yàn)榍€C與直線l有兩個(gè)公共點(diǎn)，必有，解得，即m的取值范圍為.23．(1)(2)3 【分析】（1）分類討論去掉絕對(duì)值號(hào)求解；（2）根據(jù)絕對(duì)值不等式求出的最大值，利用均值不等式求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為，恒成立．當(dāng)時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為，解得．當(dāng)時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為，無(wú)解．綜上所述，不等式的解集為．（2）由，得．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為3． 

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