2023屆河北省張家口市高三二模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知求出，然后根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算得出，根據(jù)并集的運(yùn)算求解即可得出答案.【詳解】，，即，，所以，，，所以，.故選：C.2．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（    ）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】復(fù)數(shù)的幾何意義以及復(fù)數(shù)的除法、乘方運(yùn)算計(jì)算即可求解.【詳解】由題意可得，于是，故.故選：D.3．已知點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與圓的位置關(guān)系為（    ）A．相交 B．相離 C．相切 D．相切或相交【答案】C【分析】利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系即可求解.【詳解】利用圓心距和半徑的關(guān)系來確定直線與圓的位置關(guān)系.由題意可得，于是，所以直線和圓相切.故選: C.4．已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A．0 B．1 C． D．【答案】D【分析】利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及向量的模公式，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以.因?yàn)?/span>，所以，即，所以，解得,所以實(shí)數(shù)的值為.故選:D.5．2021年5月15日，中國(guó)首次火星探測(cè)任務(wù)天問一號(hào)探測(cè)器在火星成功著陸.截至目前，祝融號(hào)火星車在火星上留下1900多米的“中國(guó)腳印”，期待在2050年實(shí)現(xiàn)載人登陸火星.已知所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，且所有行星軌道的半長(zhǎng)軸的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等.若火星與地球的公轉(zhuǎn)周期之比約為，則地球運(yùn)行軌道的半長(zhǎng)軸與火星運(yùn)行軌道的半長(zhǎng)軸的比值約為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知先設(shè)周期再應(yīng)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化得出比值.【詳解】設(shè)地球的公轉(zhuǎn)周期為，則火星的公轉(zhuǎn)周期為.設(shè)地球?火星運(yùn)行軌道的半長(zhǎng)軸分別為，，則，于是.故選: A.6．探照燈?汽車前燈的反光曲面?手電筒的反光鏡面?太陽(yáng)灶的鏡面等都是拋物鏡面.燈泡放在拋物線的焦點(diǎn)位置，通過鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈?汽車前燈?手電筒的設(shè)計(jì)原理.已知某型號(hào)探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，燈口直徑是，燈深，則光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件及設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合點(diǎn)在拋物線上即可求解.【詳解】在縱斷面內(nèi)，以反射鏡的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）為坐標(biāo)原點(diǎn)，過頂點(diǎn)垂直于燈口直徑的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題意可得.設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，于是，解得.所以拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為，即光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離為.故選：B.7．歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如：.數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，則（    ）A．1024 B．2048 C．1023 D．2047【答案】C【分析】根據(jù)歐拉函數(shù)的定義可求出，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求出答案.【詳解】根據(jù)歐拉函數(shù)的定義可得，一般地，.事實(shí)上，表示從1到的正整數(shù)中，與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，相當(dāng)于去掉從1到的正整數(shù)中所有2的倍數(shù)的個(gè)數(shù)（共個(gè)數(shù)），因此，.所以，.故選：C.8．已知函數(shù)，若曲線上存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得出關(guān)于的方程在上有解，整理得在上有解，設(shè)，對(duì)求導(dǎo)，得出的單調(diào)性，可求出的值域，則可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可得，函數(shù)為增函數(shù).若，則；同理，若，則，均與題設(shè)條件不符.由可得，且.因此，關(guān)于的方程在上有解，整理得在上有解.設(shè)，則為上的減函數(shù)，注意到，故，從而函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D. 二、多選題9．中央廣播電視總臺(tái)《2023年春節(jié)聯(lián)歡晩會(huì)》以溫暖人心的精品節(jié)目?亮點(diǎn)滿滿的技術(shù)創(chuàng)新?美輪美奐的舞美效果為全球華人送上了一道紅紅火火的文化大?.某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了18位觀眾對(duì)2023年春晩節(jié)目的滿意度評(píng)分情況，得到如下數(shù)據(jù)：.若恰好是這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)，則的值可能為（    ）A．83 B．84 C．85 D．87【答案】ABC【分析】先求出18個(gè)數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為第14個(gè)數(shù).將剩余17個(gè)數(shù)，從小到大排列，結(jié)合已知即可得出.【詳解】由于上四分位數(shù)即第75百分位數(shù)，于是，將這些數(shù)據(jù)按照從小到大排列后，第14個(gè)數(shù)為上四分位數(shù)，所以應(yīng)該是18個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后的第14個(gè)數(shù)，顯然不是最小的數(shù).而除去后，從小到大排列得到的第13個(gè)數(shù)為83，第14個(gè)數(shù)為85，所以.故選：ABC.10．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若恒成立，則（    ）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為C．函數(shù)在上的最小值為1，最大值為D．函數(shù)的極小值點(diǎn)為【答案】BC【分析】利用二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)給定條件求出，的解析式，再逐項(xiàng)分析、計(jì)算判斷作答.【詳解】依題意，，將其圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，而恒成立，即函數(shù)為偶函數(shù)，于是，又，則，因此函數(shù)，函數(shù)的最小正周期為，A錯(cuò)誤；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，B正確；當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，C正確；令，即為函數(shù)的極小值點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：BC11．已知在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為下底面上的動(dòng)點(diǎn)，則（    ）A．當(dāng)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，異面直線與所成角可以取到C．當(dāng)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成角可以取到D．若點(diǎn)到棱的距離是到平面的距離的兩倍，則點(diǎn)的軌跡為橢圓的一部分【答案】AB【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)結(jié)合三棱錐體積公式可判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間角的向量求法可判斷B，C；根據(jù)圓錐曲線的定義可判斷D.【詳解】當(dāng)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面，平面,故平面，從而點(diǎn)到平面的距離為定值，從而三棱錐的體積為定值，即三棱錐的體積為定值，正確；以為原點(diǎn)，分別為軸?軸?軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，由在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，于是，假設(shè)存在點(diǎn)滿足異面直線與所成角為，因此，解得，所以異面直線與所成角可以取到，B正確；,，則，故平面，所以平面的一個(gè)法向量為，于是令，解得，即直線與平面所成角取不到，錯(cuò)誤；注意到點(diǎn)到棱的距離為，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，則點(diǎn)到平面的距離為，在平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)A的距離與到定直線的距離之比為2，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡在雙曲線上，錯(cuò)誤,故選：AB.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中動(dòng)點(diǎn)軌跡，異面直線所成角?線面角的計(jì)算，解答的關(guān)鍵是要發(fā)揮空間想象能力。利用空間向量處理空間角，利用圓錐曲線的定義確定立體幾何中動(dòng)點(diǎn)的軌跡,12．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若，使得對(duì)于在區(qū)間上的任意，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù).也就是說，若函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)，對(duì)于區(qū)間內(nèi)任意，只要充分接近，那么與也能夠充分接近，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)B．函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)C．函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)D．函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)【答案】BC【分析】對(duì)于A項(xiàng)，令，充分大時(shí)可判定；對(duì)于B項(xiàng)，作差分子有理化放縮可得，可判定；對(duì)于C項(xiàng)，作差和差化積放縮可得，即判定；對(duì)于D，取，則，但，利用定義即可判定；【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，令，當(dāng)充分大時(shí)，；另一方面，，不滿足，因此，函數(shù)在上不一致連續(xù)，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，令，且，則，取，當(dāng)，且時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)，故正確；對(duì)于選項(xiàng)，取，當(dāng)時(shí)，有，不妨令，令即在定義域上單調(diào)遞減，故，所以恒成立，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上，函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)，故正確；對(duì)于選項(xiàng)，對(duì)給定的充分小，不妨設(shè)，取，則，但，這說明，函數(shù)在區(qū)間上不一致連續(xù)，故錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生閱讀理解能力及邏輯推理素養(yǎng)，考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力.關(guān)鍵在于理解一致連續(xù)的意義，即自變量無限接近則其對(duì)應(yīng)函數(shù)值無限接近，利用題目給出的一致連續(xù)的定義，我們可以得到函數(shù)在區(qū)間不一致連續(xù)的定義：對(duì)給定的某正數(shù)，不論取值多么小，總至少有，，滿足，但，則稱函數(shù)在區(qū)間不一致連續(xù).這樣可以找出一些反例. 三、填空題13．已知的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為64，則常數(shù)項(xiàng)為___________.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】由題意可得，解得，.設(shè)展開式中的第項(xiàng)為，令，解得.所以該展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.14．函數(shù)的最小值為___________.【答案】1【分析】先求定義域,再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷出單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求解最小值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.而.所以,函數(shù)的最小值為1.故答案為:1.15．已知拋物線與軸的交點(diǎn)分別為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,若過三點(diǎn)的圓與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為,則___________.【答案】【分析】設(shè)過三點(diǎn)的圓的方程為,分別令,,得到關(guān)于的二元一次方程,根據(jù)韋達(dá)定理求解即可.【詳解】由題意可得,點(diǎn)在拋物線上,所以點(diǎn)在軸上方,即.設(shè)過三點(diǎn)的圓的方程為,令,則有;令,則有,設(shè)的橫坐標(biāo)分別為,則也為方程的根,由韋達(dá)定理可得,;同理,為方程的根,由韋達(dá)定理可得,因此,,即.故答案為:.16．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為___________.【答案】【分析】由條件推出，設(shè)，根據(jù)線段的比例關(guān)系表示出相關(guān)線段的長(zhǎng)，解三角形求得，在中，再由余弦定理求得的關(guān)系，即可求得答案.【詳解】如圖，由，可得， 又由，即可知，，故，且，設(shè)，則，而，于是，由橢圓的定義可知，，即，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，連接，則由橢圓的對(duì)稱性可知，.又，故，即為等腰三角形，于是，，在中，設(shè)，由余弦定理得，即，所以，橢圓的離心率為，故答案為： 四、解答題17．已知數(shù)列的首項(xiàng)為其前項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）應(yīng)用，得出 是以為首項(xiàng)的常數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求，再證明即可.【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.又，所以，當(dāng)時(shí)，有，即.這表明從第二項(xiàng)起，數(shù)列是以為首項(xiàng)的常數(shù)列，即.所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，.當(dāng)時(shí)，，所以，.綜上所述，對(duì)，都有.18．在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，若.(1)求；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及兩角和的正切公式，化簡(jiǎn)整理可得，可得，進(jìn)而即得；（2）由余弦定理可推得，變形即可得出，根據(jù)已知條件，得出的范圍，即可得出，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)得出，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由，得，整理可得.又，所以.因?yàn)?/span>，所以.（2）由余弦定理可得，于是，，所以，則，由正弦定理得.在銳角中，，則.又，故，所以，所以，所以，，因此，.由題意可得恒成立，于是，.所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19．如圖，在三棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，分別為的中點(diǎn)，平面與底面的交線為.(1)證明：平面.(2)若三棱錐的體積為，試問在直線上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為，異面直線所成角為，且滿足？若存在，求出線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在， 【分析】（1）由已知可推得.根據(jù)線面平行的判定定理，可得平面.然后根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可得.進(jìn)而即可得出證明；（2）由已知可得.又易知，即可得出平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，求出平面的法向量以及，根據(jù)向量法表示出，根據(jù)已知，即可得出的值.【詳解】（1）因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，所以，.又平面，平面，所以，平面.又平面，平面與底面的交線為，所以，.從而，.而平面，平面，所以，平面.（2）取的中點(diǎn)記為，連接，因?yàn)?/span>是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以，.由（1）可知，在底面內(nèi)過點(diǎn)作的平行線，即平面與底面的交線.由題意可得，即，所以的面積.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由已知可得，于是.因?yàn)?/span>，所以平面.取的中點(diǎn)記為，連接，則.因?yàn)?/span>，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè).于是，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則， 即，取，則，，即是平面的一個(gè)法向量，所以.又直線與平面所成角為，于是.又，而異面直線所成角為，于是.假設(shè)存在點(diǎn)滿足題設(shè)，則，即，所以.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有.綜上所述，這樣的點(diǎn)存在，且有.20．已知甲盒中裝有大小質(zhì)地完全相同的3個(gè)白球?2個(gè)紅球，乙盒中裝有大小質(zhì)地完全相同的4個(gè)白球?1個(gè)紅球.(1)從甲?乙兩盒中各任取兩個(gè)球，記取出的球中紅球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)先從甲盒中任取兩個(gè)球放入乙盒，再?gòu)囊液兄腥稳蓚€(gè)球，求從乙盒中取出兩個(gè)白球的概率.【答案】(1)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：(2) 【分析】（1）確定變量的所有可能取值，求出每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，可得分布列，即可求得數(shù)學(xué)期望；（2）考慮從甲盒中取出的兩個(gè)球的情況，根據(jù)全概率公式即可求得答案.【詳解】（1）由題意可得，隨機(jī)變量的所有可能取值為.表示從甲?乙兩盒中取出的都是白球，故；表示甲盒中取出1個(gè)白球1個(gè)紅球?乙盒中取出2個(gè)白球,或甲盒中取出2個(gè)白球?乙盒中取出1個(gè)白球1個(gè)紅球，故；表示從甲盒中取出2個(gè)紅球?乙盒中取出1個(gè)白球1個(gè)紅球，故,于是，,所以，隨機(jī)變量的分布列為0123數(shù)學(xué)期望為.（2）設(shè)事件：從甲盒中取出兩個(gè)紅球，事件：從甲盒中取出兩個(gè)白球，事件：從甲盒中取出一個(gè)紅球一個(gè)白球，事件：從乙盒中取出兩個(gè)白球,則兩兩互斥，且,且,,于是,所以，從甲盒中任取兩個(gè)球放入乙盒后，從乙盒中取出兩個(gè)白球的概率為.21．已知雙曲線的一條漸近線為，右焦點(diǎn)為.(1)求雙曲線的方程；(2)若過點(diǎn)作直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求證：存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值，并求出這個(gè)定值.【答案】(1)(2)證明見解析， 【分析】（1）利用漸近線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)可得方程；（2）先根據(jù)韋達(dá)定理和表示出點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)方程特點(diǎn)可得答案.【詳解】（1）由題意可得，即.又右焦點(diǎn)為，所以，即，可得.因此雙曲線的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立，整理得，則，整理得.由根與系數(shù)的關(guān)系得，于是，注意到，于是，解得.又點(diǎn)滿足，即整理得兩式消除得，代入消去得.因此點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支，由雙曲線的定義可知，存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得.22．已知函數(shù).(1)若函數(shù)為其定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)的極值點(diǎn)為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）把為上的單調(diào)函數(shù), 轉(zhuǎn)化為在上恒非正或恒非負(fù)，用解決范圍問題； （2）若函數(shù)的極值點(diǎn)為，則是方程的兩個(gè)不等正實(shí)根，把化簡(jiǎn)構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用最值求解證明即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.由題意，.若函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)，則在上恒非正或恒非負(fù). 又為開口向上的拋物線，從而知在上恒非正，即在上恒成立，于是，，解得，.所以，函數(shù)為上的單調(diào)遞減函數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）若函數(shù)的極值點(diǎn)為，則是方程的兩個(gè)不等正實(shí)根，從而，， 解得不妨設(shè)，則，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn).因此：.所以，原不等式等價(jià)于，整理得其中.設(shè)，則，且，則不等式等價(jià)于，其中，整理得，其中，即，其中，設(shè)，由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是，當(dāng)時(shí)，取得最大值0，從而，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).而，所以，其中.所以，原不等式成立，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù). 

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